微积分-D9_5极值和最值ppt课件

1、 第九章 一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值运用问题二、最值运用问题三、条件极值三、条件极值机动 目录 上页 下页 前往 终了 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法xyz定义定义: 假设函假设函数数那么称函数在该点获得极大值那么称函数在该点获得极大值(极小值极小值).例如例如 :在点在点 (0,0) 有极小值有极小值;在点在点 (0,0) 有极大值有极大值;在点在点 (0,0) 无极值无极值.极大值和极小值极大值和极小值统称为极值统称为极值, 使函数获得极值的点称为极值点使函数获得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz2

2、2yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有的某邻域内有xyzxyz此处极值为自在极值此处极值为自在极值阐明阐明: 使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为驻点的点称为驻点 . 例如例如,函数函数偏导数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy获得极值获得极值 ,获得极值获得极值获得极值获得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值但在该点不取极值.且在该点获得极值且在该点获得极值 ,那么那么有有),(),(00yxyxfz在点存在存在),(),(0

3、0yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故故在),(0yxfz 0yy yxz 驻点：驻点：0)()(, 0)(,0000PfPfPgradfDPyx即的内点是若的驻点是则称fP0时时, 具有极值具有极值的某邻域内具有一阶和二阶延续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶延续偏导数, 且且令那么那么: 1) 当当A0 时取极小值.2) 当3) 当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.假设函假设函数数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02B

4、AC02 BAC02BAC求函数求函数解解: : 第一步第一步 求驻求驻点点. .得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, : (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0) (1,0) 处处为极小值为极小值; ;解方程组解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933

5、),(2233在点在点( (3,0) 3,0) 处处不是极值不是极值; ;在点在点( (3,2) 3,2) 处处为极大值为极大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点在点(1,2) (1,2) 处处不是极值不是极值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC及能否获得极值.解解: 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当

6、yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02BAC33yxz能够为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz函数函数 f 在有界闭域上延续在有界闭域上延续函数函数 f 在闭域上可到达最值在闭域上可到达最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边境上的最值点边境上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且只需一个极值点且只需一个极值点P 时时, )(Pf为极小为极小 值值)(Pf为最小为最小 值值( (大大) )( (大大) )步骤：步骤：)(),() 1 (受检点存在的点内部所有驻点

7、及导数不在求出Dyxf点与最小值的边界上的最大值在求11),()2(mMDyxf则是受检点全体设,) 3(21nPPP)(,),(),(,max211nPfPfPfMM)(,),(),(,min211nPfPfPfmm例例3：设：设D由直线由直线与坐标轴所围的闭三角6 yxmMDyxyxz和最小值上的最大值在求形域)4(,2解：解：1求驻点求驻点)24(),238(2yxxzyxxyzyx，令00yxzz，即化简得42823yxyx解得解得12yx即即z在在D的内部有独一驻点的内部有独一驻点2求求z在边境上的最大值与最小值在边境上的最大值与最小值在在D的斜边上：的斜边上：)6(2)6(4)(6

8、(232xxxxxxz)60( x)6(2)(23xxx令)4(6)( xxx则40)( xx，令64)4(, 0)6()0(在在D的直角边上：的直角边上：0z故在故在D的边境上有最大值的边境上有最大值0，最小值，最小值-643求最大值和最小值求最大值和最小值4) 1 , 2(z故故M=4,m=-64定理定理( , ),f x yDD设在有界闭域 上连续 在 内部可微且有0,( , )Pf x yD唯一驻点若在 上的最小(最大)值不在边界上0,P取到 则必在 取到例例4：2222( , )=(1):1xyf x yxyeD xy求在闭单位圆上Mm的最大值与最小值解：解：22( , )=2x+y

9、(1)xyxfx yxye,22( , )=2y+x(1)xyyfx yxye( , )=0( , )=0yxfx yfx y由，得22222y+x(1)=02x+y(1)=0 xyxy0,0 xy22( , )=(1)xyf x yxyeD在 内部有唯一驻点(0,0)(0,0)= 1f22=xy当点在边界1上时,f(x,y)=0故f(x,y)不可能在边界上取得最小值,由定理得=1m 最小值221,( , )0,xyf x y又时故最大值M=0解解: 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,那么高那么高为为那么水箱所用资料的面积那么水箱所用资料的面积为为令令得驻点得驻点某厂要用铁

10、板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据实践问题可知最小值在定义域内应存在根据实践问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才干运用料最省才干运用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可因此可断定此独一驻点就是最小值点断定此独一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用资料最省水箱所用资料最省.3m)2,2(33323222233把它折起来做成把它折起来做成解解: 设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm

11、,那么断面面那么断面面积积x24一个断面为等腰梯形的水槽一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大积最大. )0,120:(2 xD为为问怎样折法才干使断面面问怎样折法才干使断面面cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知由题意知, ,最大值在定义域最大值在定义域D D 内到达内到达, , 而在域而在域D D 内只需内只需一个驻点一个驻点, ,故此点即为所求故此点即为所求. .,0sin0 xsincossin2sin242

12、2xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只需定义域限制对自变量只需定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如 ,转化转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz,0),(下在条件yx如方法如方法 1 所述所述 ,那么问题等价于一

13、元函数那么问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设设 记记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有故有引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日( Lagrange )函数函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格利用拉格极值点必满足极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx那么极值点满足那么极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyx

14、fF拉格朗日乘数法的矢量方式拉格朗日乘数法的矢量方式),(),(),(),(yxyxyxfyxfyxyx拉格朗日乘数法可推行到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推行到多个自变量和多个约束条件的情形个约束条件的情形. 设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F要设计一个容量为要设计一个容量为0V那么问题为求那么问题为求x , y ,令令解方程组解方程组解解: 设设

15、 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱外表积下水箱外表积最小最小.z 使在条件使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用资料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用资料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 试问试问 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz得独一驻点得独一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用资料最省倍时，所用资料最省.因此因此 , 当高为当高为,340Vxyz思索思索:1

16、) 当水箱封锁时当水箱封锁时, 长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知利用对称性可知,30Vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价欲使造价最省最省, 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等 .实践运用问题的步骤：实践运用问题的步骤：)1 () 1 (njxj适当设定变量0),(),()2(11nnxxgxxf与约束条件确定目标函数尽可能化简问题)3(并由此得方程组函数构造,)4(lag

17、rangejx解得解方程组,)5()()6(问题的实际意义是否是所要求的最优点判断jx例例8、求三内角正弦之积最大的三角形、求三内角正弦之积最大的三角形解：设所求三角形之内角为解：设所求三角形之内角为,zyx,sinsinsinzyxu 令依题意，要求解问题依题意，要求解问题zyxzyxu,0 ,:max将目的函数转换为将目的函数转换为uln),(lnzyxuL令得，由0000LLLLzyx00cot0cot0cotzyxzyx解得解得zyxcotcotcot内严格单调在), 0(cot,cot,cotzyx3zyx故所求三角形故所求三角形为正三角形为正三角形例例9、求原点到曲线、求原点到曲线

18、122zyxyxz的最大与最小间隔的最大与最小间隔解：解：则的距离记原点到点以,),(zyxd,2222zyxd作拉格朗日函数作拉格朗日函数) 1()(22222zyxzyxzyxL00000LLLLLzyx令10020)120)1222zyxzyxzyx（即消去消去解得解得32,231zyx359,359minmaxdd例例10、求曲面、求曲面224323zxxyy41xyz与平面之间的最短距离解：曲面上任取点解：曲面上任取点P(x,y,z),那么那么P到平面的间隔到平面的间隔为为41,18xyzd依题意，所求解的问题为依题意，所求解的问题为22min:4323dzxxyy为计算的方便，所求

19、解的问题变为为计算的方便，所求解的问题变为222min(41) :4323xyzzxxyy222(41)(4323)Lxyzzxxyy令那么有那么有222(41)( 62 )2(41)(26 )8(41)44323xyzLxyzxyLxyzxyLxyzzxxyy 220004323xyzLLLzxxyy令得14xyz由几何意义知最短间隔一定存在，故有由几何意义知最短间隔一定存在，故有11121 / 184448d 1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点能否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单

20、问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2) 普通问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数设拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数下的极值,解方程组解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边境点上函数值的大小比较驻点及边境点上函数值的大小 根据问题的实践意义确定最值根据问题的实践意义确定最值第一步第一步 找目的函数找目的函数, 确定定义域确定定义域 ( 及约束条件及约束条件)在条件在条件求驻点 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F知平面上两定点知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆试在椭圆圆周上求一点圆周上求一点 C, 使使ABC 面积面积 S最大最大.解答提示解答提示:CBAoy