工程数学复习 (更新).

1、一. 基本概念基本概念二二. Gauss变换与矩阵的三角分解变换与矩阵的三角分解三三. Householder变换与矩阵的相似变换变换与矩阵的相似变换四四. 矩阵的正交分解矩阵的正交分解五五. 解线性方程组解线性方程组Ax=bAx=b的直接法的直接法六六. 解线性方程解线性方程组组Ax=bAx=b的迭代法的迭代法工程数学复习要点七七. 列满秩最小二乘问题列满秩最小二乘问题八八. 构造正交多项式构造正交多项式九九. 连续函数的最佳平方逼近连续函数的最佳平方逼近十十. 离散数据的最佳平方逼近离散数据的最佳平方逼近十一十一. 函数插值函数插值十二十二. 数值积分数值积分十三十三. 非线性方程的数值解

2、法非线性方程的数值解法十五十五. 数值计算的基本思想数值计算的基本思想十四十四. 常微分方程数值解常微分方程数值解一一. 基本概念基本概念11122211|(| )|max |niiniiii nxxxxxx 绝对误差,相对误差,有效数字的定义,数值稳定性等.向量范数矩阵范数122,1| | 012max|(| )|max1,2,|()nFiji jppxpTAaAxApxAAAA A（列范数）（行范数）（谱范数）矩阵范数11111max12max11()max()max2()()()().nijjninijinjTTTAAAaAAAaAAAA AA AA AA 矩矩阵阵 的的范范数数 又又称

3、称为为 的的列列范范数数矩矩阵阵 的的范范数数 又又称称为为 的的行行范范数数矩矩阵阵 的的范范数数 又又称称为为 的的谱谱范范数数其其中中表表示示的的最最大大特特征征值值, ,为为 的的最最大大奇奇异异值值1222max1min( )| |()()TTncond AAAA AA A谱条件数max( )|( ) |AA 谱谱半半径径1( )| | ,1,2,pppcond AAApF条件数1222maxmin( )| |( ) |( ) |Acond AAAAA对称时，0()0,1,., ,00rTiiA Air 奇异值与奇异值矩阵距离概念( , ) |1,2,pA BABpF矩阵空间的距离1

4、1, ) |(| )1,2,npppiiix yxyxyp向量空间的距离（1( ( ),( )|( )( ) |(|( )( ) |)1,2,pbppaf xg xf xg xf xg xdxp连续函数空间的距离00115ln6ln50.182151,2 .10nnnyyyynnyp 值值算算法法的的定定性性例例利利用用推推公公式式，算算 ，分分析析算算法法的的定定性性：数值计算中应注意的问题(1) 防止相近的两数相减(2) 防止大数吃小数(3) 防止接近零的数做除数(4) 注意计算步骤的简化注意计算步骤的简化,减小运算次数减小运算次数:3211.230 ,103(1)( ),(2),(3)2

5、.(1,4, 3,0) ,(3,6,1,2) ,( , ).TTAAAAAxyx yx y习题已知矩阵试计算的谱半径的各范数的奇异值已知向量求之间的距离返回11,.,.,0,0,.,0,.,0:,1,2,.TjnjTjiji jjxxxxxGaussGGxxxxGLlijjnx 对构造变换阵 ，使解其中二二. Gauss变换与矩阵的三角分解变换与矩阵的三角分解Gauss变换阵1,1111jjjn jLllLU分解对称正定阵的Cholesky分解（P77）:1.(2,1, 1,3) ,(2,0,0,0) .1232.262,3220Cholesky,.TTTxGaussLLxAAALL 习习题题

6、设设求求一一变变换换阵阵使使已已知知矩矩阵阵对对矩矩阵阵 作作分分解解 即即列主元三角分解 PA=LU三三. Householder变换变换,矩阵的相似变换矩阵的相似变换22,|1THouseholderHIwww变换阵其中222:,| ,2,|.Tnx y xyxyuxyuHouseholderHIwwwuHxy 定定理理设设 维维向向量量但但则则存存在在变变换换阵阵使使331.(2,0,2,1) ,0,0,1,0,.TTxHouseholderHHxkeekR已知向量试构造阵使其中22.(1,2,1, 2) ,(1,0,0) .TTxHouseholderHHx已知向量试构造阵使返回习题3

7、.(1,2,2) ,(0,3,4) ,.TTxyHouseholderHHxkykRkH已知向量试构造一个阵使，。给出 值和变换阵四四.矩阵的正交分解矩阵的正交分解Householder变换法对矩阵A进行正交分解112123.121116AA 例例：已已知知矩矩阵阵，试试求求 的的正正交交分分解解五. 解线性方程组的直接法系数矩阵A为哪些矩阵时,可用顺序Gauss消元法求解Ax=b.何为病态矩阵,如何判别矩阵为病态矩阵.系数矩阵A为哪些矩阵时,可用列主元Gauss消元法求解Ax=b.六. 解线性方程组Ax=b的迭代法(1)( )0( )1|1,1,2kkkkpxBxgBBBp 迭代格式收敛的充

8、分必要条件收敛的充分条件，Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法, 迭代矩阵,收敛条件估计迭代次数ln( ( )RB 收敛速度( )*(1)(0)3| 10?1 |kkBxxxxkB(1)( )( )323121(),(0,1,.)kkkAbxxAxbkAxb 例例：已已知知，, ,用用迭迭代代公公式式求求解解。问问 取取什什么么实实数数可可使使迭迭代代收收敛敛，且且 为为何何值值时时，收收敛敛最最快快。23254(1)(4)12IA 解解：( (1 1) )1,14 ,BIA 1 12 2迭迭代代矩矩阵阵的的特特征征值值为为1111120,114111410,2 102 当当时时

9、，迭迭代代格格式式收收敛敛。2114(1)1452,525 当当时时，收收敛敛最最快快。七七. 广义逆与列满秩最小二乘问题广义逆与列满秩最小二乘问题11()(2),TTTAA AAAQR AR Q+列满秩矩阵A的广义逆(1)AxbxA b利用广义逆求矛盾方程组的最小二乘解1TTAAAAA行满秩矩阵 的广义逆， （）。八八. 构造正交多项式构造正交多项式2001111011 , :1, ,.,.)1( )( )10,1,2,.( )()( )( )( ),( )0,1,2,.( ),( )( ),( )0,1,2,.( ),( )(nnnkkkkkkkkkkkkkkkc a bx xxxxkxx

10、xxxxxkxxxxkxxf 在中构造正交多项式由构造首 的正交多项式内积( ), ( )( ) ( ) ( )baxg xx f x g x dx0120011110,., , 0(),(0,1,.,):1, ,.,.)1( )( )10,1,2,.( )()( )( )( ),( )0,1,2,.( ),( )(0,minnnkkkkkkkkkkkkxxxa bwRimx xxxxkxxxxxxxkxx 构造关于点集和权的正交函数组由构造首 的正交多项式110),( )1,2,.( ),( )( ( ),( )() ()kkkmiiiixxkxxf xg xw f x g x内积20122

11、2012:47(1)( ) 1,1( )11( )1,( ),( )(31).2(2)1( ) 1,1( )1( )1,( ),( )21.nnPLegendreP xxP xP xxP xxChebyshevTxxxT xT xxTxx 工工程程中中常常用用的的正正交交多多项项式式多多项项式式多多项项式式010( ) , ( ),( ),.,( ) , ( )( ),nnjjjf xc a bHspanxxxc a bs xcx求函在函中的最佳平方逼近元九九. 连续函数的最佳平方逼近连续函数的最佳平方逼近000000110:( ),( ).( ),( ):.:( ),( ).( ),( )(

12、 ( ),( )( ( ),( ):( ( ),( )( )( )( ( ),( )(nnnnnnnjjjGCFxxxxGxxxxcf xxcf xxCFcf xxs xcxf xg x一般方法 求解法方程最佳平方逼近元) ( ) ( )bax f x g x dx010:( ),( ),.,( )( ( ),( )0,1,.,( ),( )( )( )( ( ),( )( ) ( ) ( )njjjjnjjjbaxxxf xxcjnxxs xcxf xg xx f x g x dx利用正交多式取正交多式最佳平方逼近元0101110:( ),( ),.,( )( ),( ),.,( )( (

13、),( )21( )( ),( ),( )20,1,.,( )( )nnjjjjjnjjjLegendraxxxLegendraP xP xP xf xP xjcf x P x dxP xP xjns xc P x利用准的正交多式例 利用正交多式取正交多式最佳平方逼近元11 , ,: , 1,11,(2)22( )()( )22( ),( )21( )( ),0,1,.,( ),( )2( ) 1,1( )( )jjjjjjjja bLegendraxa btbabaxttxabbababaf xftF tF tP tjcF t P t dtjnP tP tF ts tc P t 在任意上 利

14、用 准的正交多 式例 利用正交多 式在上的最佳平方逼近元01( ) , (2)nf xa bsxabba在上的最佳平方逼近元返回220121322221:1, , 1,1( )11,( ),( ),( ) ,( )|, 1,1.2.(1) /1minx xxxxxxf xxxaaxbxcxdxxxdx 习题1.由在区间上构造带权的首 的正交多项式 并用此正交多项式求函数的一个二次最佳平方逼近元试确定系数 ,b,c,d使十十. 离散数据的最佳平方逼近离散数据的最佳平方逼近010101010( ) , .().( ),( ),.,( ) , ( )( )( ),mmjjmnnjjjf xc a b

15、xxxxyyyyyf xwwwwHspanxxxc a bf xs xcx出函的据在函中求的最佳平方逼近元000000110:( ),( ).( ),( ):.:( ),( ).( ),( )( ( ),( )( ( ),( ):( ( ),( )( )( )( ( ),( )nnnnnnnjjjjjGCFxxxxGxxxxcf xxcf xxCFcf xxs xcxf xg xw方法一 求解法方程组最佳平方逼近元0() ()mjjf xg x001000011111010100000:()()()()()(),.,:()()()(,).(,):.:,(,).(,)nnnmmnmmnnnnGC

16、FxxxyxxxyYxxxycGC 方法二 求解法方程组01100( ,)( ,):( ,)( )( )(,)()()nnnjjjmikjijkjjYcYFcYs xcxwxx 最佳平方逼近元00100001111101010101:()()()()()(),.,:()()(),.,:( )TTnnnmmnmmnnjA WACA WYxxxyxxxyYxxxyccACcs xc 方法三 求解法方程组最佳平方逼近元0( )njjx01010100:,.,.,( ),( ),.,( ) ,( ( ),( )0,1,.,( ),( )( )( )( ( ),( )() ()mmnjjjjnjjjmj

17、jjjxxxwwwxxxf xxcjnxxs xcxf xg xw f xg x利用正交多式构造于集及的正交多式最佳平方逼近元返回01013,1imimxxxxyyyyxabx例：已知数据表用公式s( )=拟合所给数据。3330031131( )( )( )1( ),( )( )1/11/1,1/1TTmmf xabxs xxxxf xaxbxyxyaxAFA AA Fbyx 0101解： 令，( )=2( ,) | (1,3),(2,0.25),(3,0.1) ,1x yxabx2.已知一组数据用公式s( )=拟合所给数据。返回01( ,) | (1,3),(2, 2),(3,1.5) ,1

18、.x yyccx1.已知一组数据求最小二乘拟合曲线习题00(1)0( )( ) (),( )( )( )()(1)!nniiinjijijjinnniiLagrangeLxl x f xxxl xxxfRxxxn插值其中插值基函差十一十一. 函数插值函数插值01001 101:( )10,1, 2,.( )()( )( )( )( ).( ),.,kkknnnkkNewtonxkxxxxNxcxcxcxcf xxx插值基函数构造插商表 得利用重节点插商进行计算00,1, 2,., )( ),0,1, 2,.,jnkkjjjx jnlx xxkn 例例 设设 ( (为为互互异异节节点点，求求证证

19、：0( )0,1, 2,., .( )( )kknknjjjf xxknxxxxLxlx x 0 01 1n n证证：取取，用用节节点点, , ,. . . ., ,对对构构造造L La ag gr ra an ng ge e插插值值函函数数(1)00( )( )( )()(1)!nnnkknjjjjjfRxxlx xxxn 由由插插值值误误差差估估计计定定理理知知，(1)0( )0,1,2,.,.( )0( )0( )0,1,2,.,knnnkkjjjf xxknfxRxxlx xkn 当当，时时 有有。所所以以，得得到到),0,1,., ;(2) , ,(3),(0,1,., )iyina bini2ii+1三次样条插值函数S(x)满足以下条件：(1) S(xS(x)C即在整体上是二阶连续的；S(x)在每一个小区间xx上是三次多项式。基本(复化)求积公式的代数精度:梯=1 辛=3 柯=53(2)5(4):( ( )( )2(