矩阵论简明教程2

1、 §3 Jordan 标准形介绍并不是任何一个方阵都能相似于对角阵，对于一般方阵，通过相似变换能化成的较简单的形式是什么呢？ 一、Jordan 标准形的概念 定义 如下形式的分块对角矩阵 ，其中 称为Jordan矩阵，称为阶Jordan块；特别地，一阶Jordan块就是。 例如，矩阵就是一个 Jordan矩阵，它包含四个Jordan块 ，。 显然，Jordan块本身就是一个Jordan阵。对角矩阵也是一个Jordan阵，只不过它的每个Jordan块都是一阶的。定理（Jordan） 每个矩阵都与一个Jordan矩阵相似，即存在可逆矩阵，使得。如果不计中Jordan块的排列顺序，则它由唯

2、一确定，称为的Jordan标准形。 二、求Jordan标准形的方法 方法1 特征向量法 结论 若是方阵的单特征值，则它对应一阶Jordan块；若是的重特征值，且对应有个线性无关的特征向量，则的Jordan标准形中含有个以为对角元的Jordan块，且这个Jordan块的阶数之和等于。可见，只有在有重特征值的情况下，它才可能有二阶及二阶以上的Jordan块。说明如下：设，是的4重特征值，则对应的Jordan块可能出现以下几种情况：(1) 对应有4个线性无关的特征向量时，Jordan块为；(2) 对应有3个线性无关的特征向量时，Jordan块为；(3) 对应有2个线性无关的特征向量时，Jordan块

3、为 或 ；(4) 对应有1个线性无关的特征向量时，Jordan块为。例 求下列矩阵的Jordan标准形：1) ； 解 可求得，所以的特征值为 。又对应有2个线性无关的特征向量 （或秩为1），故的Jordan标准形为 （或）。2) 。解 可求得，所以的特征值为 。又对应只有一个线性无关的特征向量，故的Jordan标准形为 ，（或 ）。 上述方法的缺点是，当的某个特征值的重数为4或大于4时，其对应的Jordan块可能无法确定。 方法2 初等变换法定义1 设矩阵，其中均是的多项式，则称为-矩阵或多项式矩阵。相应地可以定义-矩阵的秩的概念。定义2 对-矩阵进行的如下三种变换称为初等变换： 交换两行（列

4、）； 若交换两行（列），记为 （）； 用数乘某行（列）； 若乘第行（列），记为 （）； 将某一行（列）的倍加到另一行（列）上，其中是的多项式；第行（列）的倍加到第行（列），记为 （）。结论 -矩阵总可以通过初等变换化为如下形式的矩阵 ， 其中均是首一多项式，且 ，且是由唯一确定的，称之为的Smith标准形，称为的不变因子。在用初等变换法求矩阵的Jordan标准形时，是对的特征矩阵这一特殊的-矩阵用初等变换化为Smith标准形来进行的。举例说明如下： 例 求下列矩阵的Jordan标准形： 1） ； 解 第一步：对用初等变换化为Smith标准形：= 从而的不变因子（有时称为的不变因子）为 。 第二

5、步： 再把的每个次数大于零的不变因子（此处是和）分解成关于的不同的一次因式方幂的乘积，并分别写出这些方幂（相同的按出现的次数计数），称之为（或）的初等因子。此题中的初等因子为 和。 第三步： 对每个初等因子作出阶Jordan块，所有初等因子对应的Jordan块构成的Jordan矩阵即是的Jordan标准形。此题中的Jordan标准形为 。 2） 。 解 = 的不变因子为 的初等因子为 的Jordan标准形为 例 已知一个12阶矩阵的不变因子是 ， 求的Jordan标准形。 解 的初等因子为 ， ， ， ， ，故的Jordan标准形为： 。 方法3 行列式因子法 定义 -矩阵中所有阶子式的首一最

6、大公因式称为的阶行列式因子，记为。 结论1 （） 结论2 设是的不变因子，则 结论3 若-矩阵经过初等变换变成，则与的行列式因子相同。 用行列式因子法求方阵的Jordan标准形时，是对求其行列式因子，再求不变因子和初等因子而得到Jordan标准形的。 例 求下列矩阵的Jordan标准形：1）； 解 的一阶子式共有9个，显然 。 二阶子式共有个： ， ， ，所以 。又 ，故 。从而的不变因子为 ， ， ；的初等因子为 ， ；的Jordan标准形为 2） ； 解 ，其中三阶子式 ， 故 ，从而 。又有 ，所以 ，的不变因子为 的初等因子为 ； 的Jordan标准形为 。 3）。 解 中5阶子式 ， 所以