矩阵论简明教程4

1、第三章 矩阵分析§1 矩阵序列的极限 一、定义及运算律 定义 设有矩阵序列，其中 。若，则称收敛于，记为或；如果中至少一个极限不存在，则称发散。 可见一个矩阵序列的收敛相当于个数列极限的收敛。 定理 的充要条件是，其中是的任意矩阵范数。 证 因为 所以 。 证毕 推论 若，则。 证 由 即得。证毕 注 上述推论的相反结果不成立。如 =不收敛，但。 性质1 设，其中同阶，则 证 因为 所以 ，故。证毕性质2 设，且有意义，则。证 因为 由推论知有界，从而，故。 证毕 性质3 设，则。 性质4 设，且均可逆，则。证 因为，两边取极限并利用性质2，得，即。证毕 注 性质4中要求的逆矩阵均存

2、在，否则可能发散，如= ，可知不可逆，而，即均可逆，可求得=， 它是发散的。 二、收敛矩阵 定义 设，若，则称为收敛矩阵。 定理 为收敛矩阵的充要条件是。证 必要性 已知，则 ，即有，故。充分性 已知，则取使，存在矩阵范数使得 ，于是，即 ，故。证毕 推论 设，若对上的某一矩阵范数有，则为收敛矩阵。 证 法1. ，故。法2. ，当时，故。证毕 例 矩阵是否为收敛矩阵？为什么？解 (或)，所以是收敛矩阵。（可求得 ， ，。） 作为收敛矩阵的应用，考虑求解线性方程组的迭代解法： 设是精确解，即，将方程组等价地变为，这里等价的含义是。构造迭代格式 取定初值，由迭代格式得到向量序列，希望，问应满足什么

3、条件？因为 可见 。常用的迭代格式是Jacobi迭代：将线性方程组 变形为 则Jacobi迭代格式为 。§2 矩阵级数 一、矩阵级数 定义 由中的矩阵序列构成的无穷和称为矩阵级数。 如果矩阵级数的部分和所构成的矩阵序列收敛，且有极限，即，则称该矩阵级数收敛，称为和，记为=；如果发散，则称矩阵级数发散。若记，则 =相当于 ，即矩阵级数收敛相当于个数项级数收敛。如果其中至少一个数项级数发散，则矩阵级数发散。 定义 设，如果个数项级数均绝对收敛，即 收敛，则称矩阵级数绝对收敛。 性质1 若，则 。 证 由 即得。证毕 性质2 若，则。 性质3 若矩阵级数绝对收敛，则它也一定收敛。 性质4

4、绝对收敛矩阵级数不因改变项的位置而改变其和。 性质5 矩阵级数绝对收敛的充要条件是级数收敛，其中是的任意矩阵范数。 证 先取-范数。若收敛，由于 由正项级数的比较判别法知 均收敛，即绝对收敛。反之，若绝对收敛，则均收敛，从而其部分和有界，即 。取，则，从而 =，故收敛。这表明 绝对收敛收敛由矩阵范数的等价性有： 根据正项级数的比较判别法知： 收敛收敛 证毕 性质6 若收敛（或绝对收敛），则矩阵级数也收敛（或绝对收敛），且= 。 证 若收敛，令，则。从而 =若绝对收敛，则有 =，其中。因为收敛，由比较判别法知：收敛，即绝对收敛。证毕 性质7 若和中的两个矩阵级数和均绝对收敛，且其和分别为与，则它

5、们的柯西乘积 +（+）+（+）也绝对收敛，且其和为。 二、矩阵幂级数 1矩阵幂级数 定义 设，（）, 称矩阵级数为矩阵的幂级数。 幂级数的理论：幂级数 ()的收敛范围是包含原点的一个区间，且幂级数在此区间内绝对收敛，其中是收敛半径，它由确定： 若，则；若，则；若，则=0。区间端点应另外判别其收敛性。 对于复的幂级数，其收敛区域是复平面上包含原点的一个圆域，且在圆域内，幂级数绝对收敛，其中收敛半径仍由确定。定理 设幂级数的收敛半径为，又，则 1）当时，矩阵幂级数绝对收敛； 2）当时，矩阵幂级数发散。 证 1） 因为，故存在，使。根据第二章的定理，存在上的矩阵范数使得，从而 由知，级数绝对收敛，从

6、而绝对收敛（因为收敛）。2） 由Schur定理，存在阶酉矩阵，使得。于是收敛收敛，而的对角元素是（），若，则有某个特征值满足=，从而发散，故发散，也即发散。证毕 推论1 设幂级数的收敛半径为，又。若对上的某个矩阵范数有，则绝对收敛。 证 由即得。证毕 推论2 若的收敛半径是，则对任意，矩阵幂级数绝对收敛。 例 判断矩阵幂级数的敛散性。 解 法1. 令，取幂级数，因为 所以收敛半径为=6。可求得的特征值为，即，故矩阵幂级数绝对收敛。法2. 取幂级数，。可求得，的特征值为。于是，故矩阵幂级数绝对收敛。 2 Neumann级数 定理 设，则矩阵幂级数（称为Neumann级数）收敛的充要条件是（即为收敛矩阵），并且在收敛时，其和为。证 （）已知收敛。记，则。由于 所以 即是收敛矩阵，故。（）已知。由于幂级数的收敛半径为，所以，即收敛。由于，可找到使，从而存在矩阵范数，使，这表明可逆。于是由 得 取极限，并注意（），即得 =。证毕推论 设，如果对上的某个矩阵范数有，则=，且有