湖南衡阳八中2013高三第三次教学质量检测-数学理

1、湖南省衡阳市八中2013届高三第三次教学质量检测 理科数学试题（考试内容：集合、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何）考生注意：本试卷共150分；考试时间为120分钟一、选择题（本大题共8小题，每小题5分）1已知全集，集合，则=（ ） A. B. C. D. 2若复数, ,则（ ） A B. C. D. 第4题3已知数列的前n项和为，且, 则等于 （ ）A 4 B2 C1 D 4某几何体的三视图如图所示,它的体积为（）A BC D5对任意，函数不存在极值点的充要条件是（ ）A、B、C、或D、或6在中， ,，则（ ）A. B. C. D. 7将一根钢管锯成三段,焊接成一个面积为,形状为

2、直角三角形的框架,有下列四种长度的钢管供选用,其中最合理(够用且最省)的是（ ）A、B、C、D、8设,又是一个常数,已知当或时,只有一个实根, 当时,有三个相异实根,现给出下列命题: (1) 和有且只有一个相同的实根. (2) 和有且只有一个相同的实根. (3) 的任一实根大于的任一实根.(4) 的任一实根小于的任一实根.其中错误命题的个数为（ ）A4 B3 C2 D1二填空题（本大题共7小题，每小题5分）9 . 10设，计算可知 ，并由此概括出关于函数和的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是_A11. 已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为 .12. 已知如图所示圆锥

3、的母线长为6 ,底面半径为1,现有一只蚂蚁从底面圆的A点出发,绕圆锥侧面一圈后回到点A,则这只蚂蚁爬过的最短距离为 .13已知,则 14已知的三边长成公比为的等比数列，则该三角形的形状为 15如图，正方体，则下列四个命题：在直线上运动时，三棱锥的体积不变；在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变；在直线上运动时，二面角的大小不变；是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）三解答题（本大题共6小题，共75分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16（本题满分12分）已知函数 （1）求函数的最小正周期以及最大值和最小值；（2）求函数的增区间

4、。17（本题满分12分）在中，角A、B、C的对边分别为，且满足 （1）求角B的大小； （2）若，求面积的最大值18（本小题满分12分）如图所示，是边长为的正方形，是以角为直角的等腰三角形（1）为上一点，且平面，求证：平面平面；第18题（2）若，求二面角的余弦值19（本小题满分13分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费。每一年度申请总额不超过6000 元。某大学2012届毕业生在本科期间共申请了24000 元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清。签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开

5、始，每月工资比前一个月增加5% 直到4000 元。该同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元。（）若该同学恰好在第36 个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值；（）当x = 50时，该同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？（参考数据： ）20（本小题满分13分）已知数列满足，.（1）求，；（2）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式。（3）若,求的前项和21.（本小题满分13分） 已知函数（1）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（2）若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为

6、0，且，已知，求证：；（3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由衡阳市八中2013届高三第三次教学质量检测数学（理科）参考答案选择题: C C A C A B C D填空题:9. 10. 11. 12. 13. 14. 钝角三角形 15. 解答题: (12分+ 12分+ 12分+ 13分+ 13分+ 13分)16.解: (1) ,最小值为-7,最大值为1 (2) 解得单调增区间为17.(1)由题意,条件可化为:,即 由正弦定理得: 即: 又 (2)由题意,即,由余弦定理得:由基本不等式可知: 故 当三角形ABC为正三角形时,最大面积为 18，在中， 在中， 即二面角的余弦值为 （）解法二：如图，以为轴，为轴，以过,且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，易得 由知平面, 又由，° 可得 则平面的法向量为 平面的法向量为 故即二面角的余弦值为 1920解： （1）（2）证明：由题设可知 是以为首项，为公差的等差数列 故 (3) 利用错项相减的办法解得:21.解：(1)，要使函数f(x)在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0，当在内恒成立；当要使恒成立，则，解得，当恒成