2013年初中数学奥数决赛试题初三(共7页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年初中数学奥数决赛试题初三年级一、选择题(本大题共5个小题，每小题6分，满分30分。)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的。请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。1方程 的解的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D无穷多个2.a是正整数，下列哪个数一定不是正整数的平方？（ ）A.3a23a+3 B.4a2+4a+4 C.5a25a5 D.7a27a+7第（3）题3.如图，一个半径为的圆形纸片在边长为（）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）A. B. C. D.4设0k1，关于x的一次函数，当1x2

2、时的最大值是（ ）A.k B. C. D.5设a，b是正整数，满足abab，给出以下四个结论： a，b都不等于1； a，b都不等于2； a，b都大于1； a，b至少有一个等于1其中正确的结论是（ ）A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5个小题，每小题6分，满分30分)1.将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作(见下图).按上边规则，完成2013次操作以后，再剪去所得小正方形的左下角.问:当展开这张正方形纸片后，一共有 个小孔.2 已知：a2，那么73a的取值范围是 3.方程 的解是 .4.一次函数的图象经过点，则的值为 .5.设实数a，b满足不等式，则ab的符号为

3、三、解答题（共5个小题，满分40分）1.（6分）已知，(x2+y2)2=x2+y2+12,求x2+y2的值。2.（7分）已知：在梯形ABCD中，ABCD，O是AC和BD的交点，OEAB交BC于有E求证：3.（8分）已知y=，求y的最大值4.（9分）已知：ABC中，D，E分别在BC，AC上，B12，如果ABC，ADC，EBD的周长依次为x ,y,z。求证： 5（10分）若x为整数，在使x2x4为完全平方数的所有x的值中，设其最大值为a，最小值为b，次小值为c（1）求a、b、c的值；（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，加上剩下的一个数，这样就仍得到三个数再对所得

4、三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，得到2012，2013，2014？证明你的结论2013年初中数学奥数决赛试题初三年级参考答案一、选择题(本大题共5个小题，每小题6分，满分30分。)1.D分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2013看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。 2.B分析：（A）3a23a+33a(a1)+1 只要a(a1)+13，即连续数a(a1)2这是可能的，a=2时（A）的值是32用同样方法可求得（C），(D)的值可以是52，72故选（B）当然也可直

5、接推出（B）一定不是正整数的平方，在4a(a+1)+1中，连续整数的积a(a+1)3（连续正整数的积的个位数只能是0，2，6）3. C解:如图，当圆形纸片运动到与的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心作两边的垂线，垂足分别为D，E，连，则Rt中，AED有由题意，得，圆形纸片不能接触到的部分的面积为4答案：A解：该一次函数的值随x的增大而减小，当1x2时，最大值为5 答案：D解：由abab，得（a1）（b1）<1. 因为a，b是正整数，所以（a1）（b1）0，故a和b中至少有一个为1 二、填空题(本大题共5个小题，每小题6分，满分30分)1. 42012解：通过操作可以知道：按规则完成一次操

6、作，展开后的正方形纸片上共有40=1个小孔；按规则完成两次，展开后的正方形共有41=4个小孔；按规则3次操作，展开后的正方形纸片上共有42=16个小孔；第4次后为：43个小孔；根据这个规律，容易得到原题展开正方形纸片后，第2013次有：42012个小孔，2. 73a1解：a2， 两边乘以3，得 3a6 两边加上7， 得 73a7673a13. .解：， , ，原方程可化为：即：，解得：x ， 4.13-6解：可求得.原式=5. ab<0解：不等式两边都是非负数，两边平方不等号方向不变两边平方得，a22(a+b)+(a+b)2<a22a(a+b)+(a+b)2化简，得（a+b）>

7、;a， 可知 a0，a+b0两边除以得，a+b>显然不等式要成立，只有， 故a<0由此得a+b>， 显然只有a+b>0，又a<0， 故b>0a，b的符号是：a<0， b>0ab<0三、解答题（共5个小题，满分40分）1.解：(x2+y2)2(x2+y2)1201分(x2+y24)(x2+y2+3)03分 x2+y24=0或x2+y2+3=04分 x2+y2=4 或x2+y2=-3,但x2+y20,不合题意舍去5分 x2+y2=46分2. 证明: 2分= ，= 4分+=15分6分7分3.分析 首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围

8、内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者解：=2x+6+x-1-4x+11分有三个分界点：-3，1，-12分(1)当x-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x-3，所以y=x-1-4，y的最大值是-44分(2)当-3x-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3x-1，所以-45x+116，y的最大值是65分(3)当-1x1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1x1，所以0-3x+36，y的最大值是66分(4)当x1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x1，所以1-x0，y的最大值是07分 综上可知，当x=-1时，y取得最大值为68分4.证明：设BCa，ACb，ABc 1分 12 ， DEAC， ABCEBDDAC 2分 ，即DC 4分 BDBCDCa= 6分 ， 8分9分5. 解：（1）设x2x4=k2（k为非负整数），则有x2x4k2=0，1分由x为整数知其为完全平方数，即14（4k2）=p2（p为非负整数），3分（2kp）（2kp）=15，显然：2kp>2kp,所以或，解得p=7或p=1，4分所以，得：x