概率统计和随机过程第十二章平稳过程ppt课件

1、第十二章第十二章 平稳过程平稳过程平稳过程是一类特殊的随机过程平稳过程是一类特殊的随机过程, ,它的运用极为广泛它的运用极为广泛. . 第一节 严平稳过程一定义1 随机过程 ，假设对恣意 维 ),(TttXn分布函数分布函数,恣意实数恣意实数 ,满足满足: ),;,(2121nntttxxxF ),;,(2121 nntttxxxF , 2 , 1n那么称那么称 为严平稳过程为严平稳过程,或称狭义平稳过程或称狭义平稳过程. )(tX1严平稳过程的含义是严平稳过程的含义是:过程的任何有限维概率分布过程的任何有限维概率分布 与参数的原点选取无关与参数的原点选取无关,二二. 严平稳过程的一维严平稳过

2、程的一维,二维分布函数的性质二维分布函数的性质特殊地特殊地,取取 121,ttt一维分布函数一维分布函数);();(111111txFtxF)0 ;(11xF)(11xF二维分布函数二维分布函数),;,(),;,(2121221212ttxxFttxxF);,(), 0 ;,(212212xxFxxF2上式阐明上式阐明:严平稳过程的一维分布函数严平稳过程的一维分布函数 不依赖不依赖 )(11xF于参数于参数 , t二维分布函数二维分布函数 仅依赖于参数间距仅依赖于参数间距 );,(212xxF12tt 而与而与 本身无关本身无关. 21,tt三三.(1)离散形状随机过程离散形状随机过程 ,严平

3、稳性条件严平稳性条件)(tX)(,)(,)(2211nnxtXxtXxtXP )(,)(,)(2211nnxtXxtXxtXP 3(2)延续形状随机过程延续形状随机过程 ,严平稳性条件严平稳性条件)(tX),;,(2121nntttxxxf ),;,(2121 nntttxxxf一维概率密度函数一维概率密度函数 );();(111111txftxf) 0 ;(11xf)(11xf二维概率密度函数二维概率密度函数),;,(),;,(2121221212ttxxfttxxf);,(), 0 ;,(212212xxfxxf4四四. 严平稳过程的数字特征的性质严平稳过程的数字特征的性质设设 为延续形状

4、严平稳过程为延续形状严平稳过程),(TttXdxxxfdxtxxftXE)(),()(11X(常数); dxxfxdxtxfxtXE)(),()(121222X(常数);2222)()()(XXtXEtXEtXD2X (常数); 52121221),;,()()(dxdxttxxfxxtXtXE )();,(2121221XRdxdxxxfxx (仅依赖于 ,而不依赖于 );t)()()()(tEXtXtEXtXE)()(tXtXE)()(tXEtXE)()(2XXXCR于是得到于是得到6 定理一定理一 设设 是严平稳过程是严平稳过程,假设过程的二假设过程的二 ),(TttX阶矩存在阶矩存在,

5、那么那么 (1) XtXE)(22)(XtXE2)(XtXD均为常数均为常数,与参数与参数 无关无关;t(2) )()()(XRtXtXE)()()()(tEXtXtEXtXE)(XC仅依赖于参数间距仅依赖于参数间距 ,而不依赖于而不依赖于 .t7数字特征的这一性质也称为平稳性数字特征的这一性质也称为平稳性.定理一的逆定理是不成立的定理一的逆定理是不成立的. 例1 (Bernoulli序列) 独立反复地进展某项实验,每次 实验胜利的概率为实验胜利的概率为 ,失败的概率为失败的概率为 . ) 10( ppp1 表示第表示第 次实验胜利的次数次实验胜利的次数,nXn, 3 , 2 , 1, nXn

6、是严平稳过程是严平稳过程. 实验证实验证8(即， 分布函数不变)例例2 设设 是相互独立的规范正态随机变量是相互独立的规范正态随机变量, YX,0,)()(22ttYXtZ实验证随机过程实验证随机过程 不是严平稳过程不是严平稳过程, )(tZ)(tZ的数字特征也不具有平稳性的数字特征也不具有平稳性. 1exp0( ; )2200zzf z tttz9第二节第二节 广义平稳过程广义平稳过程 (一) 广义平稳过程的定义定义2 设随机过程 ,对于恣意 ,满足: )(tXTt (1) 存在且有限;)(2tXE(2) 是常数;XtXE)(3) 仅依赖于 ,而与 无关,)()()(XRtXtXEt那么称那

7、么称 为广义平稳过程为广义平稳过程,或称宽平稳过或称宽平稳过程程,简称平稳过程简称平稳过程. )(tX10参数集参数集 为整数集或可列集的平稳过程为整数集或可列集的平稳过程T又称为平稳序列又称为平稳序列,或称平稳时间序列或称平稳时间序列.(二) 广义平稳过程的数字特征的性质设设 是平稳过程是平稳过程,那么那么),(TttX(1) 仅依赖于 ,而与 无关;)()()(XRtXtXEt(2) 是常数;XtXE)(3) 是常数; 2X)(2tXE)0()0()(XRtXtXE11(5) )(),(cov(),(tXtXttCX)()(tXtXE)()(tXEtXE)()(2XXXCR(仅依赖于 ,而

8、与 无关)。t是常数是常数; 22)()()(tEXtEXtXD222XXX(4)问题问题:()? ( 0)XR12三三.平稳过程的例子平稳过程的例子随机相位正弦随机相位正弦 波波( )cos(),X tat式中式中 和和 a 是常数, 是是 上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量. )2 , 0(验证验证 是平稳过程是平稳过程. )(tX例例1)()(),(2121tXtXEttRX)(cos2122tta13例例2 随机振幅正弦波随机振幅正弦波 tYtXtZ2sin2cos)(,其中 和和 都是随机变量都是随机变量,且且 XY, 0 EYEX1 DYDX. 0)(XYE验证验证

9、是平稳过程是平稳过程.)(tZ1212121212( , )( ( ) ( )cos2cos2sin2sin2cos(2 ()R t tE Z t Z ttttttt14例例4 通讯系统中的加密序列通讯系统中的加密序列设设 ,1100 nn是相互独立的随机是相互独立的随机 变量序列变量序列. ), 2 , 1 , 0( nn同分布同分布, ), 2 , 1 , 0( nn同分布同分布, , 0nnEE. 02nnDD设设 )() 1(nnnnnnX那么加密序列那么加密序列 是平稳序列是平稳序列., 2 , 1 , 0, nXn15 44(2)421( , )(2)42nXnDnkRn nDnk

10、 ( ,)()0Xnn kRn nkE X X16 例5 随机电报信号 电报信号用电流电报信号用电流 或或 给出给出,恣意时辰恣意时辰 的电报的电报 IIt信号信号 为为 或或 的概率各为的概率各为 .又以又以 表示表示 )(tXII21)(tN), 0t内信号变化的次数内信号变化的次数,知知 是一泊松是一泊松 0),(ttN过程过程,那么那么 是一个平稳过程是一个平稳过程. 0),(ttX泊松过程的定义泊松过程的定义|!|)|()()(ekktNtNPk , 2 , 1 , 0, 0 k172222( )()( )()-( )()-) E X t X tI P X t X tII P X t

11、 X tI |!|)|()()(ekktNtNPk( )/2-/20;E X tII2020()( )2)-()( )21)nnIP N tN tnIP N tN tn 182212| |2| |00(|)(|)-(2 )!(21)!nnnnIeIenn 所所以以是是平平稳稳过过程程。22( )( ),0E XtIX tt2212| |2| |002| |22 | |0(|)(|)(2 )!(21)!(|)!nnnnnnIeIennIeI en 19( )(1)( )( )( )(0). 设设，是是平平稳稳过过程程。若若可可导导，则则 XX ttX tE X t X tR22(2)( )( )

12、( )( )若若可可导导，则则是是平平稳稳过过程程，且且它它的的相相关关函函数数XXX tXtd RRd 例例6 620(1) (1) 利利用用极极限限定定义义 0()( )( )limX tX tX t ( (2 2) ) 由由 ( (1 1) )可可 得得 ： 利利 用用 极极 限限 定定 义义12101202( )0()()()lim()( )( )limssEXtX tsX tXtsX tsX tXts 解解21-2| |10( ),( )1( )1.( ) 设设是是平平稳稳过过程程，且且， 试试求求随随机机变变量量 的的数数学学期期望望和和方方差差。 X ttE X tReSX t

13、dt10( )( )1.E SE X t例例7 72120()( ) E SEX t dt21( )(1)2D Se解解11212120031( )( )22 EX t X t dt dte22四四. 严平稳过程与广义平稳过程的关系严平稳过程与广义平稳过程的关系推论推论 存在二阶矩的严平稳过程必定是广义平稳过程存在二阶矩的严平稳过程必定是广义平稳过程.1.广义平稳过程,不一定是严平稳过程.2.严平稳过程,(假设二阶矩不存在),不一定是广义平稳过程23五五. 两个平稳过程的关系两个平稳过程的关系下文中广义平稳过程简称平稳过程下文中广义平稳过程简称平稳过程. 定义定义3 设设 和和 是两个平稳过程

14、是两个平稳过程,假设相互关假设相互关)(tX)(tY函数函数 )()()(XYRtYtXE仅是参数间距仅是参数间距 的函数的函数,那么称那么称 与与 平稳相关平稳相关,或称其为或称其为 )(tX)(tY结合平稳的结合平稳的.此时此时)(),(cov()(tYtXCXY)()(tYtXE)()(tYEtXEYXXYR)(24定义定义4 )0()0()()(YXXYXYCCC称为规范互协方差函数称为规范互协方差函数. 特别当 时,称两个平稳过程互不相关. 0)(XY22)()()()(),(cov()0(XXtDXtEXtXEtXtXC22)()()()(),(cov()0(YYtDYtEYtYE

15、tYtYC(均为 常数).25第三节第三节 正态平稳过程正态平稳过程一一.正态过程正态过程 正态随机变量复习：正态随机变量复习： 一维正态随机变量一维正态随机变量 ,概率密度概率密度),(2NX,21)(222)(xexfx二维正态随机变量二维正态随机变量);,;,(),(222211NYX)()(2)()1 ( 21exp121),(2222212121212221yyxxyxf维正态分布维正态分布n),(21nXXX 概率密度概率密度)()(21exp)(det)2(1),(121221 xCxCxxxfnn其中其中nxxxx21n21协方差矩阵协方差矩阵 ,)(nnijCC),(jiij

16、XXCovC 定义定义5 假设随机过程假设随机过程 ,对恣意正整数对恣意正整数 , )(tXn,21Ttttn )(,),(),(21ntXtXtX 服从正态分布服从正态分布那么称那么称 为正态过程为正态过程,又称高斯又称高斯(Gauss)过程过程. )(tX独立正态过程独立正态过程: 假设假设 是正态过程是正态过程,),(TttX独立正态过程独立正态过程. ),(TttX同时又是独立过程同时又是独立过程, 那么称那么称为为正态序列正态序列:正态过程正态过程 ,假设假设 是可列集是可列集,),(TttXT,21 ntttT记记 ;)(tXtX那么那么, ,21 ntttttX是正态序列是正态序

17、列.二二. 正态平稳过程正态平稳过程设设 是正态过程是正态过程, 服从正态分布服从正态分布,那那么么 ),(TttX)(tX)()(22tXEtX必存在必存在,即二阶矩存在即二阶矩存在.定义定义 假设正态过程假设正态过程 又是又是(广义广义)平稳过程平稳过程,那么那么 )(tX称称 为正态平稳过程为正态平稳过程. )(tX定理二：设定理二：设 是正态过程是正态过程.)(tX那么那么 为严平稳过程为严平稳过程 为广义平稳过程为广义平稳过程.)(tX)(tX121212( ,)()(,)事事实实上上 , ,正正态态分分布布N N( (, ,) ), ,是是完完全全由由其其参参数数决决定定的的。由由

18、于于 C ttC ttC tt例例1 设正态过程设正态过程 的均值函数的均值函数 ),(ttX, 0)(tX自相关函数自相关函数 ),(),(1221ttRttRXX试写出过程的一维、二维概率密度函数试写出过程的一维、二维概率密度函数.( )( )0( )(0)-0(0)XXE X ttD X tRR 所所以以一一维维密密度度21exp2(0)2(0)XXxRR 解解的的二二维维密密度度函函数数12( ),( )X tX t 121212122112( ( )( ( )0,( ( )( ( )(0) ( ) ( )- ( ) ( )( - )(0) ( ) ( )XXXE X tE X tD X tD X t