23等差数列的前n项和(第一课时)

1、2.3 等差数列的前等差数列的前n项和项和 （第一课时）（第一课时）数列前数列前n 项和的意义项和的意义 数列数列 an ： a1， a2 ， a3 ， an ，我们把我们把 a1a2 a3 an 叫做叫做这节课我们研究的问题是：这节课我们研究的问题是：(1)已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a1，项数，项数n，第，第n项项 泰姬陵泰姬陵坐落坐落于印度距首都新德里于印度距首都新德里200200多公里外的北方多公里外的北方邦的阿格拉市，是十邦的阿格拉市，是十七世纪莫卧儿帝国皇七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成纯白

2、大理石砌建而成的主体建筑令人心醉的主体建筑令人心醉神迷，陵寝以宝石镶神迷，陵寝以宝石镶嵌，图案细致嵌，图案细致, ,绚丽绚丽夺目、美丽无比，令夺目、美丽无比，令人叫绝人叫绝. .成为世界八成为世界八大奇迹之一大奇迹之一. .探究一： 传说陵寝中有一个传说陵寝中有一个三角形三角形图案，以相同大小的圆宝图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有石镶饰而成，共有100100层层（见左图），奢靡之程度，（见左图），奢靡之程度，可见一般。你知道这个图可见一般。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？案一共花了多少宝石吗？问题就是：问题就是：计算计算:1 2 3 99 100高斯高斯（Gauss,17771855）

3、，德国著名数学家，），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各他研究的内容涉及数学的各个领域，被称为历史上最伟个领域，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星，学史上一颗光芒四射的巨星，被誉为被誉为“数学王子数学王子”.高斯的算法高斯的算法计算：计算： 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组： 第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组， 每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问

4、题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾首尾配对配对相加相加法法中间的一中间的一组数是什组数是什么呢？么呢？nn) 1(321计算：2) 1() 1(321nnnnn (n-1) (n-2) 2 1倒序相加法倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的前前n项和项和呢？前前n项和项和) 1() 1(3212nnnn分析：这分析：这其实是求其实是求一个具体一个具体的等差数的等差数列前列前n项项和和.123nnSaaaa12()nnSn aa 1213212nnnnnSaaaaaaaa121321nnnnaaaaaaaa又问题分析问题分析已知等差数列已知等差数列 an 的首项为的首项为a1，项

5、数是，项数是n，第第n项为项为如何才能将如何才能将等式的右边等式的右边化简？化简？121nnnnSaaaa1()2nnn aaS即求和公式求和公式1()2nnn aaS等差数列的前等差数列的前n项和的公式：项和的公式：思考：（思考：（1）公式的文字语言；）公式的文字语言；11 ,naand由于1(1)2nn nSnad故（2）公式的特点；）公式的特点；不含不含d可知三可知三求一求一1(1)2nn nSnad等差数列的前等差数列的前n项和等于项和等于首末首末两项的和与项两项的和与项数乘积的一半数乘积的一半。公式公式公式的结构特征公式的结构特征（1）由由5个元素构成：个元素构成： . 可知三求二可

6、知三求二.1, , ,nna d n a s1()2nnn aaS1(1)2nn nSnad1,an(2)(2)共共同同点点: :须须知知 和和,nad不不同同点点: :前前者者还还需需知知后后者者还还需需知知解解题题时时需需根根据据已已知知条条件件决决定定选选用用哪哪个个公公式式。公式应用公式应用根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=505002550 1()12nnn aaS解：10 (595)2500 1(1)22nn nSnad解：50 (50 1)50 100-222550 例例1 1 在等差数列在

7、等差数列aan n 中，中， 已知已知 ，求求S S7.7.4053 aa1777()74014022aaS+=例题讲解例题讲解例例2、已知一个等差数列的前、已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前前20项的和是项的和是1220，由此可以确定，由此可以确定求其前求其前n项和的公式吗？项和的公式吗？解：由于解：由于S10310，S201220，将它们，将它们代入公式代入公式1(1)2nn nSnad可得可得111045310201901220adad146ad于是，所以所以2(1)46 32nn nSnnn 数列的前数列的前n项和：项和： 称为数列称为数列aan n 的前的前n n项和