矩阵论试题(2011)

1、矩阵论试题（2011）一.(18分)填空：设1. A-B的Jordan标准形为J=2. 是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（ ）。3. 是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。（ ）4. （ ），其中。5 .若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（ ）。6. AÄB的全体特征值是（ ）。7. （ ）。8. B 的两个不同秩的1-逆为。二.(10分)设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数，（任意）验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。三.(15分)已知。1. 求；2. 用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0) 的解。四.(10分)用House

2、holder变换求矩阵的QR分解。五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。（要求画图表示）六. (15分)已知。1. 求A 的满秩分解； 2. 求A+；3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax=b 是否有解；4. 求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。（要求指出所求的是哪种解）七.(15分)已知欧式空间R2´2 的子空间R2´2 中的内积为V中的线性变换为T(X)=XP+XT, 任意XÎV，1. 给出子空间V 的一个标准正交基；2. 验证T 是V 中的对称变换；3. 求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对角矩

3、阵.八. (7分) 设线性空间Vn 的线性变换T 在基下的矩阵为A，Te表示Vn 的单位变换，证明：存在x0¹0，使得T(x0)=(Te-T)(x0)的充要条件是为A的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分)填空：1. 矩阵的Jordan标准形为J=2. 设则3. 若A是正交矩阵，则cos(pA)=4. 设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A)+=5. 设，则AÄB+I2ÄI3的全体特征值是（ ）。6. 设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为和且与的内积为则基的度量矩阵为（ ）。二.(10分)设,定义实数1. 证明是中的矩

4、阵范数.2. 证明该矩阵范数与向量的-范数相容.三.(15分)已知。1. 求；2. 用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0) 的解。四.(10分)用Givens变换求矩阵的QR分解。五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。（要求画图表示）六. (15分)已知。1. 求A 的满秩分解； 2. 求A+；3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax=b 是否有解；4. 求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。（要求指出所求的是哪种解）七.(15分)设3维欧式空间V 中元素在V的标准正交基下的坐标为(1，-1，0)T. 定义V的变换如下1. 证明T是线性变换；2. 证明T 是对称变换；3. 求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.八. (7分) 设V是数域K上的2维线性空间，V的一组基为，V的两个子空间为证明：V=W1ÅW2.答案：1.; 2.;