电磁感应中的导轨问题11

1、电磁感应中的导轨问题综述：电磁感应中有一类关于导轨的习题，涉及运动学、牛顿定律、动量守恒及动量定理、能量关系等相关知识，现按不同标准分类如下：一按运动类型分1.1利用楞次定律的“阻碍”作用，分析问题。例1：MN、PO为固定水平光滑直导轨，a、b为金属棒，磁场垂直导轨平面， 若磁场均匀，a棒有向右初速度V0，则b如何运动？ 若a、b原先静止，当磁场均匀变化时，它们如何运动？解析： 由楞次定律可知，b棒应向右加速，a则减速，最后两者达到共速；并且在达到共速前，始终有Vb<Va；因为两者所受安培力等值反向，所以整体合力为0，动量守恒，MaV0=(Ma+Mb)V共 V共 = MaV0/(Ma+M

2、b) 若磁场均匀变小，a、b分开运动，即反向运动；若磁场变大，它们相向运动。1.2 在恒定外力作用下，做匀速运动 例2：长为L、电阻r=0.3、质量M=0.1的金属棒OD垂直跨在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上，两导轨的间距也为L，棒与导轨接触良好，导轨电阻不计，导轨左端接有R=0.5的电阻，量程03.0A的电流表串接在一条导轨上，量程为01.0V的电压表接在电阻R的两端。垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过平面，现用向右恒定的外力F使金属棒以V=2m/s向右匀速滑动，观察到电路中的一个电表正好满偏，而另一个电表未满偏，则满偏的电表是哪个表？拉动金属棒的外力F多大？解析： 应是电压表满偏。此时U

3、=1.0V，I=U/R=2.0A<3.0A 电动势=BLV=I(R+r)=1.6V BL=0.8又匀速 F外= FA=BIL=0.8×2=1.6N1.3 只在安培力作用下做变减速运动例3：在例2中，若撤去外力F，此后金属棒将如何运动？从撤去外力开始，通过电阻R的电荷量Q是多少？解析：撤去外力后，金属棒只受安培力而做加速度越来越小的变减速运动，逐渐慢下来，最后停下来。对金属棒用动量定理， Q=mv/BL=0.25c1.4 在恒定外力下做变加速运动例4：质量m,长度为L，电阻为R的金属棒ab，接在竖直放置的“门”型金属框架上组成闭合回路，框架置于磁感应强度为B的匀强磁场中，棒ab在

4、框架上滑动始终保持水平，所受摩擦力为f，框架电阻不计，当棒ab从静止下滑，达到稳定速度时，电路的电功率是多少？解析：棒ab下滑后，受到重力、摩擦力、安培力的作用做加速度减小的加速运动，直到达到稳定速度。稳定时，mg=f+FA, FA=BIL=B2L2V/R P= FAV=(mg-f)2R/(B2L2)例5：两根竖直放置在绝缘地面上的金属框架的上端接有一电容量为C的电容器，框架上有一质量为m，长度为L的金属棒，平行于地面放置，与框架接触良好且无摩擦，棒离地面的高度为h,磁感应强度为B的匀强磁场与框架平面垂直，开始时电容器不带电，将棒由静止释放，则棒落地时速度多大？解析：对金属棒分析：设其加速度为

5、a， ma=mgFA=mgBIL在t（t0）时间内，电容器上的电量变化为Q=CU=CBLV=CBLat所以，I=Q/t= CBLa所以，ma= mgBIL=mgB2L2Caa=恒量，因此金属棒作匀加速运动1.5 在变力作用下做匀加速运动例6：如图甲，一对平行光滑导轨放在水平面上，两轨道间距L=0.20m,电阻R=1；有一导体棒静止放在轨道上，与两轨道垂直，棒与轨道的电阻都忽略不计。现有一外力F沿轨道方向拉棒，使之做匀加速运动，测得力F与时间t的关系如图乙所示。求棒的质量m和加速度a.解析：物体做匀加速运动，由牛顿第二定律可知 FFA=ma FA=BIL=B2L2V/R V=at F=ma+ B

6、2L2 at /R 从图线乙中任取两组坐标如（0s，1.5N）、(30s，4.5N)代入，可求得a=10m/s2, m=0.151.6 外力以恒定功率拉动棒例7：两光滑导轨水平放置在匀强磁场中。磁场垂直导轨所在平面，金属棒ab可沿导轨自由滑动，导轨一端接一个定值电阻R，导轨电阻不计。现将金属棒沿导轨由静止向右拉，若保持拉力恒定，经时间t1后速度为v，加速度为a1，最终以速度2v做匀速直线运动；若保持拉力的功率恒定经时间t2后，速度为v，加速度为a2，最终也以速度2v做匀速直线运动，则a1与a2的关系怎样？解析：F恒定时，ma1=FFA 速度为v时，FA=B2L2v/(R+r) r为金属棒ab的

7、电阻 匀速时，速度为2v, a=0, F= B2L22v/(R+r) ma1= B2L2v/(R+r) 拉力F的功率恒定时，ma2= FFA速度为v时，F=P/v FA=B2L2v/(R+r)匀速时，a=0,F=FA= B2L22v/(R+r)=P/2v ma2=3 B2L2v/(R+r)=3a1即 a2=3a1二、按导轨是否固定分2.1导轨固定：上述所有例题都是导轨固定的情况。2.2导轨自由 例8：矩形金属线框abcd质量为4m, ab边和cd边的电阻均为R，ad边bc边足够长且电阻不计。金属棒ef 质量m，电阻为R，与线框的ad边和bc边接触良好，且无摩擦。开始时将线框静止放在绝缘且光滑的

8、水平面上，范围足够大的匀强磁场处置于线框平面，使金属棒ef以初速度V0向右运动，求金属棒ef最终的速度和其上产生的焦耳热。 解析：运动后某时刻，设ef中的电流是I，则ab cd中的电流各为I/2，所以，ef所受的安培力FA=BIL，方向向左，ab cd所受的安培力FA1= FA2=BIL/2，方向都向右，所以矩形框架abcd和金属棒ef的合力等于0，系统动量守恒 mV0=5mV, 即V= V0/5 所以ef的最终速度为V0/5，向右； 由能量关系，系统产生的焦耳热等于系统损失的动能，Q总= mV02/25mV2/2= 2mV02/5,又 QabQcdQef=114 Qef=4mV02/15 例

9、9：例8中若金属线框固定，则ef的最终速度和其上产生的焦耳热又是多少？ 解析：ef 最终停下来，V=0 Q总= mV02/2 Qef=mV02/3三、按导轨所处平面分3.1 导轨处于水平面内，如上面例1、2、3、6、7、8、9；3.2 导轨处于竖直面内，如上面例4、5；3.3 导轨处于斜面上 例10：MN、PQ为相距L的光滑平行导轨，导轨平面于水平方向成角，导轨位于方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。在时刻t1=0时，质量为m的导体棒ab由静止下滑，在时刻t2=T，ab已在做速度为v的匀速直线，设M、P间接一阻值为R的电阻，其余电阻均不计，在时间T内，磁场力对ab的冲量大小为多少？磁感应强度多

10、大？ 解析：由动量定理，mgsin·TIA=mv0 IA= mgsin·Tmv匀速时 合外力为0，mgsin=FA= B2L2v/R 例11：在于水平面成角 的矩形导电框架范围内，有垂直于框架平面斜向上、磁感应强度为B的匀强磁场，框架ad、bc部分足够长，且电阻不计，ab、cd部分的电阻均为R，长度均为L，有一质量为m，电阻为2R，夹于ad、bc之间的金属裸导线，从图示位置无摩擦地平行于ab沿框架上冲，上冲初速度未知，其所能到达的离图示位置的最大高度未h，此过程中ab上发热Q，求ab的最大发热功率。 解析：由动能定理，0mV02/2=mghWA=mghQ总 QabQcdQ棒

11、=（I/2）2R（I/2）2RI22R=1Q1Q8Q Q总=10Q V02=2gh+20Q/m 又 Pab=Iab2R=（0.5BLV/2.5R）2R ab棒一直做减速运动，所以速度为V0时最大，Pabmax=B2L2（20Q+2mgh）/25mR四、按导轨形状分类4.1平行等距导轨，上述所有例题中的导轨都属于此类别；4.2平行不等距导轨 例12：无限长的光滑平行导体框架MON、xoy水平放置，左右两侧的宽度分别为L1、L2，且L1=2L2=2L，匀强磁场垂直纸面向里，范围足够大，磁感应强度为B两根金属棒a、b的质量分别为Ma=2Mb=2m，电阻分别为Ra=2Rb=2R，导轨电阻不计，初始金属

12、棒a、b离OO足够远。 若开始时金属棒b静止，而给金属棒a一个水平向右的初速V0，求此时b棒的加速度？ 若使棒a、b同时获得相向的速度，大小分别为Va、Vb，且Vb= 2Va=2 V0，求在以后过程中b棒的最小速度。解析； Vb=0，E=B2LV0，I=E/3R，FAb=BIL a=2B2L2V0/3Mr a、b棒所受安培力大小不相等，合外力不为0，动量不守恒。a、b棒所受安培力大小之比 FAaFAb= L1L2=21 a、 b棒的加速度之比 a1a2=11，又Vb= 2Va=2 V0所以，a先减速到0后反向（向左）加速，b一直减速，最终两者一起匀速，匀速时b的速度为其最小速度。以向左为正方向

13、，对a、b分别用动量定理 a： FAa·t=2mVa(2m V0) b： FAb·t=mVbm2 V0且匀速时应有=BS=0，即 Va· t·2L= Vb· t·LVa Vb=12联立上述四式，解得Va= V0/3 向左 Vb= 2V0/3 向左4.3圆形导轨例13：一个粗细均匀、电阻为2R的金属圆环，放置在垂直于纸面向里的匀强磁场中，其直径为L，将长也L、电阻为R/2的金属棒ab放置在金属圆环上，并以速率v匀速向右，当ab 运动到图示位置时，=60°，ab两端的电势差为多少？解析：电动势E=BLV，圆环左右两部分并联与cd

14、部分串联， Uac=Udb=BL（1sin）V/2 Ecd=BL sinV 圆环左右两部分电阻分别为R1=4R/3，R2=2R/3，cd部分电阻为r=R sin/2 电路中电流I=Ecd/（R1/R2+r） Ucd=EIr = Uab= Uac+Udb+ Ucd= ，且b端电势高。4.4 三角形轨道例14：三角形金属框架MON平面与匀强磁场B垂直，导体ab能紧贴金属框运动，当导体从O点看势向右匀速平动时，速率为V，则回路Obc中感应电动势随时间变化的函数关系怎样？解析；E=BLcbV=B（V·t·tg30°）V=BV2 tg30°·t4.5 正

15、弦形导轨例15：匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=0.40T，OCA导轨与OA直导轨分别在O点和A点接一阻值R1=3.0和R2=6.0几何尺寸可忽略的定值电阻，导轨OCA的曲线方程为y=1.0sin(x/3)(m)，金属棒ab长1.5米，以速度v=5.0m/s水平向右匀速运动。（b点始终在x轴上），设金属棒与导轨接触良好，摩擦不计，电路中除了电阻R1、R2外，其余电阻不计，曲线OCA与x轴之间所围面积越为1.9。求：金属棒在导轨上运动时R1的最大功率金属棒在导轨上运动从x=0到x=3m的过程中通过金属棒ab的电量金属棒在导轨上运动从x=0到x=3m的过程中，外力必须做多少功？解析： 金属

16、棒切割产生的电动势=ByV=BV sin(x/3)R1上产生的功率P1=2/R1当sin(x/3)=1，即x=1.5m时P1max=（0.4×5.0×1）2/3.0=4/3w Q=I平t=/R总=BS（R1+R2）/R1R2=0.38C 由动能定理 W外WA=00 WA=E有效2t/ R总 t=OA/v=0.6s 而金属棒产生的电动势= BV sin(x/3)是按正弦变化的 W外=0.6J补充：例16：两根相距d=0.20m的平行光滑金属导轨育水平方向成30°角固定，匀强磁场的磁感应强度B=0.20T，方向垂直两导轨组成的平面，两根金属棒ab、cd互相平行且始终育导轨垂直地放在导轨上，它们的质量分别为M1=0.1kg，M2=0.02kg，两棒电阻均为0.02，导轨电阻不计，当ab棒在平行于导轨平面斜向上的外力作用下，以V=1.5m/s速度沿斜面匀速向上运动时，求金属棒cd运动的最大速度若要使ab棒向上运动、cd向下运动，而磁场强度B不变，则题目中的条件应受到哪些