【2019-2020】高考数学二轮复习专题二数列第1讲等差数列与等比数列练习

1、1 / 13【2019-2020】高考数学二轮复习专题二数列第1 讲等差数列与等比数列练习高考定位1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第（1）问出现，难度中档以下真题感悟考点整合明若向茫雯点真题感悟1.（2017 全国川卷）等差数列an的首项为 1,公差不为 0.若 电a3,a6成等比数列，则an 前 6 项的和为（）A. 24B. 3C.3D.8解析根据题意得a3=a2a6,即（a+2d）2= +d）（a1+5d） ，由a1= 1 及d0解得d=-6X56X52，所以 S6= 6a*1+2d = 1X6+

2、2X（ 2） = 24.答案 A2. （2018 卷）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得12到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.2.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为（）33A. 2fB. ,22f1212C. 25fD. 27f12解析 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.2,第一12个单音的频率为f.由等比数列的定义知，这十三个单音的频率构成一个首项为f,公比为.212 12的等比数列，记为an

3、.则第八个单音频率为a8=f（ .2）81= . 27f.答案 D3. （2018 全国I卷）记S为数列an的前n项和.若 S= 2an+ 1,贝USe=_.解析 因为 S= 2an+ 1，所以当n= 1 时，a1= 2a1+ 1,解得a1= 1,2 / 13当n2时，an= S Si1= 2an+1 （2an1+ 1），所以an= 2an1，所以数列an是以一 1 为首一 ix（1 2）项，2 为公比的等比数列，所以an= 2n1,所以S6=- = 63.1 2答案 634.（2018 全国川卷）等比数列刘 中，ai= 1,a5= 4as.（1）求an的通项公式；记Sn为an的前n项和若Sm

4、= 63,求m解（1）设an的公比为q,由题设得an=qn1.由已知得q4= 4q2，解得q= 0（舍去），q= 2 或q= 2.故an= ( 2)n1或an= 2n一1.(2)若an= ( 2)n1，贝ySn=1(一2-由 63 得（2）m= 188，此方程没有正整数解若an= 21，贝ySn= 2 1.由Sm= 63 得 2m= 64,解得 m= 6.综上，m= 6.考点整合1.等差数列（1）通项公式：an=a1+ (n 1)d；求和公式：n(a1+an)n(n1)S2na+2d；性质：*1若m n, p，q N，且m+ n=p+q，贝Uam+an=ap+ ；2an=am+ (nn)d；3

5、Sm，S2m&1，SamS2m，成等差数列.2.等比数列（1）通项公式：n1ana1q(qz0)；求和公式：a1(1qn)a1anq q=1，Sn=na1；qz1，Sn=；1q1q 性质:3 / 13若m，n, p*i,q N ,且m+n=p+q,贝Uam-nman=am- q； Sm，S2mSm，S3m Sm，（Sm 0）成等比数列4 / 13温馨提醒 应用公式an=SS1时一定注意条件n2,n N.烈点聚焦好类突破热点一等差、等比数列的基本运算【例 1】（1）（2018 潍坊三模）已知an为等比数列，数列bn满足bi= 2,b2= 5, 且an（bi+1bn） =an+1,则数列b

6、n的前n项和为（）A.3n+ 1解析 由b1= 2 ,b2= 5，且an(bn+1bn) =an+1. an的公比q=a=b2b1= 3.从而bn+1bn= 3,则数列bn是首项为 2,公差为 3 的等差数列n(n 1)12因此bn的前n项和Tn= 2n+x3= (3n+n).答案 C（2018 全国n卷）记 S 为等差数列an的前 n 项和，已知 a = 7,S=15.1求 an的通项公式；2求 S，并求$的最小值.解 设an的公差为d,由题意得 3a1+ 3d= 15. 由a1= 7 得d= 2.所以an的通项公式为an= 2n 9.2 2由得Sn=n 8n= （n 4） 16.所以当n=

7、 4 时，Sn取得最小值，最小值为16.探究提高 1.等差（比）数列基本运算的解题途径：（1）设基本量a1和公差d（公比q）.列、解方程组：把条件转化为关于a1和d（q）的方程（组），然后求解，注意整体计算，以减少运算量.2.第（2）题求出基本量a1与公差 d,进而由等差数列前n项和公式将结论表示成“n”的函数,求出最小值.【训练 1】（1）（2018 郑州调研）已知等差数列an的公差为 2,a2,as,a6成等比数列，则an的前n项和Sn=（）研热点析考沬B.3n1C.3n2+n2D.3n2n25 / 13A.n(n 2)C.n(n+ 1)D.n(n+ 2)解析 依题意a3=a2a6,得(a

8、i+ 4)2= (ai+ 2)(ai+10).解得ai= 1.fn(n1)2因此S=na+Jx2=n 2n.答案 A(2017 全国n卷)已知等差数列a的前n项和为等比数列bn的前n项和为Tn,a1=1，b1= 1，a2+b2= 2.1若a3+b3= 5，求bn的通项公式；2若T3= 21,求S3.解 设an公差为d, bn公比为q,1 +d+q= 2,21 + 2d+q= 5解得F=1,或F=3,(舍去),lq= 2q= 0故bn的通项公式为bn= 21 +d+q= 2,1 +q+q2= 21,当d= 1 时，S3= 6;当d= 8 时，S3= 21.热点二等差（比）数列的性质2【例 2】（

9、1）（2018 石家庄调研）在等比数列an中，a6,a10是方程x+ 6x+ 2 = 0 的两个实 数根，则as的值为（）A.2B. 2 或.2C 2D. 2（2018xx区质检）已知数列an的前n项和为S,且满足 S= 2an2,若数列bn满足bn= 10log2an,则使数列bn的前n项和取最大值时的n的值为_ .B.n(n 1)由题设得由已知得解得q=4,d= 1-q= 5,d= 8.-6 / 13以a80,所以a8= 解析（1）由题意a6a10= 2,且a6+ ae= 6，所以a60, aeo,S2其中入为常数.(1)证明：S+1= 2S + 入；(2)是否存在实数 入，使得数列an为

10、等比数列，若存在，求出入;若不存在,(1)证明Tan+1=S1+1S1,Sn=an+1入S1+1,若数列an是等比数列，则a2= 1 +入=2a1= 2.入=1,经验证得 入=1 时，数列&是等比数列.【迁移探究】 若本例中条件“ a = 1”改为“ a1= 2”其它条件不变，试求解第解 由本例(2)，得an+1= 2a(n2,n N*).又S2= 2S+ 入，a2=a1+ 入=2+ 入 0.an=(2+入)2n2(n2).又a1= 2,若an是等比数列，- a2=(2+入)2 2=2a1=4, 入=2.故存在入=2，此时an= 2n，数列an是等比数列an+1入Sn+请说明理由Sn=

11、 ( S+1Sn)入S+1,则 S+1( Si+1 2S入)=0.an0，知 S+10,.S+1 2S 入=0,故Sn+1= 2Sn+ 入.解 由(1)知，S+1= 2S+入，当n2时，Sn= 2Sn1+ 入， 两式相减，an+1= 2an(n2,n N*),所以数列an从第二项起成等比数列，且公比q= 2. 又$ = 2S1+ 入，即a2+a1= 2a1+ 入，a2=a1+ 入=1 + 入 0,得 入 1.因此1,n= 1,(入 +1)问.-210 / 13探究提高 1.判定等差(比)数列的主要方法： 定义法：对于任意n1,n N,验证an+1-an或为与正整数n无关的一常数；(2)中项公式

12、法.a=+12.=q和a2=an-ian+i(n2)都是数列an为等比数列的必要不充分条件，判定时还要看an各项是否为零【训练 3】(2017 全国I卷)记S为等比数列an的前n项和.已知$= 2, $=-6.(1) 求an的通项公式；(2) 求 S,并判断 S+1, S, S+2是否成等差数列解(1)设an的公比为q,由题设可得a (1+ q)= 2,a1(1 +q+q2)=- 6,故an的通项公式为an= ( 2).a1(1 q) 21 ( 2)由(1)得1- =(-2 2)=3( - 2)n-1,22则 S+1=亍(-2)n+1- 1 , S+2= ( - 2)n+2-1,2224所以S

13、+1+S+2=3(2)1+ 3(2)1= 32(2)2= 3(2)1=2SS+1,S,S+2成等差数列热点四等差数列与等比数列的综合问题【例 4】(2018 天津卷)设an是等差数列，其前n项和为S(n N*) ； bn是等比数列,比大于 0，其前n项和为Tn(n N).已知b= 1,b3=b2+ 2,b4=a3+a5,b5=a4+ 2a6.(1)求S和Tn；若S+ (T+T2+-+Tn) =an+ 4bn，求正整数n的值.解(1)设等比数列bn的公比为q(q0).2由b1= 1,b3= b+ 2,可得q-q 2=0.因为q0,可得q= 2,故bn= 2n112nn所以，Tn= = 2 1.解

14、得q=-2,a1=- 2.11 / 131 2设等差数列an的公差为d.12 / 13由b4=a3+a5，可得ai+ 3d= 4.由b5=a4+ 2a6，可得 3a+ 13d= 16，从而ai= 1,d= 1, 故an=n.(2)由(1)，有12nT1+T2+-+T= (21+ 22+ 2) n由Sn+ (T1+T2+Tn) =an+ 4bn2整理得n 3n 4 = 0，解得n= 1(舍)，或n= 4.所以，n的值为 4.探究提高 1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用 性质，可使运算简便2.数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列

15、问题 .【训练 4】(2018 武汉质检)在公比为q的等比数列an中，已知a1= 16,且 a,比+ 2,a3成等差数列.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若q10 的最小正整数n的值.解(1)依题意，2(a2+ 2) =a1+a3,且a1= 16.2 2(16q+ 2) = 16+ 16q,即 4q2 8q+ 3= 0.13因此q= 2 或q= .n1当q= 2 时，an= 16 2= 25n;n1t3QI当q= 2 时，an= 16 12.由(1)知，当q2,正整数n的最小值为 3.曲躺总结思维升华1. 在等差(比)数列中，ai,d(q),n,an,S五个量中知道其中任意三个，就可以求

16、出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项ai和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.2. 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形IS,n=1,3. 应用关系式an=时，一定要注意分n= 1,n2两种情况，在求出结果后，|SnSn-1,n2看看这两种情况能否整合在一起专题圳练对接高考|求落交迎高淆一、选择题1. (2018 全国I卷)记Sn为等差数列an的前n项和若 3S3=S2+S,a= 2，则a5=()A. 12B. 10C.10D.12解析 设数列an的公差为

17、d,T3S= $+S4,(3X2、4x33 3|3a1+d= 2a1+d+4a+d,解得d= ;ai.v.2丿22a1=2, d=3,a5=a1+4d=2+4x(3)=10.答案 B1.”I on2. 等差数列an中的a1,a4 033是函数f(x) =TX 4x+ 6x 1 的极值点，则 log2a2。仃=()3A.2B.3C.4D.5解析因为f(x) =x2 8x+ 6,探规律防失误14 / 132依题意，a1,a4 033是方程f (x) =x 8x+ 6= 0 的两根，- a1+a4 033= 8,贝Va2 017= 4,故 log2a2 017= log24 = 2.15 / 13答

18、案 A3. 一个等比数列的前三项的积为2,最后三项的积为 4,且所有项的积为 64,则该数列的项数是()A.13B.12C.11D.10解析设等比数列为an，其前n项积为Tn，由已知得 aa2a3= 2,anan心2= 4,可得(ao)3=2x4,aian=2,Tn=aia2an,.T= (aia2an)4 5=(aian)(a2an1)(anai) = (aian)n=2 = 64 = 22,.n= 12.答案 B4.古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：“有一个人走 378 里路，第

19、一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地 ”则此人第 4 天和第 5 天共走的路程为()3解析由条件可知：3an+ S= 4, 3an-1+Sn-1= 4（n2）.相减，得an=an-i.又 3ai+Si= 4ai4i=378，解得ai= i92，贝Ua4= i92x：= 24,a5= 24X；= i2,a4+as= 24 + i2 = 36.所以此人82第 4 天和第 5 天共走了 36 里.答案 C5.(20i8 燕博园能力测试)数列an的前n项和为S,且 3an+ S= 4(n N)，设bn=nan,则数列bn的项的最大值为()A.60 里B.48 里

20、C.36 里D.24 里16 / 13i由题意，每天走的路程构成公比为 2 的等比数列设等比数列的首项为bnbn-1, 设bn中最大的项为bn，则*bnbn+1.=4，故ai= i.贝Uan=n1ni3,bn=nl .解析81A.6427B.正3C.2D.2答案 3 或 417 / 13答案 B、填空题6. (2018 卷)设an是等差数列，且ai= 3,a2+a5= 36，则an的通项公式为 _.解析 设等差数列的公差为d,：ai= 3,且a?+a5= 2ai+ 5d= 36,.d= 6,.an= 3+ (n1) 6= 6n 3.答案an= 6n 3ani7. (2018 福州质检)数列an

21、满足an+1= ,a3=-,贝Uai=_.2an十 i5an解析 易知anM0,且an+1= 2a+ 1 .11r111 -=2,则是公差为 2 的等差数列，又a3=2，知一=5, + 2X2= 5,贝yai=an+1ann“5a3ai1.答案 18. (2018 石家庄质检)等差数列an的公差dM0,且a3,a5,ai5成等比数列，若a5= 5,S为数列an的前n项和，则数列彳警|的前n项和取最小值时的n为_ .(ai+ 2d)(ai+ i4d)= 25,解析由题意知*ai+ 4d= 5,n4,且=0,4数列n项和取最小值时的n的值为 3 或 4. bn的项的最大值为27b3=b4=话由dM

22、0,解得ai= 3,d= 2,Snnnai+)dn4.解之得 3wnw4.i2 / i3三、解答题9.(2018 卷)设an是等差数列，且ai= ln 2 ,a?+a3= 5ln 2.(1)求an的通项公式；求 eai+ ea+ ean.解设an的公差为d.因为a2+a3= 5ln 2 ,所以 2ai+ 3d= 5ln 2.又ai= In 2，所以d= In 2.所以an=ai+ (n 1)d= In 2 + (n 1)ln 2 =nln 2.所以ean是首项为 2,公比为 2 的等比数列r I I _ 2 所以 ei+ e2+-+ en= 2X - =2n+i_2.i _ 2i0.已知数列an的前n项和为S,且 i,an,S成等差数列.(i)求数列an的通项公式；若数列bn满足anbn= i + 2门G,求数列bn的前n项和Tn.解(i)由已知 i,an,S成等差数列得 2an= i+S,当n= i 时，2ai= i +S= i +ai, ai= i,当n2时，2an_i= i +S_i，一得 2an 2an_i=an,an= 2an_i(n2)，且ai= i.数列an是以 i 为首项，2 为公比的等