第1章_线性规划ppt课件

1、运筹学运筹学Operations Operations ResearchResearchChapter 1 线性规划线性规划Linear Programming1.1 LP的数学模型 Mathematical Model of LP1.2 图解法 Graphical Method1.3 标准型 Standard form of LP1.4 基本概念 Basic Concepts1.5 单纯形法 Simplex Method第1章 线性规划1/30/20222线线性性规规划划基本概念基本概念线性规划问题的数学模型和标准型线性规划问题的数学模型和标准型线性规划问题的解线性规划问题的解可行解可行解基

2、本解基本解基本可行解基本可行解最优解最优解线性规划问题的几何意义线性规划问题的几何意义求解方法求解方法图解法图解法单纯形法单纯形法修正单纯形法修正单纯形法基本单纯形法基本单纯形法人工变量法人工变量法大大M M法法两阶段法两阶段法经济管理中的几类问题的线性规划模型经济管理中的几类问题的线性规划模型1.1 1.1 数学模型数学模型 Mathematical ModelMathematical Model一、线性规划应用举例一、线性规划应用举例二、线性规划的一般模型二、线性规划的一般模型三、线性规划模型的特征三、线性规划模型的特征Chapter1 Chapter1 线性规划线性规划第1章 线性规划1

3、/30/202241. 1 1. 1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP Mathematical Model of LP 线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等（如资金、设备、原标材料、人工、时间等去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生

4、产获得最好的经济效益如产品量最多如何组织安排生产获得最好的经济效益如产品量最多 、利、利润最大）。润最大）。线性规划线性规划Linear Programming,缩写为缩写为LP是运筹学的重是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。第1章 线性规划1/30/20225【例【例1.1】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备乙、丙三种产

5、品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，上加工，需要消耗材料需要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表上加工及所需要的资源如表1.1所示。已知在计划期内设备的所示。已知在计划期内设备的加工能力各为加工能力各为200台时，可供材料分别为台时，可供材料分别为360、300公斤；每生公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收

6、入最大？划，使企业在计划期内总的利润收入最大？1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP1.1.1 应用模型举例应用模型举例第1章 线性规划1/30/20226 产品产品 资源资源 甲甲 乙乙 丙丙现有资源现有资源设备设备A A 3 3 1 1 2 2 200 200设备设备B B 2 2 2 2 4 4 200 200材料材料C C 4 4 5 5 1 1 360 360材料材料D D 2 2 3 3 5 5 300 300利润（元利润（元/ /件）件） 40 40 30 30 50 50表表1.1 产品资源消耗产品资源消耗1.1 线性规划

7、的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP第1章 线性规划1/30/20227321503040maxxxxZ0003005323605420042220023321321321321321xxxxxxxxxxxxxxx，【解】设【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为：模型为：1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP 产品产品资源资源甲甲乙乙丙丙现有现有资源资源设备设备 A A3 31 12 2200200设备设备 B B2 22 24 420

8、0200材料材料 C C4 45 51 1360360材料材料 D D2 23 35 5300300利润（元利润（元/ /件）件） 404030305050最优解最优解X=(50,30,10)；Z=3400第1章 线性规划1/30/20228【例【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1.2所所示。示。表表1.2 营业员需要量统计表营业员需要量统计表商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业商场人力资源部应如何安排每天的上班人

9、数，使商场总的营业员最少。员最少。 星期星期需要人数需要人数星期星期需要人数需要人数一一300300五五480480二二300300六六600600三三350350日日550550四四4004001.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP第1章 线性规划1/30/20229【解】【解】 设设xj(j=1，2，7)为休息为休息2天后星期一到星期日开始上天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为班的营业员，则这个问题的线性规划模型为 7 ,2, 1,0550600480400350300300min76543654325432

10、1743217632176521765417654321jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZj1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP星星期期需要需要人数人数星星期期需要需要人数人数一一300300五五480480二二300300六六600600三三350350日日550550四四400400第1章 线性规划1/30/2022101 1X X1 10 0C C1 1404404=3003001041042 2X X2 26767C C2 2301301=3003001 13 3X X3

11、3146146C C3 3350350=3503500 04 4X X4 4170170C C4 4400400=4004000 05 5X X5 59797C C5 5480480=4804800 06 6X X6 6120120C C6 6600600=6006000 07 7X X7 71717C C7 7550550=5505500 0最优解：最优解：Z617人）人）第1章 线性规划1/30/2022111 1、定义？所谓线性规划就是求一个线性函数在一组线性约、定义？所谓线性规划就是求一个线性函数在一组线性约束条件下极值的问题。束条件下极值的问题。2 2、构成？线性规划的数学模型由决策

12、变量、构成？线性规划的数学模型由决策变量 （Decision Decision variablesvariables）、目标函数）、目标函数Objective functionObjective function及约束条及约束条件件ConstraintsConstraints构成。称为三个要素。构成。称为三个要素。3 3、特征？、特征？（1 1一组决策变量；（一组决策变量；（2 2一个线性目标函数；（一个线性目标函数；（3 3一组一组线性约束条件线性约束条件1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP小结小结第1章 线性规划1/30/20221

13、2 1.1.2 线线性性规划规划的一般模型的一般模型一般地，假一般地，假设线设线性性规划数学规划数学模型中，有模型中，有m个约个约束，有束，有n个个决决策策变变量量xj, j=1,2,n，目，目标标函函数数的的变变量系量系数数用用cj表示表示, cj称为称为价价值值系系数数。约约束束条条件的件的变变量系量系数数用用aij表示，表示，aij称为称为工工艺艺系系数数。约约束束条条件右端的常件右端的常数数用用bi表示，表示，bi称为资称为资源限量。源限量。则线则线性性规划规划数学数学模型的一般表模型的一般表达达式可式可写写成成1 1221111221121 1222221 122max(min)(,

14、 )(, )(, )0,1,2,nnnnnnmmmnnmjZc xc xc xa xa xa xba xa xa xba xaxaxbxjn 或或或1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP第1章 线性规划1/30/20221311max(min)(, )1,2,0,1,2,njjjnijjijjZc xa xbinxjn 或在实际中一般在实际中一般xj0,但有时但有时xj0或或xj无符号限制。无符号限制。1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP为了书写方便，上式也可写成：为了书写方便，上

15、式也可写成： 第1章 线性规划1/30/2022141.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的几什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的几个应用例子个应用例子2.线性规划数学模型的组成及其特征线性规划数学模型的组成及其特征3.线性规划数学模型的一般表达式。线性规划数学模型的一般表达式。作业：教材作业：教材P31 T 2，3，4，5，61.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP下一节：图解法下一节：图解法1.2 1.2 图解法图解法 Graphical MethodGraphical Method一、图解法的含义一、图解法的含义二、图解法的步骤二

16、、图解法的步骤三、图解法的几种可能结果三、图解法的几种可能结果四、图解法的几何意义四、图解法的几何意义Chapter1 Chapter1 线性规划线性规划第1章 线性规划1/30/202216二、图解法的步骤：二、图解法的步骤：1.求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非 负要求负要求的区域，其交集就是可行解集合，或称为可行域；的区域，其交集就是可行解集合，或称为可行域；2.绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点c1,c2)，矢量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作矢量的方向就是目标函数增

17、加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；3.求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。一般地，将目标函数直线放在可行域中求最大值时直线沿着一般地，将目标函数直线放在可行域中求最大值时直线沿着矢量方向移动；矢量方向移动； 求最小值时沿着矢量的反方向移动。求最小值时沿着矢量的反方向移动。1.2 图解法图解法The Graphical Method一、图解法？用几何作图的方

18、法求线性规划的解。一、图解法？用几何作图的方法求线性规划的解。第1章 线性规划1/30/202217x1x2O1020304010203040(3,4)(15,10)最优解最优解X=(15,10)最优值最优值Z=8540221xx305 . 121xx0, 0305 . 1402212121xxxxxx例例1.72143maxxxZ1.2 图解法图解法The Graphical Method第1章 线性规划1/30/202218246x1x2246最优解最优解X=(3,1)最优值最优值Z=5(3,1)006346321212121xxxxxxxx、min Z=x1+2x2例例1.8(1,2)1

19、.2 图解法图解法The Graphical Method第1章 线性规划1/30/202219246x1x2246X2）（）（3,1）X1）（）（1,3）(5,5)006346321212121xxxxxxxx、min Z=5x1+5x2例例1.9有无穷多个最优解有无穷多个最优解即具有多重解即具有多重解,通解为通解为 01 ,)1 ()2() 1 (XXX 当=0.5时=(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2) 1.2 图解法图解法The Graphical Method第1章 线性规划1/30/202220246x1x2246(1,2)006346321212121x

20、xxxxxxx、无界解无界解(无最优解无最优解)max Z=x1+2x2例例1.10第1章 线性规划1/30/202221x1x2O102030401020304050500,050305 .140221212121xxxxxxxx无可行解无可行解即无最优解即无最优解max Z=10 x1+4x2例例1.111.2 图解法图解法The Graphical Method第1章 线性规划1/30/202222三、由以上例题可知，线性规划的解有三、由以上例题可知，线性规划的解有4种形式：种形式：1.有唯一最优解有唯一最优解(例例1.7例例1.8)2.有多重解有多重解(例例1.9)3.有无界解有无界解

21、(例例1.10)4.无可行解无可行解(例例1.11)1、2 情形为有最优解情形为有最优解3、4 情形为无最优解情形为无最优解1.2 图解法图解法The Graphical Method第1章 线性规划1/30/202223四、由图解法得到的启示四、由图解法得到的启示可行域是有界或无界的凸多边形。可行域是有界或无界的凸多边形。若线性规划问题存在最优解，它一定可以在可行域若线性规划问题存在最优解，它一定可以在可行域的顶点得到。的顶点得到。线性规划可行域顶点的个数有限个。线性规划可行域顶点的个数有限个。若两个顶点同时得到最优解，则其连线上的所有点若两个顶点同时得到最优解，则其连线上的所有点都是最优解

22、。都是最优解。1.2 图解法图解法The Graphical Method第1章 线性规划1/30/2022241.通过图解法了解线性规划有几种解的形式通过图解法了解线性规划有几种解的形式2.作图的关键有三点作图的关键有三点 （1可行解区域要画正确可行解区域要画正确 （2目标函数增加的方向不能画错目标函数增加的方向不能画错 （3目标函数的直线怎样平行移动目标函数的直线怎样平行移动作业：教材作业：教材P34 T7 1.2 图解法图解法The Graphical Method下一节：线性规划的标准型下一节：线性规划的标准型第1章 线性规划1/30/202225复习思考题复习思考题 1、线性规划问题

23、的一般形式有何特征？ 2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 4、图解法有何优点和不足？ 5、求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6、图解法对解一般线性规划问题有什么启发？1.3 1.3 线性规划的标准型线性规划的标准型Standard form of LPStandard form of LP一、线性规划的标准型一、线性规划的标准型二、线性规划的标准化二、线性规划的标准化Chapter1 Chapter1 线性规划线性规划第1章 线性规划1/30/202227 在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问题在用

24、单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。1.3 线性规划的标准型线性规划的标准型Standard form of LP线性规划问题的标准型为线性规划问题的标准型为:1.目标函数求最大值或求最小值）目标函数求最大值或求最小值）2约束条件都为等式方程约束条件都为等式方程3变量变量xj非负非负4常数常数bi非负非负第1章 线性规划1/30/202228mibnjxbxaxaxabxaxaxabxaxaxaijmnmnmmnnnn,2, 1,0,2, 1,02211222222111212111max(或min)Z=c1

25、x1+c2x2+cnxn1.3 线性规划的标准型线性规划的标准型Standard form of LP注：本教材默认目标函数是注：本教材默认目标函数是 max第1章 线性规划1/30/202229njjjxcZ1maxminjxbxajnjijij, 2 , 1, 2 , 1, 010maxXbAXCXZ或写成下列形式：或写成下列形式： 或用矩阵形式1.3 线性规划的标准型线性规划的标准型Standard form of LP第1章 线性规划1/30/202230111211121222221212, , , )nnnmmm nnmaaaxbaaaxbAXbCc ccaaaxb ； (通常通常

26、X记为：记为： 称为约束方称为约束方程的系数矩阵，程的系数矩阵，m是约束方程的个数，是约束方程的个数，n是决策变量的个数，是决策变量的个数，一般情况一般情况mn，且，且r()m。TnxxxX),21（m ax0ZC XA XbX其中其中:1.3 线性规划的标准型线性规划的标准型Standard form of LP第1章 线性规划1/30/202231【例【例1.12】将下列线性规划化为标准型】将下列线性规划化为标准型 3213minxxxZ无符号要求、32132132132100)3(523)2(3) 1 (82xxxxxxxxxxxx【解】（因为【解】（因为x3无符号要求无符号要求 ，即，

27、即x3取正值也取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以令可取负值，标准型中要求变量非负，所以令 0,33333 xxxxx其中1.3 线性规划的标准型线性规划的标准型Standard form of LP第1章 线性规划1/30/202232 (3)第二个约束条件是第二个约束条件是号，在号，在号号 左左端减去剩余变量端减去剩余变量(Surplus variable)x5，x50。也称松驰变。也称松驰变量量3213minxxxZ无符号要求、32132132132100) 3(523)2(3) 1 (82xxxxxxxxxxxx1.3 线性规划的标准型线性规划的标准型Standard form

28、 of LP(2) 第一个约束条件是第一个约束条件是号，在号，在左端左端加入松驰变量加入松驰变量 (slack variable) x4，x40,化为等式；化为等式；(4)第三个约束条件是第三个约束条件是号且常数项为负数，因此在号且常数项为负数，因此在左边加入松左边加入松驰变量驰变量x6，x60，同时两边乘以，同时两边乘以1。 （5目标函数是最小值，为了化为求最大值，令目标函数是最小值，为了化为求最大值，令Z=Z,得到得到max Z=Z，即当，即当Z达到最小值时达到最小值时Z达到最大值，反之亦然。达到最大值，反之亦然。 第1章 线性规划1/30/202233综合起来得到下列标准型综合起来得到下

29、列标准型 332133maxxxxxZ 05)(233826543321633215332143321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx、1.3 线性规划的标准型线性规划的标准型Standard form of LP第1章 线性规划1/30/202234v 当某个变量当某个变量xj0时时,令令x/j=xj 。1.3 线性规划的标准型线性规划的标准型Standard form of LPv对于对于axb(a、b均大于零均大于零)的有界变量化为标准形式有两的有界变量化为标准形式有两种方法。种方法。v 一种方法是增加两个约束一种方法是增加两个约束xa及及xbv 另一种方法是令另一种方法是令

30、x=xa，则，则axb等价于等价于0 xba，增加一个约束增加一个约束xba并且将原问题所有并且将原问题所有x用用x= x+a替换。替换。第1章 线性规划1/30/2022351.如何化标准形式？如何化标准形式？ 可以对照四条标准逐一判断！可以对照四条标准逐一判断！ 标准形式是人为定义的，目标函数可以是求最小值。标准形式是人为定义的，目标函数可以是求最小值。2.用用WinQSB软件求解时，不必化成标准型。软件求解时，不必化成标准型。图解法时不必化为标准型。图解法时不必化为标准型。3.单纯形法求解时一定要化为标准型。单纯形法求解时一定要化为标准型。作业：教材作业：教材P34 T 81.3 线性规

31、划的标准型线性规划的标准型Standard form of LP下一节：基本概念下一节：基本概念1.4 线性规划的有关概念线性规划的有关概念Basic Concepts of LP一、基、基变量、基向量一、基、基变量、基向量二、基解、基可行解、最优解二、基解、基可行解、最优解三、各种解之间的关系三、各种解之间的关系四、基本定理四、基本定理Chapter1 Chapter1 线性规划线性规划第1章 线性规划1/30/202237 设线性规划的标准型设线性规划的标准型 max Z=CX （1.1） AX=b （1.2） X 0 （1.3）式中式中A 是是mn矩阵，矩阵，mn并且并且rA）=m，显然

32、，显然A中至少有中至少有一个一个mm子矩阵子矩阵B，使得，使得rB）=m。1.4 基本概念基本概念Basic Concepts 基基 (basis)A中中mm子矩阵子矩阵B并且有并且有rB）=m，则称，则称B是线性是线性规划的一个基或基矩阵规划的一个基或基矩阵basis matrix ）。当）。当m=n时，基矩阵时，基矩阵唯一，当唯一，当mn时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过mnC第1章 线性规划1/30/202238【例【例1.14】线性规划】线性规划 32124maxxxxZ5 , 1, 0226103553214321jxxxxxxxxxj 求所有基

33、矩阵。求所有基矩阵。 【解】约束方程的系数矩阵为【解】约束方程的系数矩阵为25矩阵矩阵 10261001115A,610151B,010152B,110053B26114B10019B,12017B,02118B,16016B,06115B容易看出容易看出r(A)=2，2阶阶子矩子矩阵阵有有C52=10个个，其中第，其中第1列列与与第第3列列构构成的成的2阶阶矩矩阵阵不是一不是一个个基，基矩基，基矩阵阵只有只有9个个，即，即1.4 基本概念基本概念Basic Concepts 第1章 线性规划1/30/202239由线性代数知，基矩阵由线性代数知，基矩阵B必为非奇异矩阵并且必为非奇异矩阵并且|

34、B|0。当矩。当矩阵阵B的行列式等式零即的行列式等式零即|B|=0时就不是基。时就不是基。 当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量称为基当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量称为基向量向量(basis vector)，其余列向量称为非基向量，其余列向量称为非基向量 。基向量对应的变量称为基变量基向量对应的变量称为基变量(basis variable)，非基向量，非基向量对应的变量称为非基变量对应的变量称为非基变量 在上例中在上例中B2的基向量是的基向量是A中的第一列和第四列，其余列向量中的第一列和第四列，其余列向量是非基向量，是非基向量，x1、x4是基变量，是基变量，x2、x3

35、、x5是非基变量。基是非基变量。基变量、非基变量是针对某一确定基而言的，不同的基对应的变量、非基变量是针对某一确定基而言的，不同的基对应的基变量和非基变量也不同。基变量和非基变量也不同。010152B10261001115A1.4 基本概念基本概念Basic Concepts 第1章 线性规划1/30/202240基本可行解基本可行解(basis feasible solution) 若基本解是可行解则称若基本解是可行解则称为是基本可行解也称基可行解）。为是基本可行解也称基可行解）。 可行解可行解(feasible solution)： 满足式满足式1.2及及1.3的解的解X=（x1,x2，x

36、n)T 称为可行解称为可行解 。例如，。例如，与与X=（0，0，0，3，2，）都是例，）都是例1 的可行解。的可行解。 TX) 1 ,27,21, 0 , 0( 基本解基本解(basis solution) 对某一确定的基对某一确定的基B，令非基变量等于零，令非基变量等于零，利用式利用式1.） 解出基变量，则这组解称为基的基本解。解出基变量，则这组解称为基的基本解。 最优解最优解(optimal solution) 满足式满足式 （1 .1的可行解称为最优解，的可行解称为最优解，即是使得目标函数达到最大值的可行解就是最优解，例如可行即是使得目标函数达到最大值的可行解就是最优解，例如可行解解 是

37、例是例2的最优解。的最优解。TX)8 ,0,0,0,53(非可行解非可行解(Infeasible solution) 无界解无界解 (unbound solution)1.4 基本概念基本概念Basic Concepts 第1章 线性规划1/30/202241显然，只要基本解中的基变量的解满足式显然，只要基本解中的基变量的解满足式1.的非负的非负要求，那么这个基本解就是基本可行解。要求，那么这个基本解就是基本可行解。 在例在例1.13中，对来说，中，对来说，x1,x2是基变量，是基变量，x3,x4，x5是非基是非基变量，令变量，令x3=x4=x5=0，则式（，则式（1.为为2610352121

38、xxxx,610151B对对B2来说，来说，x1,x4,为基变量，令非变量为基变量，令非变量x2,x3,x5为零，由式为零，由式（1.2得到得到 ，x4=4，511x因因|B1|，由克，由克莱莱姆法姆法则则知，知，x1、x2有唯一解有唯一解x12/5,x2=1则则 基本解基本解为为TX)0 , 0 , 0 , 1 ,52()1(1.4 基本概念基本概念Basic Concepts 第1章 线性规划1/30/202242由于由于 是基本解，从而它是基本可行解，在是基本解，从而它是基本可行解，在 中中x10,因此不是可行解，也就不是基本可行解。因此不是可行解，也就不是基本可行解。 01）（X）（2

39、X反之，可行解不一定是基本可行解反之，可行解不一定是基本可行解例如例如 满足式满足式1.2）（）（1.3），但不是），但不是任何基矩阵的基本解。任何基矩阵的基本解。TX) 1 ,27,21, 0 , 0(32124maxxxxZ,010152B5 , 1, 0226103553214321jxxxxxxxxxjTX)0 , 4 , 0 , 0 ,51()2(基本解为基本解为1.4 基本概念基本概念Basic Concepts 第1章 线性规划1/30/202243可行基可行基 基可行解对应的基称为可行基；基可行解对应的基称为可行基；最优基基本最优解对应的基称为最优基；最优基基本最优解对应的基称

40、为最优基；如上述如上述B3就是最优基，最优基也是可行基。就是最优基，最优基也是可行基。当最优解唯一时，最优解亦是当最优解唯一时，最优解亦是基本最优解，当最优解不唯一时，基本最优解，当最优解不唯一时，则最优解不一定是基本最优解。例则最优解不一定是基本最优解。例如右图中线段如右图中线段 的点为最优的点为最优 解时，解时，Q1点及点及Q2点是基本最优解点是基本最优解,线段线段 的内点是最优解而不是基本最优解。的内点是最优解而不是基本最优解。 21QQ21QQ基本最优解基本最优解 最优解是基本解称为基本最优解。例如，满足式最优解是基本解称为基本最优解。例如，满足式1.1）(1.3)是最优解是最优解,又

41、是又是B3的基本解的基本解,因此它是基本最优解。因此它是基本最优解。1.4 基本概念基本概念Basic Concepts 1Q2Q第1章 线性规划1/30/202244基本最优解、最优解、基本可行解、基本解、可行解的关基本最优解、最优解、基本可行解、基本解、可行解的关系如下所示：系如下所示：基本最优解基本最优解基本可行解基本可行解可行解可行解最最 优优 解解基本解基本解例如例如,B点和点和D点是点是可 行 解可 行 解 ,不 是 基 本不 是 基 本解解;C点是基本可行点是基本可行解解;A点是基本最优点是基本最优解解,同时也是最优解、同时也是最优解、基本可行解、基本基本可行解、基本解和可行解。

42、解和可行解。0, 0305 . 1402212121xxxxxxx1x2O1020304010203040(3,4)A(15,10)最优解X=(15,10)最优值Z=85)20, 0(C)35,5(DB(10,10)例例1.6max Z=3x1+4x21.4 基本概念基本概念Basic Concepts 第1章 线性规划1/30/202245凸集凸集(Convex set)设设K是是n维空间的一个点集，对任意两点维空间的一个点集，对任意两点 时，则称时，则称K为凸集。为凸集。,)2()1(KXX、) 10()1 ()2()1(KXXX当 就是以就是以X1）、）、X2为端点为端点的线段方程，点的

43、线段方程，点X的位置由的位置由的值确定，当的值确定，当=0时，时，X=X2），），当当=1时时X=X1）)2()1()1 (XXX凸组合凸组合(Convex combination) 设设 是是Rn 中的点若存在中的点若存在 使得使得 成立，成立， 则称则称X为为 的的凸组合。凸组合。)()2()1(,KXXXX及，且，021iK11KiiiKiiXX1)()2()1(,KXXX1.4 基本概念基本概念Basic Concepts 第1章 线性规划1/30/202246极点极点(Extreme point) 设设K是凸集，是凸集， ，若，若X不不能用能用K中两个不同的中两个不同的 点点 的凸组

44、合表示的凸组合表示为为KX )2()1(, XX )10()1 ()2()1( 0i表表1-4(1)XBx1x2x3x4bx3211040 x4130130j3400 (2)x3x2j (3)x1 x2 j 基变量基变量110001/301/3105/31-1/3-1/3405/30-4/3-4/330103/5-1/5-1/51801-1/5-1/5 2/5400-1-1-1-1将将3化为化为1乘乘以以1/3后后得得到到1.5 单纯形法单纯形法 Simplex Method3018第1章 线性规划1/30/202258最优解最优解X=(18，4，0，0)T，最优值，最优值Z=70O20301

45、040(3,4)X(3)=(18,4)最优解最优解X=(18,4)最优值最优值Z=7040221xx305 . 121xx0,30340243max432142132121xxxxxxxxxxxxZX(1)=(0,0)2010 x2x1301.5 单纯形法单纯形法 Simplex Method0, 0305 . 1402212121xxxxxxX(2)=(0,10)第1章 线性规划1/30/202259单纯形法全过程的计算，可以用列表的方法计算更为简洁，单纯形法全过程的计算，可以用列表的方法计算更为简洁，这种表格称为单纯形表表这种表格称为单纯形表表1.4）。）。计算步骤：计算步骤：1.求初始基

46、可行解，列出初始单纯形表，求出检验数。其中求初始基可行解，列出初始单纯形表，求出检验数。其中基变量的检验数必为零；基变量的检验数必为零； 2.判断：判断： （a若若jj，n得到最解；得到最解； （b某个某个k0且且aiki=1，2,m则线性规划具有则线性规划具有无界解无界解(见例见例1.18)。 （c若存在若存在k0且且aik (i=1,m)不全非正，则进行换基；不全非正，则进行换基；1.5 单纯形法单纯形法 Simplex Method第1章 线性规划1/30/202260min0,0,iiLikikikikbbaaM Maa当 时为任意大的正数第个比值最小第个比值最小 ，选最小比值对应行的

47、基变量为出基变量，选最小比值对应行的基变量为出基变量，若有相同最小比值，则任选一个。若有相同最小比值，则任选一个。aLk为主元素；为主元素； (c求新的基可行解：用初等行变换方法将求新的基可行解：用初等行变换方法将aLk 化为化为,k列列其它元素化为零包括检验数行得到新的可行基及基本可其它元素化为零包括检验数行得到新的可行基及基本可行解，再判断是否得到最优解。行解，再判断是否得到最优解。（b选出基变量选出基变量 ，求最小比值：，求最小比值：1.5 单纯形法单纯形法 Simplex Method3.换基：（换基：（a选进基变量选进基变量设设k=max j | j 0,xk为进基变量为进基变量第1

48、章 线性规划1/30/202261【例【例1.16】 用单纯形法求解用单纯形法求解3212maxxxxZ02053115232321321321xxxxxxxxx、【解】将数学模型化为标准形式：【解】将数学模型化为标准形式：3212maxxxxZ5 , 2 , 1, 0205311523253214321jxxxxxxxxxj不难看出不难看出x4、x5可作为初可作为初始基变量，单纯法计算结始基变量，单纯法计算结果如表果如表 1.所示所示 。 1.5 单纯形法单纯形法 Simplex Method第1章 线性规划1/30/202262Cj12100bCBXBx1x2x3x4x50 x423210

49、150 x51/3150120j12100 0 x42x2j 1x1 2x2 j 表表151/3150120301713751/30902M2025601017/31/31250128/91/92/335/30098/9 1/97/31.5 单纯形法单纯形法 Simplex Method最优解最优解X=(25，35/3，0，0，0)T，最优值，最优值Z=145/3第1章 线性规划1/30/202263【例【例1.17】用单纯形法求解】用单纯形法求解 42122minxxxZ5 , 1, 0212665521421321jxxxxxxxxxxj【解】【解】 这是一个极小化的线性规划问题这是一个极

50、小化的线性规划问题,可以将其化为极大化可以将其化为极大化问题求解问题求解,也可以直接求解也可以直接求解,这时判断标准是：这时判断标准是：j0(j=1，n)时得到最优解。容易观察到时得到最优解。容易观察到,系数矩阵中有一个系数矩阵中有一个3阶单位矩阵阶单位矩阵,x3、x4、x5为基变量。目标函数中含有基变量为基变量。目标函数中含有基变量x4,由第二个约束得到由第二个约束得到x4=6+x1x2，并代入目标函数消去，并代入目标函数消去x4得得12121222(6)6Zxxxxxx 1.5 单纯形法单纯形法 Simplex Method第1章 线性规划1/30/202264XBx1x2x3x4x5bx

51、3x4x51-1611210001000156215621/2j1-1-1000 x2x4x51-241001-1-20100015111 j20100 表中表中j0,j=1,2,5所以最优解为所以最优解为X=(0,5,0,1,11,)最优值最优值 Z=2x12x2x4=251=11极小值问题极小值问题,注意判断标准注意判断标准,选进基变量时选进基变量时,应选应选j0, x2进基，而进基，而a120，a220且且aiki=1，2,m则线则线性规划具有无界解性规划具有无界解v退化基本可行解的判断退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。存在某个基变量为零的基本可行解。v无可行解的判断

52、：无可行解的判断：(1)当用大当用大M单纯形法计算得到最优解并单纯形法计算得到最优解并且存在且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。时，则表明原线性规划无可行解。(2) 当第一阶当第一阶段的最优值段的最优值w0时，则原问题无可行解。时，则原问题无可行解。1.5 单纯形法单纯形法 Simplex Method第1章 线性规划1/30/202284设有线性规划设有线性规划0maxXbAXCXZ其中其中Amn且且r(A)=m,),21ncccC（Tmbbbb),(21X0应理解为应理解为X大于等于零向量，即大于等于零向量，即xj0,j=1,2,n。TnxxxX),(211.5.3 计算公式计算公式

53、1.5 单纯形法单纯形法 Simplex Method第1章 线性规划1/30/202285不妨假设不妨假设A（P1，P2，Pn中前中前m个列向量构成一个可个列向量构成一个可行基，记为行基，记为B=(P1，P2，Pm)。矩阵。矩阵A中后中后nm列构成的矩列构成的矩阵记为阵记为N（Pm+1,Pn）,则则A可以写成分块矩阵可以写成分块矩阵A=（B，N）。）。对于基对于基B，基变量为，基变量为XB=（x1,x2，xm ）T, 非基变量为非基变量为XN=(xm+1,xm+2,xn)T。则则X可表示成可表示成 同理将同理将C写成分块矩阵写成分块矩阵C=（CB，CN），），NBXXXCB=(C1,C2,C

54、m), CN=(Cm+1Cm+2，cn) 则则AX=b可写可写成成bNXBXXXNBNBNB)( ，1.5 单纯形法单纯形法 Simplex Method第1章 线性规划1/30/202286因为因为rB）=m或或|B|0所以所以B 1存在，因此可有存在，因此可有 NnBNBNXBbBNXbBXNXbBX111)(令非基变量令非基变量XN=0，XB=B1b，由，由 B是是 可行基的假设，则得可行基的假设，则得到基本可行解到基本可行解X=(B1b，0)T将目标函数写成将目标函数写成 NNBBNBNBXCXCXXCCZ),(NBNBNNNBXNBCCbBCXCNXBbBC)()(11111.5 单纯形法单纯形法 Simplex Method第1章 线性规划1/30/202287NBNBXNBCCbBCZ)(11得到下列五个计算公式：得到下列五个计算公式：104.BZC B b13.NNBCC B NiijijjaccjijNBa)(1其中ABCCB111.BXB b12.NB N称为单纯形算子1. 5BCB(令令XN=0) 1.5 单纯形法单纯形法 Simplex Method第1章 线性规划1/30/2022