【学习】第4章计算机控制系统的经典分析方法

1、School of Automation Engineering整理课件School of Automation Engineering整理课件School of Automation Engineering整理课件sTez TeeeezTTjTTj .)(令令 ，则则 由此可得由此可得 和和 的基本对应关系：的基本对应关系： 映射为映射为 的的，左半平面左半平面映射在映射在平面的单位圆内，右半平面则映射在单位圆平面的单位圆内，右半平面则映射在单位圆外。外。School of Automation Engineering整理课件T 当当 S 平面的点沿虚轴由平面的点沿虚轴由 变化到变化到 时，

2、时，Z 平平面的相角也从面的相角也从 变化到变化到 ，。School of Automation Engineering整理课件S 平面可分为许多宽度为 的平行带，其中 的带称为，其余均为。22ss s平面中的周期带与z平面中相对应的单位圆 School of Automation Engineering整理课件n等线（等衰减）映射 s平面上的等 垂线，映射到z平面上的轨迹，是以原点为圆心、以 为半径的圆| eTzSchool of Automation Engineering整理课件等等 线（等频率）映射线（等频率）映射 在采样周期T 确定的情况下，s平面上的等 水平线，映射到 z 平面上的

3、轨迹，是一簇从原点出发的射线，其相 角 ，以实轴正方向为基准 zTSchool of Automation Engineering整理课件等阻尼 线映射 2nnndj1js s平面上的等阻尼 线可用式 描述 2dn1映射到z平面为 ddnd2ss2eexp(j)expj21TszTTd2s2|exp1zds2z =School of Automation Engineering整理课件【解】 实部相同而虚部相差 的整数倍的点均映射为同一点11010j OSOReZIm0.533 2533. 02533. 00533. 010/2)101(310/2)101(210/211321 jTsjTsT

4、seezeezeez101,1321jss 、。例例1 如图所示，在如图所示，在 S 平面有三个点，分别为：平面有三个点，分别为：School of Automation Engineering整理课件 School of Automation Engineering整理课件（1）直接求特征方程的根来判别稳定性（2）修正的Routh稳定性判则 劳斯古尔维茨判据为连续系统的稳定判据，可以通过一种变换（双线性变换）将离散系统特征方程对应的单位圆内的根映射位为左半平面的根，这样就可用Routh判据来分析离散系统的稳定性。 School of Automation Engineering整理课件设离散

5、系统的特征多项式为【证】引入双线性变换引入双线性变换11 11zzwwwz或可以将可以将 转化为转化为 ，然后就可借助劳斯判，然后就可借助劳斯判据判断稳定性。据判断稳定性。 1iz0iewR 0111001112111 22222222wRzzyxwRwRyxzyxyjyxjyxjyxjvuwjvuwjyxzeee 及 令)(zSchool of Automation Engineering整理课件例2 设采样系统的特征方程为010181224001224003911119111171145)()(03911911745)(012323231123wwwwwwwwwwwwwzwwzzzzwwz

6、作Routh阵列化简后：变换得进行 根据劳斯判据根据劳斯判据 在在 w右右 半半平面有两个根，故该采样系统有平面有两个根，故该采样系统有两个根在单位圆外，因此系统不两个根在单位圆外，因此系统不稳定稳定 )(wSchool of Automation Engineering整理课件 例3 如图所示的系统，为保证系统闭环稳定，放大系数的倍数 K 的取值范围。该系统的广义对象为)(tr)(sE)(*sE)(sC) 1( ssKseTs11T368.01264.0368.0)1(1)(21zzzKssKZzzGSchool of Automation Engineering整理课件0104. 0736

7、. 2528. 0264. 1632. 0110368. 0264. 0368. 1368. 0)(368. 0264. 0368. 1368. 0264. 0368. 0)(1)()()(222KwKKwwwwzKzKzzKzKzzKzGzGzRzC变换并化简：进行 ， 令特征方程为即School of Automation Engineering整理课件420 26.3K 0104. 0736. 24 . 2 0528. 0264. 10K 0632. 00104. 0736. 20528. 0264. 1104. 0736. 2632. 012.KKKKKKwKwKKwRouth得到：由

8、表作School of Automation Engineering整理课件（3）。0.)(1110 nnnnazazazaz设离散系统的设离散系统的为为 构造构造 Jury：School of Automation Engineering整理课件001110020322100112112100012112100.mllllllccccccccbbbbbbbbbbaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnn 从第从第3 行开始，所有奇数行行开始，所有奇数行n用以下公式计算：用以下公式计算：第第(n2)行系数行系数第第(n1)行系数行系数上两行末列系数之商上两行末列系数之商School

9、 of Automation Engineering整理课件 若特征方程式中 a00，则只有当Jury表中所有奇数行第一列系数均大于零时，该方程的全部特征根才位于单位圆内。即 00.00000000mlcba School of Automation Engineering整理课件例4 已知系统的特征方程为 构造Jury表065)(2 zzz14.1735253525253516156651 其奇数行首列系数有两个小于零，故系统其奇数行首列系数有两个小于零，故系统，且有且有 2 2 个根位于单位圆外。个根位于单位圆外。School of Automation Engineering整理课件：

10、0)()1(0)(11znzzzSchool of Automation Engineering整理课件例5 已知系统特征方程为试判断其稳定性。02 . 048. 0)(3 zzz028. 1)2 . 048. 01()1()1()1(068. 12 . 048. 01)1(3 n【解】【解】 系统满足必要条件系统满足必要条件School of Automation Engineering整理课件7168. 072. 0048. 072. 00048048. 072. 096. 048. 096. 0096. 048. 048. 0096. 096. 012 . 01048. 02 . 02

11、. 048. 001 可见奇数行首列系数均大于零，故系统稳定可见奇数行首列系数均大于零，故系统稳定School of Automation Engineering整理课件构造Jury表： （最后一行不必再判断）22212211111aaaaaa 0)(212 azazz 0)1(0)1(设系统特征方程为设系统特征方程为系统稳定的必要条件为系统稳定的必要条件为0122 a为使系统稳定，须满足为使系统稳定，须满足School of Automation Engineering整理课件由此可推得即 122 a12 a1)0( 0)1(0)1(1)0(这等价于这等价于由此可得二阶离散系统稳定充要条件的

12、简便形式：由此可得二阶离散系统稳定充要条件的简便形式：School of Automation Engineering整理课件 ) 1()(ssksGo368.0368.1)264.0368.0()1()1()(221 zzzksskZzzG0)264. 0368. 0()368. 1368. 0()(1)(2 kzkzzGz)(tr)(sE)(*sE)(sC)(sGseTs11T)(zGSchool of Automation Engineering整理课件39.218.51264.0368.011264.0368.0)0()1( kkk00632. 00)264. 0368. 0()368

13、. 1368. 0(1)1()2( kkkk3 .260736. 2104. 00)264. 0368. 0()368. 1368. 0(1) 1()3( kkkk39.20 kSchool of Automation Engineering整理课件1)(sksG已知如图所示采样统，已知如图所示采样统， ，试讨论试判断采样周期为，试讨论试判断采样周期为 1s或或4s 时，闭环系统的稳定性。时，闭环系统的稳定性。)(tr)(sE)(*sE)(sC)(sGseTs11T)(zGTTTTezezeTzeTssZzzG)1 (1) 1()1() 1(1)1 ()(2210)1 ()2(2TTezTzS

14、chool of Automation Engineering整理课件将采样周期 代入上式，得到特征方程为sT10632. 02 zzsT1625. 05 . 02, 1jz求得采样周期 时系统的闭环极点为闭环极点的模为 796. 0625. 05 . 02221 zz1z显然，极点 和 均位于 z 平面的单位圆内，所以闭环系统是稳定的。 2zSchool of Automation Engineering整理课件将采样周期 代入上式，得到特征方程为sT4sT4求得采样周期 时系统的闭环极点为闭环极点的模为 796. 0625. 05 . 02221 zz1z 显然，极点 位于z平面的单位圆内

15、，所以闭环系统是不稳定的。 0)41 (242ezz2707. 11z7293. 02zSchool of Automation Engineering整理课件)(tr)(*teseTs1) 1( ssK)(ty该图所示系统对应的开环z传递函数为 TTTTTezezeTzeTKezzzTssKZzzG)1 (1) 1()1(111) 1()1 ()(221相应的特征方程为 0)1 (1) 1(12KeKTKzTKeKzTTSchool of Automation Engineering整理课件1T1K5K按例7，选择采样周期 ，此时 是稳定的，这是根据例7得到的结论。这里，保持采样周期不变，若

16、将 代入特征方程式，则0)5(14112ezez解得： 277. 1236. 02, 1jz很明显，两个极点的模 ，两个根都位于z平面单位圆外，所以此时系统不稳定。 121 zz采样周期取一定值时，加大开环增益 ，可使闭环系统由稳定变为不稳定。 KSchool of Automation Engineering整理课件n连续系统的定义为上述误差的终值，即采样系统的定义为，即 ：)()()(tctrte )(limteetss )()()(*tctrte )(lim)(lim*kTeteektss 1、计算机控制系统稳态误差的定义 School of Automation Engineering

17、整理课件 连续系统通常按系统来分类，根据映射关系，的积分环节，即 ，映射至 为，所以采样系统则按其开环脉冲传函在z =1 处的极点个数来分类，分别有 、系统。School of Automation Engineering整理课件如图所示的单位反馈系统闭环误差传函)()(11)()()(zGzDzRzEze 由此可得)()()(11)()()(zRzGzDzRzzEe (1)终值定理法 )(sR)(zET)(sE)(zD)(*sC)(zC)(zGSchool of Automation Engineering整理课件根据终值定理，系统在采样时刻的稳态误差为)()()(11)1(lim)()1(

18、lim1111*zRZGzDzzEzezzss 与与及及的特性均的特性均有关。有关。School of Automation Engineering整理课件则稳态误差可表示为其中 为稳态pzzzssKzGzDzGzDzzGzDze 11)()(lim11)()(11lim)1(1)()(11)1(lim11111*)(1)(ttr 111)( zzR其 Z 变换为)()(lim1zGzDKzp(2)静态误差系数法 School of Automation Engineering整理课件n对系统，开环传函 在 处无极点，即不含积分环节， Kp 为有限值，所以；n对系统，开环传函 在 处有一个极点

19、，即含有一个积分环节， Kp 为无穷大，所以；n对于的系统，开环传函 处有多个极点，即含有多个积分环节， Kp 为无穷大，所以；School of Automation Engineering整理课件 School of Automation Engineering整理课件其中 为2)1()( zTzzRvzzzssKzGzDzTzGzDzzTzTzzGzDze1)()()1(lim11)()()1()1(lim)1()()(11)1(lim11211* )()()1(lim11zGzDzTKzv r (t) = t 其其 Z 变换为变换为稳态误差稳态误差 。School of Automat

20、ion Engineering整理课件azzssKzGzDzTzzzTzGzDze1)()()1(lim11)1(2)1()()(11)1(lim2123211* 其中 为)()()1(lim1212zGzDzTKza 221)(ttr 322)1(2)1()( zzTzR 其其 Z 变换为变换为稳态误差稳态误差 School of Automation Engineering整理课件)()()1(lim11zGzDzTKzv)()() 1(lim1212zGzDzTKza*sse)( 1)(ttrttr)(2/)(2ttr)1/(1pKvK/1aK/1000)()(lim1zGzDKzpSc

21、hool of Automation Engineering整理课件例8 计算机控制系统的如下图所示。设采样周期 秒，试确定系统分别在单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线函数输入信号作用下的稳态误差。 10.T 解 系统的开环z传递函数为 11(1e )0.632( ) ( )(1)(0.368)(1)(e )zzG zZ G szzzz系统闭环特征方程为 (1)(0.368)0.6320zzzSchool of Automation Engineering整理课件令 代入上式，求得 11wzw2( )0.6321.2642.1040www由于系数均大于零，所以系统是稳定的。先求出静态误差系数： p

22、110.632lim( )lim(1)(0.368)zzzKG zzz静态速度误差系数为v1110.632lim(1) ( )10 lim100.368zzzKzG zTz静态加速度误差系数为2a21110.632lim(1)( )100 lim(1)00.368zzzKzG zzzTSchool of Automation Engineering整理课件ssp101eK单位阶跃输入信号作用下： ssv110.110eK单位斜坡输入信号作用下 ： ssa1eK单位抛物线输入信号作用下： School of Automation Engineering整理课件令 ，此时误差完全由扰动信号 引起，

23、即)()(tyten由终值定理可求得扰动作用下的由终值定理可求得扰动作用下的设设扰动作用点在被控对象上，则有扰动作用点在被控对象上，则有( )( )1( ) ( )NNG zYzD z G z*11ss11lim(1) ( )lim(1)( )NNzzezE zzYz School of Automation Engineering整理课件n8 位 （单极性），其分辨率为 当 输入小于 0.0039 时， 则处于而输出为零。对单位反馈系统，若 , 由于的，当输出 时，其误差信号 将进入A/D 的死区，从而 的转换结果为零，此时存在稳态误差这不是由系统原理引起的误差，而是。0039. 02121

24、8 nq0039.0* sseSchool of Automation Engineering整理课件如图所示与其相应的，分析其稳态误差。)1).(1)(1()1).(1)(1()(21210sTsTsTssssKsGnvm 0 0I IIIIIvKaK000 KKKpK系统类型系统类型与与的关系为的关系为传函的一般形式School of Automation Engineering整理课件的开环传函.)1()1).(1)(1()1).(1)(1()1()(1)(1112112110非非积积分分环环节节各各分分式式 sKsKsKZzsTsTsTssssKZzsGseZzGvvvnvmsT Sc

25、hool of Automation Engineering整理课件n对 系统，1)1()1()(11非非积积分分环环节节各各项项非非积积分分环环节节各各分分式式 zKzzsKZzzG0)()1(lim10)()1(lim11)1(lim)(lim2121111 zGzTKzGzTKKzKzzzGKzazvzzp误差系数误差系数School of Automation Engineering整理课件n对系统，1)1()1()1()(121121非非积积分分环环节节各各项项非非积积分分环环节节各各项项 zzKzKTzzsKsKZzzG0)()1(lim1)1()1)(1(lim1)()1(lim

26、1)(lim21221111 zGzTKaKzKTzzzTzGzTKvzGKzzzzp误差系数误差系数School of Automation Engineering整理课件n类似地也可求得 系统的误差系数 与比较，二者完全一致，而与 无关。KKKKavp School of Automation Engineering整理课件尽管采样系统的稳态误差系数的计算公式中包含了 ，但实际计算中公式中的 与系统开环脉冲传函的 相对消，因此。【注】 以上结论只对成立，其它情况不一定能完全对消 T。School of Automation Engineering整理课件计算机控制系统的响应特性分析也包括动

27、态响应和稳态响应的分析 通常动态性能指标包括延迟时间td、上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts、最大超调量 等，其定义均与连续系统一致。 稳态响应是时间 时系统的输出状态。一般认为输出进入稳态值附近5或3的范围内就可以表明动态过程已经结束。 t School of Automation Engineering整理课件 尽管动态性能指标的定义与连续系统相同，但在 Z 域分析时，只能针对的值，而在采样间隔内，系统的状态并不能被表示出来，因此不能精确描述和表达采样系统的真实特性。在采样周期较大时，尤其如此。School of Automation Engineering整理课件例9 已知计算机控

28、制系统如下图所示，设采样周期T=1s ，试分析系统的单位阶跃响应特性。解 广义z传递函数为 112111e0.368(10.717)( )(1)(1)(10.368)TszzG zZsszz闭环z传递函数为 1212( )0.3680.264( )1( )10.632G zzzzG zzzSchool of Automation Engineering整理课件1,20.5j0.618z12|0.7949zz系统闭环极点为 ，模为 ， 因此系统是稳定的系统的输出的z变换为 1212312345678910111213( )( ) ( )0.3680.264 121.6320.632 0.3681

29、.41.41.1470.8950.802+0.8680.993 1.0771.0811.0320.981+0.961Y zz R zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz1415160.9730.997zz12111231112111210.3680.264lim ( )lim(1) ( )lim(1)121.6320.6320.3680.264 lim(1)1(1)(10.632)tzzzzzy tzY zzzzzzzzzzz系统的输出的终值为 School of Automation Engineering整理课件系统在单位阶跃输入作用下的过渡过程具有衰减振荡的形式，系统是稳定的。其超调量

30、为40%，且峰值出现在第三、四个采样周期之间，约经过12个采样周期结束过渡过程，系统稳态值为1。School of Automation Engineering整理课件S平面绘制闭环系统根轨迹的特征方程：0)()(1sGsD形式完全相同！形式完全相同！S平面绘制根轨迹的所有规则z平面都适用，绘制方法完全相同。0)()(1zGzDz平面绘制闭环系统根轨迹的特征方程：但应注意：z平面上的稳定边界是单位圆而不是一条直线 School of Automation Engineering整理课件例10 系统如下图所示，设采样周期T=1s,且)(sR)(zET)(sE)(zD)(*sC)(zC)(zG(0

31、.046)(1.13)( )(1)(0.135)(0.018)z zzG zzzz(0.135)(0.018)(0.67)( )(1)(0.046)(0.713)K zzzD zzzz试绘制系统的根轨迹，并确定系统临界稳定时的K值。 School of Automation Engineering整理课件解 系统的开环传递函数为2(1.13)(0.67)( ) ( )(1) (0.713)Kz zzD z G zzz系统的根轨迹如下图所示。Z 平面的临界放大系数由根轨迹与单位圆的交点求得，为 。5.2879K 。 School of Automation Engineering整理课件 连续系

32、统的频域特性在正弦信号作用下，系统的。此定义同样适用于离散系统，只是对应的输入输出信号均为。School of Automation Engineering整理课件即离散系统频率特性相当于考察脉冲传函当 z 沿单位圆变化时的特性。TjezTjzGeG )()(线性计算机控制系统的频率特性可按下式计算School of Automation Engineering整理课件1 计算机控制系统频率特性绘制方法 (1)数值计算法 1( )=2 +1G ss例11 已知连续传递函数 ，相应的z传递函数为 ，设采样周期为T=1s ，试求其频率特性。 ， TTosTezesseZzG5 . 05 .1121

33、1)(解 连续环节频率特性为 211(j ) =arctan(2 )j2+141G离散环节的频率特性为 )2sin(6065. 0)2cos(sin)6065. 0(cos3935. 0 sin6065. 0cos3935. 0 060653935. 0)1 ()(225 . 05 . 0ssTjTTjTTjjjeeeeeGSchool of Automation Engineering整理课件因此，可以得到幅值为22sin)6065. 0(cos3935. 0)(TjeG的表达式给出为周期不断重复，这里相角以ss0ss22ssjsss22sscos20.6065arccos 02cos20.6065sin2(e)cos (2 )0.6065arccos 2cos20.6065sin2TG School of Automation Engineering整理课件例11系统的的幅频特性与相频特性School of Automation Engineering整理课件