【市级公开课】【教案】《与抛物线有关的定值定点问题探究》教学设计

1、与抛物线有关的定值定点问题探究教学设计（一）三维目标：知识与技能：与抛物线有关的定值定点问题探究；过程与方法：探究式学习、先特殊后一般、先猜想后证明的数学思想；情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，体验数学结论产生的过程；（二）教学重点：与抛物线有关的定值定点问题探究；（三）教学难点：与抛物线有关的定值定点问题探究；（四）教学过程：一、引例：过抛物线的焦点的一条直线和该抛物线相交于A、B两点，已知A、B两点的纵坐标分别为和，求证：。解：设直线方程为： 由韦达定理得：探究一：过抛物线焦点的一条直线和该抛物线相交于、两点，已知、两点的纵坐标分别为和，则的值是否也是常数？师生互动探究，得出结论。结

2、论一：过抛物线焦点的一条直线和该抛物线相交于、两点，已知、两点的坐标分别为、，则：，。探究二：如果直线不过抛物线焦点，那么、还会是常数吗？师生互动，得出结论。结论二：直线和抛物线相交于两点、，如果直线过定点（），那么：，。注：体现了由特殊到一般的数学思想。探究三：当直线过定点（），和抛物线相交于两点、，由于、均为定值，故而联想到向量的数量积运算，可知为定值。结论三：当直线过定点（），和抛物线相交于两点、，则。二、练习：（1）（2001天津）设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线相交于、两点，则等于（ ）ABCD（2）（2006上海）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于、两点，如果直线过点，那么=

3、三、探究四：（1）由于为定值，联想到两直线垂直情况。那么，当直线过抛物线焦点时，与是否垂直？推导发现：当直线过抛物线焦点时，所以与不垂直。（2）当直线过抛物线焦点时，与不垂直，那什么情况下？通过几何画板演示，师生共同寻找，并猜想：当直线过点时，。因为：当直线过定点（），和抛物线相交于两点、，则，由于，所以。结论四：直线和抛物线相交于两点、，如果直线过定点，那么。探究五：上述结论的逆命题是否成立？证明：设直线方程为（），代入得，可得，则，由于，所以，即直线过定点。结论五：直线和抛物线相交于两点、，如果，那么直线过定点。例题：（2000年北京、安徽春招）点和点为抛物线上原点外的两个动点，已知，求动

4、点轨迹方程。解：设直线方程为（），代入得，可得，则，由于，所以，即直线过定点。法一：设，由，得，得 ()法二：由已知可得，点在以为直径的圆上，得 ()四、本节小结1.本节学习了什么？直线与抛物线位置关系，定值定点问题等；2.本节学习给你什么启示？数学结论产生的过程：发现猜想证明特殊与一般的思想、函数的思想、数形结合的思想等等；五、作业1.已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于、两点，则的最小值是2.在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于、两点，若，求实数的值。3.自抛物线的顶点引两条互相垂直的弦、，求弦中点的轨迹方程。六、引申1.过抛物线上一定点，作互相垂直的弦、，与抛物线相交于另两点、，则直线过定点吗？2.在上面的探究中，当直线过抛物线焦点时，、都是定值，还有没有什么量可以成为定值的？也是定值，可以课后探讨：当直线、斜