椭圆及其标准方程

1、 如何精确地设计、制作、建造出现实如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中这些椭圆形的物件呢？椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程数数 学学 实实 验验同学们一起观察以下操作：同学们一起观察以下操作： 在图板上，将一根无弹性的长为在图板上，将一根无弹性的长为2a的细绳的细绳的两端（两端点距离为的两端（两端点距离为2c）用图钉固定在不）用图钉固定在不同处，套上铅笔，使笔尖沿细绳运动，能得同处，套上铅笔，使笔尖沿细绳运动，能得到什么图形？到什么图形？1F2F 定点定点F1、F2叫做叫做 椭圆的焦点椭圆的焦点，两焦点的距离，两焦点的距离叫做叫做椭圆的焦距椭圆的焦距. 平面内与两定

2、点平面内与两定点F F1 1、F F2 2的距离之和等于常数的距离之和等于常数( (大于大于| |F F1 1F F2 2|)|)的点的轨迹叫的点的轨迹叫椭圆椭圆. .椭圆的定义：椭圆的定义：当绳长当绳长2a|F1F2| 椭圆椭圆当绳长当绳长=|F1F2|当绳长当绳长|F1F2|线段线段不存在不存在 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、对称、“简洁简洁”OxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyM解：取过焦点解：取过焦点F1、F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直的垂直平分线

3、为平分线为y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系(如图如图). 设设M(x, y)是椭圆上任意一是椭圆上任意一点，椭圆的焦距点，椭圆的焦距2c(c0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的的坐标分别是坐标分别是( c,0)、(c,0) .xF1F2M0y222221)(,)(ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222 得方程代代入坐标入坐标1)椭圆的标准方程的推导aMFMF2|21由定义可知：222222bayaxb 22ba两边除以两边除以 得得设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可

4、知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方1byax2222 MF2F1)oba(1bxay2222 2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，FcFc1

5、20,-0,，FcFc标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2POa2-c2=b2判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴上，并写出焦点判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴上，并写出焦点坐标。坐标。 答：答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0） 答：答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5） 答：答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）深化概念深化概念1162522yx116914422yx112222mymx（1）（2）（3）的取值范围。表示椭圆，求方程kkykx11624

6、22)24, 4)4 ,16(4162416240160241162422（的取值范围是的取值范围是表示椭圆表示椭圆解：方程解：方程U kkkkkkkkkykx）的椭圆的方程。经过点），并，）和（，（例：求两个焦点坐标为23,25(0202P解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为22221 (0).xyabab由椭圆的定义知16106210102)()2()()2(222222223225223225yxcabcaa椭圆方程为：练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：2)a=4,c= ，焦点在，焦点在y轴上；轴上； 1)a=4,b=1，焦点在，焦点

7、在x轴上轴上； 22116yx11622 yx22136yx2213616yx或或3)a+b=10, c= . 152 53. 标准方程的简单应用标准方程的简单应用2.椭圆的标准方程（焦点分别在椭圆的标准方程（焦点分别在x轴轴,y轴上的标准轴上的标准方程）方程）12222byax12222bxay1.椭圆的定义椭圆的定义)(222cab3、求过点（、求过点（3，-2）且与椭圆）且与椭圆 有相同焦有相同焦点的椭圆方程点的椭圆方程. 1、如果椭圆、如果椭圆 上的一点上的一点P到焦点到焦点F1的距离的距离等于等于6，那么点，那么点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离是的距离是_.13610022yx 以下三题，请同学们选做两题。以下三题，请同学们选做两题。（第（第1、2小题，每题小题，每题4分，第分