人力资源无穷级数复习课ppt课件

1、习题课习题课无穷级数的收敛、求和与展开无穷级数的收敛、求和与展开 第七章 )(0 xunn 求和)(xS展开(在收敛域内进行)(0 xunn基本问题：判别敛散；基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.时为数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数;一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限13. 任意项级数审敛法为收敛级数1nnuLeibniz判别法判别法: 假设

2、假设,01nnuu且,0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛 ,概念概念:且余项.1nnur1nnu假设收敛 ,1nnu称绝对收敛1nnu假设发散 ,1nnu称条件收敛例例1. 若级数若级数11nnnnba 与均收敛 , 且nnnbca, ),2, 1(n证明级数1nnc收敛 .证证: nnnnabac0, ),2,1(n则由题设)(1nnnab 收敛)(1nnnac 收敛1nnc)(1nnnnaac)(1nnnac 1nna收敛例2:判别下列级数的敛散性:;1) 1 (1nnnn;2) !()2(122nnn;2cos)3(132nnnn;ln1)4(210nn. )0,0()5(1

3、sanansn提示提示: (1) ,1limnnn有时当,Nn 11nn)1 (11nnnn据比较判别法, 原级数发散 .因调和级数发散,0N利用比值判别法, 可知原级数发散.用比值法, 可判断级数12nnn因 n 充分大时,ln1110nn原级数发散 . :2) !()2(122nnn:2cos)3(132nnnn:ln1)4(210nn: )0,0()5(1sanansn用比值判别法可知:时收敛 ;时, 与 p 级数比较可知时收敛;1s时发散.再由比较法可知原级数收敛 .1s1a时发散.1a1a21nn发散,收敛,例3. 设正项级数1nnu和1nnv12)(nnnvu也收敛 .提示提示:

4、因因,0limlimnnnnvu存在 N 0,nnnnvvuu22,又因)(222nnvu)()(2Nnvunn利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛, 证明级数当n N 时2)(nnvu 例4. 设级数1nnu收敛 , 且,1limnnnuv1nnv是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .,) 1(nunn问级数提示提示: 对正项级数对正项级数,由比较判别法可知由比较判别法可知1nnv级数1nnu收敛 ,1nnvnnnuvlim收敛,级数发散 .nnn) 1(lim11例如, 取nnvnn1) 1(;1ln) 1()3(1nnnn例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收

5、敛性:;1) 1() 1(1npnn;sin) 1()2(1111nnnn.! ) 1() 1()4(11nnnnn提示提示: (1) P 1 时, 绝对收敛 ;0 p 1 时, 条件收敛 ;p0 时, 发散 .(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .故 ,111收敛nn11ln) 1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun因单调递减, 且但nnn1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原级数仅条件收敛 .kknk1ln1nlim由Leibniz判别法知级数收敛 ;0limnnu11! ) 1() 1()4(nnnnn因nnuu12)2(! )2(nn

6、n1)111 (12nnnn1! ) 1(nnnn11e所以原级数绝对收敛 .二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .例6. 求下列级数的敛散区间:;)11 () 1 (12nnnxn.2)2(21nnnxn练习练习: 1 解解:nnnnnna)11 (limlim当ex1因此级数在端点发散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( )(01ne. )1,1(eee时,12)11 () 1 (nnnxn,1eR exe11即时原级数收敛 .故

7、收敛区间为nnnxn212)2()()(lim1xuxunnn解解: 因因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛区间为. )2,2(级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散; 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和nnnxa0例例7. 求幂级数求幂级数.!) 12(1) 1(120的和函数nnnxnn法法1 易

8、求出级数的收敛域为易求出级数的收敛域为),(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x法法2 先求出收敛区间, )(xS那么xnnnxxxnnxxS01200d! ) 12(1) 1(d)(220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(设和函数为),(x.) 1()2(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx

9、222211xxx22xx222)2(2xx显然 x = 0 时上式也正确,. )2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxS例8. 求下列幂级数的和函数：级数发散,(2)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd1101) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 时,级数也收敛 . 即得00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211s