第4章 常见概率分布_图文

1、第四章 常用概率分布一、二项分布的概念和特征概念分布:随机变量的取值规律 分布函数:描述分布的规律变量类型连续型变量离散型变量 如:正态分布如:二项分布,泊松分布思考例1.假设有5只实验小白鼠,要求它们同种属、同性别、体重 相近,且给小白鼠注射一定剂量的毒物时,他们有相同的死 亡率80%,存活率为20%。那么这5只小白鼠实验后全部死亡 的概率是多少?有一只白小鼠存活的概率是多少?2只小白 鼠存活的概率是多少?例1.假设有5只实验小白鼠,要求它们同种属、同性别、体重相近, 且给小白鼠注射一定剂量的毒物时,他们有相同的死亡率80%, 存活率为20%。那么这5只小白鼠实验后全部死亡的概率是多少? 有

2、一只白小鼠存活的概率是多少?2只小白鼠存活的概率是多少? P 死=0.8 P 活=0.2 P 1=0.8×0.8×0.8×0.8×0.8 P 2 = P 3 = 1 5C 2 5C 0.2×0.8 4 =0.082 0.2 2 ×0.8 3 =0.020 =0.8 5 =0.328该实验有三个特点:1.各次实验是彼此独立的;2.每次实验只有二种可能的结果,或死亡或生存;3.每次实验小白鼠死亡和生存的概率是固定的。具备以上三点,即从阳性率为的总体中随机抽取大小为n的样本, 则出现“阳性”数为X的概率分布即呈现二项分布,记作B(n,p。概

3、率分布函数二项分布的概率函数P (X 可用公式X n X XnC X P - - = 1 ( ( p p 其中 !( ! ! X n X n C Xn - = 对于任何二项分布,总有 ( 1= å = nX X P例2.临床上用针灸治疗某型头疼,有效的概率为60%,现以 该疗法治疗3例,其中2例有效的概率是多大?分析:治疗结果为有限和无效两类,每个患者是否有效不受其他病例的影响,有 效概率均为0.6,符合二项分布的条件。X n X XnC X P - - = 1 ( ( p p ( ( 432 . 0 6 . 0 ­ 1 6 . 0 !2 ­3 ! 2 ! 3 1

4、 ( 2 ­ 3 2 2 3 2 23 2 ( = = - - = p p C P 因此,2例有效的概率是0.432。二项分布的特征B (n,p n = 3, = 0.5 n = 10, = 0.5 = 0.3时,不同 n 值对应的二项分布二项分布的特征1. n,是二项分布的两个参数,所以二项分布的形状取决于n,。2. 当=0.5时分布对称,近似对称分布。3. 当 0.5时,分布呈偏态,特别是 n 较小时, 偏离0.5越远,分 布的对称性越差,但只要不接近1和0时,随着 n 的增大,分布逐 渐逼近正态。4. 当 或 1­ 不太小,而 n 足够大,通常 n 和 n(1

5、3; 均大于或 等于5,我们常用正态近似的原理来处理二项分布的问题。例3.临床上用针灸治疗某型头痛,有效的概率为60%,现以该疗法治疗3例,求有效人 数的均数和方差。二项分布的均数和标准差分析:n = 3,p =0.60 1 2 30.064 0.288 0.432 0.216 根据总体均数(又称数学期望和方差的定义,有效人数的均数为: ( 80 . 1 216 . 0 3 432 . 0 2 288 . 0 1 064 . 0 0 ( = ´ + ´ + ´ + ´ = å = X XP X E 方差为: 22 222 (0 1.800.06

6、4(1 1.800.288.(3 1.800.216 0.72V a r X E X E X X E X P X =-=- =-´+-´+-´ = å对于任何一个二项分布B(n,如果每次试验出现“阳性” 结果的概率均为,则在 n 次独立重复实验中,出现 X 次阳 性结果总体均数为 标准差为pm n=( pps-= 1n二项分布的均数和标准差如果以率表示,将阳性结果的频率记做为 则P 的总体均数总体标准差为 式中是频率P 的标准误,反映阳性频率的抽样误差的大小。 p m = P ( nP p p s - = 1 P s nX P =例4. 已知某地钩虫感染

7、率为6.7%,如果随机抽查150人,记 样本钩虫感染率为 P ,求 P 的标准误 。本例 ,n =150,P =6.7% 0 . 2 020 . 0 150067 . 0 1 ( 067 . 0 = = - = P s小结:1. 二项分布的条件:1每次实验结果,只能是两个互斥的结果之一。2相同的实验条件下,每次实验中事件A的发生具有相同的概率。3各次实验独立,各次的实验结果互不影响。2. 二项分布的分布特征:1二项分布的形状取决于n,。2当 =0.5时分布对称,近似对称分布。3当 0.5时,分布呈偏态,特别是 n 较小时, 偏离0.5越远,分布的 对称性越差,但只要不接近1和0时,随着 n 的

8、增大,分布逐渐逼近正态。3.二项分布的均数和标准差对于任何一个二项分布B (n ,均数:标准差: 对于以率表示的二项分布,总体均数:总体标准差 小结:p m n = ( p p s - = 1 n p m = P ( nP p p s - = 1第四章 常用概率分布二、二项分布的应用1. 二项分布的条件:1 每次实验结果,只能是两个互斥的结果之一。2 相同的实验条件下,每次实验中事件A的发生具有相同的概率 。3 各次实验独立,各次的实验结果互不影响。2. 二项分布的分布特征:1 二项分布的形状取决于n,。2 当=0.5时分布对称,近似对称分布。3 当0.5时,分布呈偏态,特别是n 较小时,偏离

9、0.5越远,分布的 对称性越差,但只要不接近1和0时,随着 n 的增大,分布逐渐逼近正态。3. 二项分布的均数和标准差对于任何一个二项分布B (n ,均数: 标准差: 对于以率表示的二项分布总体均数: 总体标准差: n = m p ( 1 n =- s p p P = m p( nP p p s - = 1在生物医学研究中,我们经常要处理这样一类问 题:(1每次试验只有两种互斥的结果。如生化检验的结果(阴性或阳 性,毒性试验的结果(存活或死亡,或者每次试验我们只关心某事 件是否发生,即要么事件发生,要么事件不发生。(2为了找到这些试验结果的规律性,通常需要在相同条件下独立重复 作 n 次,如对

10、 n个患者用完全相同的治疗方案进行治疗,对 n只动物进 行剂量相同的毒性试验等。(3我们只关心的是 n次试验中阳性结果的数目,如 n 个患者治疗后的 治愈数,n 只动物毒性试验的存活数等等。1.概率估计例1.如果某地钩虫感染率为13%,随机观察当地150人,其中 恰好有10人感染钩虫的概率有多大?分析:(1钩虫感染只有两个互斥的结果,即感染与非感染;(2每个人被钩虫感染的概率相同;(3人与人之间钩虫感染可假设为相互独立的,所以感染钩虫的人数 X 可认为服从 n= 150,= 0.13的二项分布。1.概率估计例1.如果某地钩虫感染率为13%,随机观察当地150人,其中 恰好有10人感染钩虫的概率

11、有多大?10140 150! (100.130.870.0055 10!(15010!P X =´= - Xn X Xn C X P - - = 1 ( ( p p二项分布出现阳性次数至少为 k 次的概率为 2. 累计概率计算( ( ( ( ! 1 ! nn n XX X k X k n P X k P X X n X - = ³=- - åå p p 阳性次数至多为 k 次的概率为( ( ( ( 00 ! 1 ! kk n XX X X n P X k PX X n X - = £=- - åå p p2.累计概率计算例2

12、.如果某地钩虫感染率为13%,随机观察当地150人,其 中至多有2人感染钩虫的概率有多大?至少有2人感染钩虫 的概率有多大?至少有20人感染钩虫的概率有多大? 至多有2名感染的概率为:( ( ( ( 22 00 ! 21 ! n XX X X n P X PX X n X - = £=- - åå p p ( ( ( ( ( ( 150149 01 148 7 012 150!150! 0.1310.130.1310.13 0!150!1!149!150! 0.13210.13 2!148!P P P - + =-+- +-至少有2名感染的概率为:至少有20名感染

13、的概率为:( ( ( ( ( 120 21 1011nX X P X PX P X P P = ³=- =-+» éù ëû åå ( ( ( ( ( ( 19200 201 10119 0.4879n X X P X P X P X P P P = ³=- =-+ éù ëû = åå L3.其它应用1. 二项分布的正态近似根据中心极限定理,在 n 较大,n 与 n (1­均大于或等于5时,二项分布接近与正态分布。当 n 无穷大时,二

14、项分布B (n ,的极限分布是总体均数为, 总体标准差为 的正态分布 , 此时可用该正态分布进行估计。n = m p ( 1 n =- s p p ( ( ,1 N n n - p p p3. 其它应用2. 总体率的区间估计3. 样本率与总体率的比较4. 两样本率的比较5. 研究非遗传性疾病的家族聚集性6. 率的抽样调查的样本量估计4.小 结1. 二项分布的应用条件1 每次实验结果,只能是两个互斥的结果之一。2 相同的实验条件下,每次实验中事件A的发生具有相同的概率 。3 各次实验独立。各次的实验结果互不影响。2.二项分布的正态近似条件在 n较大,n 与 n(1­ 均大于或等于5时,

15、可用 的正态分布近似估计。3.二项分布可以用于概率估计,统计推断等( ( ,1N n n-p p p第四章 常用概率分布三、Poisson分布的概念与特征一、Poisson分布的概念Poisson分布是一种离散型分布,用于描述单位时间、空间、面积等的罕见事件发生次数的概率分布。如:n每毫升水中的大肠杆菌数、n单位时间(如1分钟内放射性质点数、n每1000个新生儿中某出生缺陷、多胞胎、染色体异常等事件出 现的例数、n 注意:Poisson分布要求观察结果相互独立,发生的概率p不变。如,人群中传染性疾病首例出现后便成为传染源,会增加 后续病例出现的概率,因此病例数的分布不能看作是Poisson 分

16、布;又如,污染的牛奶中细菌成集落存在,单位容量牛奶中细 菌数不能认为服从Poisson分布。二、Poisson 分布的特征Poisson 分布一般记作P (l ,其概率函数为:式中,l =n为Poisson 分布的总体均数;X 为观察单位内某稀有事件的发生次数; e 为自然对数的底,为常数,约等于2.71828。( !XP X eX ll- =例1 如某地20年间共出生短肢畸形儿10名,平均每年 0.5名。试估计该地每年出生此类短肢畸形儿的人数为0, 1, 2,的概率P (X。X0 1 2 3 4 5 0.607 0.303 0.076 0.013 0.002 0.000(P X 20.50.

17、5(20.076 2!P e- = 10.50.5(10.303, 1!P e- = 00.50.5(00.607, 0!P e- =随着l的增大,Poisson分布逐渐趋于对称分布。当l>20时,Poisson分布可视为近似正态分布。图1 l取不同值时的Poisson分布图Poisson 分布具有以下特性: (1总体均数与总体方差相等:均为l 。 (2可加性:从总体均数分别为l 1 和l 2 的两个Poisson 分布总体中各 自随机抽出一份样本,其中稀有事件的发生次数分别为 X 1 和X 2 ,则合计发生数T =X 1 +X 2 也服从Poisson 分布,总 体均数为l 1 +l

18、2。水源P (l 1 P (l 2 P (l 3 P (l 1 +l 2 +l 3 +l 4 +l 5P (l 4 P (l 5可加性可推广到多个Poisson 分布。 正态近似若随机变量X服从Poisson分布,Y=2X是否服从Poisson分布?否!n若服从Poisson分布的随机变量可能取值为0,1,2,;但Y的 可能取值为0,2,4,与Poisson分布随机变量的可能取值不 符。n若X的总体均数和方差为,则Y的总体均数为2,总体方差为4, 总体均数总体方差。三、Poisson 分布的应用1、概率估计:如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为8,那么 该地120名新生儿中有4人患先天性心脏

19、病的概率有多大?( ( 41.96 1200.0080.96!0.96 40.014 4!Xn P X e X P e l l p l - - =´= =2、累积概率计算如果稀有事件发生次数的总体均数为,那么该稀有事件发生次数至多为k 次的概率为00 ( ! Xk k X X P X k P X e X l l - = £= åå 发生次数至少为k 次的概率为(1(1P X k P X k ³=-£-660616222 00 6666 (3( !0!1!2! = 0.062 X X X e e e e P X P X X - = &l

20、t;=+ åå 606166 (11(0(11 0!1!0.983 e e P X P X P X - >=-=-=- = 例2某100cm 2 的培养皿中平均菌落数为6个。今用100cm 2 的培养皿进行培养,试估计每一个培养皿中菌落数小于3个的概率,大于1个的概率。该培养皿菌落数小于3个的概率为菌落数大于1个的概率为例3 某放射性物质半小时内发出的脉冲数服从Poisson 分布,平均为 360个,试估计该放射性物质半小时内发出的脉冲数大于400个的概率。4000.5360 (4001(4001(1(2.1350.0164 360P X P X +- >=-£»-F =-F = 该放射性物质半小时内发出的脉冲数大于400个的概率为0.0164。二项分布 Poisson 分布 正态分布 n 很大很小l 20n p 5,且n (1­p 5第四章 常用概率分布四、正态分布的概念与特征正态分布是自然界最常见的分布之一,例如测量的误差、人体许多生化 指标的测量值等等都可认为近似正态分布。此外,正态分布具有许多良好的 性质,许多理论分布在一定条件下可用正态分布近似,一些重要的分布可由 正态分布导出。可以