34_基本不等式_

1、2022年年1月月29日星期六日星期六让理想的雄鹰展翅高飞！让理想的雄鹰展翅高飞！2abab思考：思考：这会标中含有这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：思考：你能否在这个你能否在这个图案中找出一些相等图案中找出一些相等关系或不等关系？关系或不等关系？ 这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数学家大届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。情好客。ab22ab22ab1、正方形正方形ABCD的的面积面

2、积S=、四个直角三角形的四个直角三角形的面积和面积和S = =2ab、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？ 探究：探究： S S问：问：那么它们有相等的情况吗？那么它们有相等的情况吗？ADBCEFGHba22ab重要不等式：重要不等式： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？222abab2()0ab2()0ab2()0ab所以222.abab所以ab当时ab当时222abab证明：（作差法）证明：（作差法） 2

3、()ab结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，总有，总有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立222abab文字叙述为文字叙述为: : 两数的平方和两数的平方和不小于不小于它们积的它们积的2 2倍倍. . 适用范围：适用范围： a,bR0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到： 即：即：)0, 0(ba2abab 即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？还可以变形为：还可以变形为：

4、2()2abab2abab证明：证明：要证要证 只要证只要证_ab 要证，只要证要证，只要证_0ab要证，只要证要证，只要证2(_)0显然显然, 是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时, 中的等号成立中的等号成立. 分析法分析法22(0,0,() ,() )abaabb2abab)0, 0(ba证明不等式：证明不等式：2 ab2 abba特别地，若特别地，若a0，b0，则，则_2abab通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中

5、，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；2abab文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围： a0,b02()2abab还可以变形为：还可以变形为： 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以ABCDEabO如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂

6、直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2ababOD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.2abab几何意义：半径不小于

7、弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bRa0,b0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式（1）把）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？它们的和最小？（2）把）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，写成两个正数的和，当这两个

8、正数取什么值时，它们的积最大？它们的积最大？ab=36当当a=b=6时，和时，和a+b最小为最小为122abab2()2ababa+b=18当当a=b=9时，积时，积ab最大为最大为81不等式不等式2a bab是一个基本不等式，它在解决实际问题中有广泛的应用，是一个基本不等式，它在解决实际问题中有广泛的应用，是解决是解决最大（小）值最大（小）值问题的有力工具。问题的有力工具。【应用练习应用练习】22222min216(1)sin(,)8sin (2)1( )loglog2,);88(3),2,8;2(4)21_axykkZxf xxaxRyxxxyxxxyx最小值是 ；设，则的值域是设则中 当

9、时的最小值是其中正确命题的有(4)11(1)0,;xxx例 ：已知求的最值11:221xx12x.xxxx解当且仅当即时原式有最小值1(2)0,;xxx已知求的最值1(3)3,3xyxxx若函数当 为何值时，函数有最值，并求其最值。结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值3:x311y(x-3)33x-312 (3)353xxxx、解 13,435xxx当且仅当即时，函数有最大值，最大值为 。1112:( x)()2 () ()2x1xx12.xxxxx 、解当且仅当即时有最大值各项皆为各项皆为正数；正数；和或积为和或积为定值；定值；注意注意等号等号成立的条

10、件成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求最值时，要注意已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数.(1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).(2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).14基本不等式主要作用是什么？基本不等式主要作用是什么？ 求最值求最值强调：强调：求最值时要考虑不等式是否能取到求最值时要考虑不等式是否能取到“”2( )sin,(0, )sinf xxxx求的最值。配凑系数配凑系数分析分析: x+(1-

11、 -2x) 不是不是 常数常数.2=1为为 解解: 0 x0.12y=x(1- -2x)= 2x(1- -2x) 12 22x+(1- -2x) 21218= . 当且仅当当且仅当 时时, 取取“=”号号.2x=(1- -2x), 即即 x= 14当当 x = 时时, 函数函数 y=x(1- -2x) 的最大值是的最大值是 .1418 若若 0 x0时，时， 的最小值为的最小值为 ，此时，此时x= 。211xx232(0,0)xyxy61 3、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 的最小的最小值是（值是（ ） A、10 B、 C、 D、, x y5xy33xy634 618 3D4、在下列函数中

12、，最小值为、在下列函数中，最小值为2的是（的是（ ） A、 B、C、 D、5(,0)5xyxR xx1lg(110)lgyxxx33 ()xxyx R1sin(0)sin2yxxx C1 1、设设 且且a+ba+b=3,=3,求求a ab b的最小值的最小值_。 , a bR3、若，则函数的最小值是若，则函数的最小值是_。1x27101xxyx2、求函数求函数f(x)=x2(4-x2) (0 x0）的最大值为）的最大值为12，则，则 的最小值为（的最小值为（ ）b23ab A. B. C. D. 4 25683113略解略解：xy02-2202yx063 yxbyaxz(4,6)点选把把（4

13、4，6 6）代代入入z z = = a ax x+ +b by y得得4 4a a+ +6 6b b = =1 12 2, ,2 23 32 23 3 2 2a a+ +3 3b b即即2 2a a+ +3 3b b = = 6 6, ,而而+ += =+ +a ab ba ab b6 61 13 3b ba a1 13 32 25 5= =+ +( (+ +) )+ +2 2 = =, ,故故A A6 6a ab b6 66 6A变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各

14、为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：解：设设AB=x ，BC=242x ， 矩形花园的面积为矩形花园的面积为x(242x) m2(242 )yxx令因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2当当x=6时，函数时，函数y取得最小值为取得最小值为72222422(6)72yxxx 则(012)x变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面

15、积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：解：如图，设如图，设BC=x ，CD=y ， 则篱笆的长为则篱笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为xy m2xyABDC22xy得得 1442xy 当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2即即 xy 72即即x=12，y=6x +2y= 24 x=2y2422xy2xy2241226xyxxyy解，可得变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个

16、矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：解：如图，设如图，设BC=x ，CD=y ， 则篱笆的长为则篱笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为xy m22xyxyxyABDCx + y不是不是 定值定值.2=24为为 222xyxy得得 2xy 144当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m224122即即 xy 72即即x=12，y=6x +2y= 24 x=2y2241

17、226xyxxyy解，可得变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？分析：设分析：设AB=x ，BC=242x ， x242xABDC变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x ，BC=2

18、42x ， 矩形花园的面积为矩形花园的面积为x(242x) m21(242 )2 (242 )2xxxx212242()7222xx当且仅当当且仅当2x=242x,即即x=6时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2(其中其中2x+(24- -2x)=24 是定值是定值)某种生产设备购买时费用为某种生产设备购买时费用为1010万元，每年的设备管理费万元，每年的设备管理费共计共计9 9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2 2千元，第二年千元，第

19、二年4 4千元，第三年千元，第三年6 6千元，依每年千元，依每年2 2千元的千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合算算( (即使用多少年的平均费用最少？即使用多少年的平均费用最少？) )( (0 0. .2 2 + + 0 0. .2 2x x) )x x1 10 0 + + 0 0. .9 9x x + +1 10 0 x x2 2y y = = = 1 1+ + +x xx x1 10 01 10 0 x x1 1+ + 2 2= = 3 3x x1 10 01 10 0 x x只只有有= =即即x x = = 1 10 0取取

20、= = x x1 10 0解：设使用解：设使用x年报废最合算年报废最合算A A地产汽油，地产汽油，B B地需要汽油地需要汽油. .运输工具沿直线运输工具沿直线ABAB从从A A地到地到B B地运地运油，往返油，往返ABAB一趟所需的油耗太大一趟所需的油耗太大. .如果在线段如果在线段ABAB之间的某地之间的某地C C（不与（不与A A，B B重合）建一油库可选作中转站，即可由这种运重合）建一油库可选作中转站，即可由这种运输工具先将油从输工具先将油从A A地运到地运到C C地，然后再由同样的运输地，然后再由同样的运输工具将油从工具将油从C C地运到地运到B B地地. .设设 = =x x，往返，

21、往返A A，C C一趟所需一趟所需的油耗等于从的油耗等于从A A地运出总油量的地运出总油量的 . .往返往返C C，B B一趟所一趟所需的油耗等于从需的油耗等于从C C地运出总油量的地运出总油量的 . .不计装卸中的损耗，不计装卸中的损耗，定义：运油率定义：运油率P P= = . .请判断是否选址请判断是否选址C C为为ABAB中点时从中点时从A A地经过地经过C C中转再运油到中转再运油到B B地地的运油率最大？的运油率最大？ACAB100 x1100 xBA地收到的汽油量地运出的汽油量解：该题考查函数的应用问题，解决问题的关键是解：该题考查函数的应用问题，解决问题的关键是“情景情景”和和“数式数式”间的相互转化，再结合数学结果解间的相互转化，再结合数学结果解释实质问题即可，要关注解题过程中释实质问题即可，要关注解题过程中“均值不等式均值不等式”的的巧妙应用巧妙应用. . 设从设从A A地运出的油量为地运出的油量为a a, ,则则C C地收到的油量为地收到的油量为 , ,B B地收到的油量为地收到的油量为 故运油率故运油率ax1001axx100110011 当且仅当当且仅当 即即x x= = 时，取时，取“=”.=”.又又 , , 当当C C地为地