222直接证明与间接证明-反证法

1、2.2.2直接证明与间接证明反证法反证法思考？思考？ A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C必定是在撒谎，为必定是在撒谎，为什么？什么？分析分析: :假设假设C C没有撒谎没有撒谎, , 则则C C真真. 那么那么A A假且假且B B假假; ;由由A A假假, , 知知B B真真. . 这与这与B B假矛盾假矛盾. .那么假设那么假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立; ;则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. . 反证法：反证法： 假设假设命题结论的命题结论的反面成立反面成立，经过正确的，

2、经过正确的推理推理, ,引出引出矛盾矛盾，因此说明假设错误，因此说明假设错误, ,从从而证明原命题成立而证明原命题成立, ,这样的的证明方法叫这样的的证明方法叫反证法反证法。反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反例例1 1用反证法证明用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么a a b b证证：假假设设 a a b b不不成成立立，则则 a a b b若 a =b，则a = b,若 a =b，则a = b,与已知a b矛盾,与已知a b矛盾,若 a b，则a b,若 a b，则a b矛盾,与已知a b矛盾,故假设不成立，结论 a b成立。故假设不成立，结论 a b成立。练一练

3、：练一练： 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有有且只有一个根。且只有一个根。证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x ，x x 且且x x x x1212则ax = b，ax = b则ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -

4、x 0 a = 0 a = 0与已知a 0矛盾,与已知a 0矛盾,故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。反思反思1 1：用用反证法证题反证法证题的一般步骤是什么？的一般步骤是什么？（1 1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾；（3 3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 例例2 2 求证：求证： 是无理数是无理数。2 2证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则存存在在互互质质

5、的的整整数数m m，n n使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m= =2 2k k（k kN N）22222222从而有4k = 2n ，即n = 2k从而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶数，n 也是偶数，这与m，n互质矛盾！这与m，n互质矛盾！假设不成立，故假设不成立，故 是无理数。是无理数。2练一练：练一练：1 1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？（1）与原命题的条件矛盾；）与原命题的条件矛盾；（3）与

6、定义、公理、定理、性质矛盾；）与定义、公理、定理、性质矛盾；（2）与假设矛盾。）与假设矛盾。（1 1）难于直接难于直接使用已知条件使用已知条件导出结论导出结论的命题；的命题；（2 2）唯一性唯一性命题；命题；（3 3）“至多至多”或或“至少至少”性命题；性命题；（4 4）否定性或肯定性否定性或肯定性命题。命题。2 2、你认为反证法的使用情形有那些？、你认为反证法的使用情形有那些？反思反思2 2：（4 4）与客观事实矛盾）与客观事实矛盾. .说明：说明：常用的正面叙述词语及其否定：常用的正面叙述词语及其否定：正面正面词语词语等于等于大于（大于（） 小于小于 ()是是都是都是否定否定正面正面词语词

7、语至多有至多有一个一个至少有至少有一个一个任意的任意的所有的所有的至多有至多有n个个任意任意两个两个否定否定不等于不等于小于或小于或等于（等于（）大于或大于或等于（等于（）不是不是不都是不都是至少有至少有两个两个一个也一个也没有没有某个某个某些某些至少有至少有n1个个某两个某两个思考：思考：小结小结 1.1.反证法是一种间接证明的方法，是反证法是一种间接证明的方法，是解决某些解决某些“疑难疑难”问题的有力工具，其问题的有力工具，其基本思路是：基本思路是：假设结论不成立假设结论不成立构设矛盾构设矛盾否定假设否定假设肯定结论肯定结论. . 2.2.反证法主要适用于以下两种情形：反证法主要适用于以下

8、两种情形： （1 1）所证的结论与条件之间的联系不）所证的结论与条件之间的联系不明显，直接有条件推出结论线索不清晰；明显，直接有条件推出结论线索不清晰； （2 2）从正面入手需要分成多种情形进）从正面入手需要分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只要研究一种行讨论，而从反面证明，只要研究一种或很少的几种情形或很少的几种情形. .练习：练习：1 1、 已知实数已知实数a a，b b，c c满足满足0a,b,c10a,b,c0a+b+c0，ab+ac+bc0ab+ac+bc0，abc0abc0，求证：，求证： a0a0，b0b0，c0c0没有负根用反证法证明：方程（上为增函数在区间（证明：函数、已知函数0f(x)2)1,)() 1 () 1(122xfaxxayx121212122222112211221:若p p = 2(q +q ),证明:关于x的方程1:若p p = 2(q +q ),证明:关于x的方程x +p x+q = 0与x +p x+q = 0中至少有一x +p x+q = 0与x +p x+q = 0中至少有一个有实根.个有实根.2 22 22 22 2: :若若a a, ,b b, ,c c均均为为实实数数, ,且且