《概率论与随机过程》习题

1、1 / 4 概率论与随机过程第一章习题 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） 。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3） 10 只产品中有 3 只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回） ，直到将 3 只次品都取出，记录 抽取的次数。 （4） 生产产品直到得到 10 件正品，记录生产产品的总件数。 （5） 一个小组有 A，B，C，D，E5 个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务） ，观察选 举的结果。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取 4

2、只，观察它们具有哪几种颜色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品” ，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9） 有 A，B，C 三只盒子，a, b，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2. 设 A，B，C 为三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与 C 不发生。 （2） A 与 B 都发生，而 C 不发生。 （3） A，B，C 都发生。 （4） A，

3、B，C 中至少有一个发生。 （5） A，B，C 都不发生。 （6） A，B，C 中至多有一个发生。 （7） A，B，C 中至多有二个发生。 （8） A，B，C 中至少有二个发生。 5.设 A，B，C 是三事件，且 P（A）二 P（B）二 P（C） =1 4，P（AB）二 P（CB） = 0，P（AC） = 1 8，求 A， B，C 至少有一个发生的概率。 6.在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正品，任意取 200 个。 （1） 求恰有 90 个次品的概率。 （2） 至少有 2 个次品的概率。 500 个人，问至少有一个人的生日是 10 月 1 日的概率是多少（设一年以 36

4、5 天计算）？ 3. 设 S , A=* (1) A B。 ( 2) A B。 2*1， （3）AB。 AB。 ，具体写出下列各式。 7. （1） 在房间里有 2 / 4 4 个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？3 / 4 8. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以 A, B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一 事件。根据以往的气象记 录已知 P（A）二P（B） = 0.4，P（AB）=0.28，求P（A/B）， P（B/A）及 P（A 一 B）。 9. 已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概 率。 （

5、1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。 （3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。 10. 某工厂中，机器 B2, B3分别生产产品总数的 25% 35 唏口 40%它们生产的产品中分别有 5% 4% 2% 的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器 B, B2, B3生产的 概率分别是多少？ 11. 将二信息分别编码为 A 和 B 传送出去，接收站接收时， A 被误收作 B 的概率为 0.02，而 B 被误收作 A 的 概率为 0.01。信息 A 与信息 B 传送的频繁程度为 2:1。若接收站收到的信息是 A，问原发信息是 A 的概

6、率 是多少？ 12. 如图所示 1, 2, 3, 4，5，6 表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为 闭合与否相互独立。求 L 至 R 连通的概率是多少? 14. 一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5,在其中同时取三只。以 X 表示取出的三只球中的最大号 码，写出随机变量 X 的概率密度。 k 15. （ 1）设随机变量 X 的概率密度为PX=k=a , k=0,1,2， .0为常数，试确定常数 a。 k! （2） 设随机变量 X 的概率密度为 PX =k a , k =0, 1,2，N -1，试确定常数 a。 N 16. 设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,

7、当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号。（1）进行了 5 次独立试验，求指示灯发出信号的概率。 （2）进行了 7 次独立试验，求指示灯发出信号的概率。 p，且设各继电器接点 13. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为 而被击落的概率为 0.2， 击中二次而被击落的概率为 （0.4，第二次为 0.5，第三次为 0.7。飞机击中一次 0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次 ）。 4 / 4 17. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求：（1）每分钟恰有 8 次呼唤的概率。（2） 每分钟的呼唤次数大于 10 的概率。5 / 4 设随机变量 X 的分布

8、函数为 工厂生产的电子管的寿命 X (以小时计)服从参数为-160，二的正态分布，若要求 P120 : X _200 _0.80,允许匚最大为多少? 设随机变量 X 的概率密度为 X -2 -1 0 1 3 Pk 1 1 1 1 11 5 6 5 15 30 2 求丫二X的概率密度。 0 “X :：，求丫 =sinX的概率密度。 其它 设随机变量(X，Y)的概率密度为 X2 + 空 0 x 1 0 y p& =k= n pk(1-p)Z, k=0,1,2，n. 0cpc1.求 E(X)和 D(X)。 卜丿 设 X 服从泊松分布，其概率质量函数为 P*x =k e , k =0,1,2，

9、 0.求 E(X)和 D(X)。 k! 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. F(x)= 1 -e 0, x _0, x : 0. (1)求 PX 2, PX 3, (2)求概率密度f (x)。 设 X 的概率密度为 2x f(x)=监巨 i , 6 / 4 设 X 服从均匀分布，其概率密度函数为1 7 / 4 对于任意两个随机变量 X, Y，证明下式成立： (1) D(X Y) =D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)； (2) Cov(X,Y) =E(XY) _E(X)E(Y)。 设随机变量(X，Y)的概率密度函数为 K, 0 :：- x ：1,

10、0 ： y : x, f(x,y) 试确定出常数 0, 其匕， 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是 毫升含白细胞数在 52009400 之间的概率。 7300,均方差是 700。利用契比雪夫不等式估计每 f(x)=eJ X0，其中乙0为常数。求E(X)和D(X)。 0, xW0 x x2 , f(x) 2 exp2), x 0，其中二 0 为常数。求 E(X)和 D(X)。 i 0, xE0 设随机变量 X 的概率质量函数为 PX=kpq2 , k =1,2,。其中0：p：:1, q=1-p为常数，则称 X 服从参数为p 的几何分布。试求 E(X)和D(X)。 1 设随机变量(X，

11、丫)的概率密度函数为.f(x,y) (x y), 0 乞 x 空 2,0 岂 y 乞 2。求E(X)、E(Y)、Cov( X ,Y )。 8 计算机在进行加法时，对每个加数取整(取为接近于它的整数) ，设所有的取整误差是相互独立的，且它 们都在(-0.5 , 0.5) 上服从均匀分布。 (1) 若将 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少？ (2) 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于 10 的概率为 0.90? (1) 一个复杂的系统，由 100 个相互独立起作用的部件所组成。 在整个运行期间每个部件损坏的概率 0.10 为了使整个系统起作用，至少必需有 85 个部件工作，求整个系统工作的概率。 (2) 一个复杂的系统，由 n个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性(即部件工作的概率)为 0.90。且必须至少有 80%部件工作才能使整个系统工作，问 n至少为多少才能使系统的可靠性为 0.95。 某个单位设置一电话总机， 共有 200 架电话分机。设每个电话分机有 5%的时间要使用外线通话， 假定每 个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以 90%的概率保证每个分机要使用外线 时可供使用。 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.