上海交大数值分析数值分析4-4ppt课件

1、一、梯形法的递推化一、梯形法的递推化 前面介绍的复化求积公式对提高精度前面介绍的复化求积公式对提高精度是行之有效的，但使用前必须给出合适的是行之有效的，但使用前必须给出合适的步长步长h，如何给出？，如何给出？h太小则计算量增加太小则计算量增加h太大则精度不满足太大则精度不满足采用变步长采用变步长的计算方案的计算方案1.定义：变步长求积法定义：变步长求积法 变步长求积法就是在步长逐次分半即变步长求积法就是在步长逐次分半即步长二分的过程中，反复利用复化求积公式步长二分的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止。为止。下面讨论变

2、步长的梯形法的计算规律。下面讨论变步长的梯形法的计算规律。2. 变步长的梯形法变步长的梯形法设将区间设将区间a, b分为分为n等份，共有等份，共有 n+1 个分点个分点其步长其步长nabh ，在每个小区间，在每个小区间xk，xk+1上上用梯形公式计算为用梯形公式计算为 )()(21 kkkxfxfhI如果再二分一次，则步长减半，即如果再二分一次，则步长减半，即h/2，分点，分点增至增至2n+1个，记区间个，记区间xk，xk+1上上经过二分后新增分点为经过二分后新增分点为21 kx)(21121 kkkxxx用复化梯形公式求得该区间上的积分值为用复化梯形公式求得该区间上的积分值为 )()(2)(

3、22/121 kkkxfxfxfh故在整个区间上的积分值为故在整个区间上的积分值为 101012)(2)()(421nkknkkknxfhxfxfhT 102)(22121nkknnxfhTT即即只需计算新增只需计算新增分点的函数值分点的函数值这里的这里的h是二是二分前的步长分前的步长举例举例计算积分值计算积分值 10sindxxxI详见书上本节例详见书上本节例2，计算时要注意公式中步长，计算时要注意公式中步长的含义。的含义。请回答：本例最后结果二分多少次？请回答：本例最后结果二分多少次？ 共有多少个分点？共有多少个分点？答：答： 二分二分10次，共有次，共有210 +1=1025个分点，个分

4、点，将区间平分为将区间平分为210=1024份。份。变步长梯形法的优缺点：变步长梯形法的优缺点：优点优点算法简单，便于编程算法简单，便于编程缺点缺点精度较差，收敛速度缓慢精度较差，收敛速度缓慢龙贝格公式龙贝格公式二、龙贝格二、龙贝格Romberg公式公式复化梯形法的误差公式当复化梯形法的误差公式当h 0时为：时为： bandxxfhTI)(1212 )()(121afbf 即积分值即积分值Tn的截断误差大致与的截断误差大致与h2成正比，因成正比，因此当步长二分后，截断误差将减至原有误差此当步长二分后，截断误差将减至原有误差的的1/4，有，有412 nnTITI整理得整理得)(3122nnnTT

5、TI nnTITI )(42即即上式说明上式说明T2n的误差大致等于的误差大致等于 )(312nnTT 如果用这个误差作为如果用这个误差作为T2n的一种补偿，可以的一种补偿，可以期望所得到的期望所得到的nnnnnTTTTTT3134)(31222 可能是比可能是比T2n更好的结果。更好的结果。事实上，当事实上，当n=1时时那么那么 其实质究竟是什么呢？其实质究竟是什么呢？T)()(231)()2(2)(434313412bfafabbfbafafabTTT )()2(4)(6bfbafafabT这就是说用梯形法二分前后的两个积分值这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与与T2n组合成组合成

6、就是辛甫生公式就是辛甫生公式Sn。即。即TnnnTTTS31342 再考察复化辛甫生公式再考察复化辛甫生公式复化辛甫生公式的误差公式当复化辛甫生公式的误差公式当h 0时为：时为：即积分值即积分值Sn的截断误差大致与的截断误差大致与h4成正比，因成正比，因此当步长二分后，截断误差将减至原有误差此当步长二分后，截断误差将减至原有误差的的1/16，有，有 )()(2180144afbfhSIn 1612 nnSISI整理得整理得nnSSI15115162 可以验证这样的可以验证这样的组合就是柯特斯组合就是柯特斯公式公式nC 这就是说用辛甫生法二分前后的两个积分值这就是说用辛甫生法二分前后的两个积分值

7、Sn与与S2n组合成柯特斯公式组合成柯特斯公式Cn。即。即nnnSSC15115162 重复同样的手续，依据柯特斯公式的误差阶重复同样的手续，依据柯特斯公式的误差阶为为h6，可进一步导出下列龙贝格公式：，可进一步导出下列龙贝格公式：nnnCCR63163642 综合上面的加工过程，有综合上面的加工过程，有实质：将粗糙的梯形公式值逐步加工成精度较实质：将粗糙的梯形公式值逐步加工成精度较 高的公式高的公式nnnTTS31342 nnnSSC15115162 nnnCCR63163642 对梯形公式加工：对梯形公式加工：对辛甫生公式加工：对辛甫生公式加工：对柯特斯公式加工：对柯特斯公式加工：能否对龙

8、贝格公式再加工能否对龙贝格公式再加工取得较高精度的公式？取得较高精度的公式？现在的问题是：现在的问题是：李查逊李查逊RichardsonRichardson）外推加速法外推加速法三、李查逊外推加速法三、李查逊外推加速法定理定理.)(2634221 kkhahahahaIhT设设 ，则成立，则成立,)(baCxf 式中系数式中系数 与与h无关无关,.)2 , 1( kak李查逊外推加速法基于如下原理李查逊外推加速法基于如下原理nThT )(李查逊外推加速法的处理过程：李查逊外推加速法的处理过程：由由.)(2634221 kkhahahahaIhT那么那么.64164)2(634221 hahah

9、aIhT可知可知T(h)I 是二阶收敛的是二阶收敛的4减减则得则得.3)()2(4)(62411 hhIhThThT 这样构造的这样构造的T1(h) I 是四阶收敛的是四阶收敛的这里的这里的均与均与h无关无关,.,21 与龙贝格公式的构造相比，这里的与龙贝格公式的构造相比，这里的),.2(),(11hThT就是辛甫生公式。就是辛甫生公式。又根据又根据.)(62411 hhIhT 有有.16)2(8362411 hhhIhT 假假设设)(15121516)(112hThThT 则又可以进一步消去展开式中的则又可以进一步消去展开式中的 h4 项，而项，而有有.)(82612 hhIhT 这样构造出的这样构造出的 T2(h) ，其实就是柯特斯公式，其实就是柯特斯公式序列，它与积分值序列，它与积分值I的逼近阶为六阶。的逼近阶为六阶。如此继续下去，