§7-2平面向量的线性运算ppt课件

1、7.2 平面向量的线性运算复习回顾：1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量2、平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量3、相等向量： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量节引言：数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算。下面我们学习向量的线性运算。一、向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义例如例如: :某对象从某对象从A A点走到点走到B B点点. .日常生活中遇到的向量加法问题日常生活中遇到的向量加法问题: :然后从然后从B B点走到点走到C C点点. .思索思索:这个人所

2、走过的位移是多少这个人所走过的位移是多少?ABC分析分析 :由物理知识可以知道由物理知识可以知道:从从A点到点到B点然后到点然后到C点的点的合位移合位移,就是从就是从A点到点到C点点的位移的位移.ABBCAC=+向量加法运算及其几何意义F1F2F1F2F FEOOE思索思索: :合力合力F F与力与力F1F1、F2F2有怎样的关系？有怎样的关系？力力F F在以在以F1F1、F2F2为邻边的平为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长等于平行四边形对角线的长. .向量加法运算及其几何意义F1F2FEOOE探求探求: :橡皮条在力橡皮条在力F1F1与

3、与F2F2的作用下的作用下, ,从从E E点伸长到了点伸长到了O O点点. .同时橡皮条在力同时橡皮条在力F F的作用下也从的作用下也从E E点伸长到了点伸长到了O O点点. .F1+F2=F力力F F对橡皮条产生的效果，与力对橡皮条产生的效果，与力F1F1和和F2F2共同作用共同作用产生的效果相同，物理学中把力产生的效果相同，物理学中把力F F叫做叫做F1F1和和F2F2的合力的合力. .向量加法运算及其几何意义n向量加法的定义：我们把求两个向量向量加法的定义：我们把求两个向量和的运算和的运算,叫做向量的加法叫做向量的加法,叫做叫做的和的和., a b ab, a b 两个向量的和仍然是一个

4、向量两个向量的和仍然是一个向量.向量加法运算及其几何意义已知非零向量已知非零向量a与与b.如何求如何求a+ b.首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连向量加法的三角形法则ACababBa + ba+b=AB+BC=AC位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型向量加法运算及其几何意义向量加法的平行四边形法则ababBOACa + b起点相同，连对角起点相同，连对角力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型,00aaaa对于零向量与任一向量我们规定向量加法运算及其几何意义例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ab那那么么OBab aba 作法作法1：在平面

5、内任取一点：在平面内任取一点O， 作作 ， ，OAa ABb b例题讲解：例题讲解：aboABoABC作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O， 作作 ， ，OAa OBb .OCOAOBab 连结连结OC，那么，那么ba OAOB、以以 为为邻边作邻边作 ，OACBab向量加法运算及其几何意义思索：思索：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？abab（1）（2）| |ababab 若 ， 方向相同，则ABCBCAabab| |abababba 若 ， 方向相反，则（或）向量加法运算及其几何意义（1）abbba ababa （2）（4）abba b课堂练习

6、：课堂练习：一、用三角形法则求向量的和一、用三角形法则求向量的和a（2）bbba 二、用平行四边形法则求向量的和二、用平行四边形法则求向量的和向量加法运算及其几何意义数的加法满足交换律与结合律，即对任意数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，bR，有有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c) 任意向量任意向量 的加法是否也满足交换律与结合律？的加法是否也满足交换律与结合律？ 、a b探求：探求：abCabABD. A AC C = = A AD DD DC C = = b ba+ +由于由于 AC = AB + BC = a + b 所以.b ba ab b+ +=向量加法运算及其几何

7、意义ABaCbabDcbcabc( )abc( )向量的加法满足向量的加法满足交换律和结合律交换律和结合律.()().abcabc)+=+=+abba(ab)ca (bc向量加法运算及其几何意义n例例2.2.长江两岸之间没有大桥的地方长江两岸之间没有大桥的地方, ,常常通过轮渡常常通过轮渡进行运输进行运输. .一艘船从长江南岸一艘船从长江南岸A A点出发点出发, ,以以5km/h5km/h的的速度向垂直于对岸的方向行驶速度向垂直于对岸的方向行驶, ,同时江水的速度为同时江水的速度为向东向东2km/h.2km/h.(1)(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行试用向量表示江水速度、船速以及

8、船实际航行的速度保留两个有效数字）；的速度保留两个有效数字）；(2)(2)求船实际航行的速度的大小和方向用与江水求船实际航行的速度的大小和方向用与江水速度间的夹角表示，精确到度）速度间的夹角表示，精确到度）. . 学以致用：学以致用：向量加法运算及其几何意义2BAD5C如图，设表示水流的如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，速度，表示渡船的速度，ABAD 表示渡船实际过江表示渡船实际过江的速度的速度.(由平行四边形法由平行四边形法则可以得到则可以得到)AC5tan,68 .2CABCAB查计算器可得22,2529ABADRt ABCAC 由得得5.4答：船实际航行速度的大小约为答：船实际航行

9、速度的大小约为5.4km/h5.4km/h，方向与，方向与水的流速间的夹角约为水的流速间的夹角约为680680分析：分析：向量加法在实际生活中的应用，本例应解向量加法在实际生活中的应用，本例应解决的问题是向量模的大小及向量的方向决的问题是向量模的大小及向量的方向向量加法运算及其几何意义变式：变式：n在静水中船速为在静水中船速为20m/min，水流速度为，水流速度为10m/min,若船从岸边出发，垂直于水流航线到达若船从岸边出发，垂直于水流航线到达对岸的，问船行进的方向是对岸的，问船行进的方向是_.ABCDAB向量向量 表示静水流速，表示静水流速， 表示船行进方向，表示船行进方向， 表示表示船实

10、际行走路线，垂直于水船实际行走路线，垂直于水流方向，所以流方向，所以DAC即为所即为所求求ADAC方向与水的流速间的夹角为120o向量加法运算及其几何意义课堂练习：课堂练习：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1根据图示填空：根据图示填空：_ABBCCDDE AE _|, 6| , 8|2的最大值是则）已知（baba141、相反向量：、相反向量：规定：规定：设向量设向量 ，我们把与，我们把与 长度相同，方向相反长度相同，方向相反aa的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。a（1）()a （3设设 互为相反向量，那么互为相反向量，那么,a b,0ab ba a

11、b 二、二、 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义记作：记作： a的相反向量仍是的相反向量仍是 。002、向量的减法：、向量的减法：()abab （2）()aa()aaa00BACab设设,AB b ACa DEb()AEab 又又b BC a 所以所以BCa b ababab你能利用我们学过的向量的加法法则作出你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？吗？ ()ab 不借助向量的加法法则你能直接作出不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？吗？ a b3、几何意义：、几何意义： 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量ba b a（

12、1如果从如果从 的终点指向的终点指向 终点作向量，所得向量是什么呢？终点作向量，所得向量是什么呢？ab（2当当 ， 共线时，怎样作共线时，怎样作 呢？呢？ababABOABOaOA bOB abBA 留意：留意：（1起点必须相同。（起点必须相同。（2指向被减向量的终点。指向被减向量的终点。ba一般地一般地abBabbAO（三角形法则）（三角形法则）a练习：练习：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (5)OA OB DB CA ACADBA 已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ， 。ab例例3, , ,a b c d cd abcd OBACDabd c作法：作

13、法：在平面内任取一点在平面内任取一点O，,OA a ,OB b ,OC c ,OD d 那那么么BAab DCcd 作作留意：留意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。a b c d 练习：练习：ab已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。ab,a b （1）（2）ab（3）（4）abbaa b a b a b a b 例例4在在 ABCD 中，中，,ABa ,ADb你能用你能用 表示表示 吗？吗？,AC DB DBACabACa b DBa b ,ab变式一变式一 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时， 与与 互相垂直？互相垂直？

14、 ,abababab变式二变式二 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时， ,ab?ababab与 互相垂直巩固练习：巩固练习：1 1、在、在 中，中， ， ，那么，那么ABCBCa CAb AB a b bc ab2 2、如图，用、如图，用 表示下列向量：表示下列向量：a b c ，DBACEabcg fd e(1) e g (2) f d (3) d g ab c BACabaaaABCOaaaa3BCABOAOC记记作作aaaaMNQMPQPN3记记作作)()()(a-a-a-aPQMNaaaa333的的方方向向相相同同与与aaaa333的方向相反的方向相反与与义吗？义吗？

15、你能说明它们的几何意你能说明它们的几何意和和作出作出已知非零向量已知非零向量),()()(,aaaaaaa学习：向量数乘运算,aa 实实数数 与与向向量量 的的积积是是一一个个确确定定的的向向量量，记记为为1;aa 其其方方向向和和长长度度规规定定如如下下：（ ）20,0,00.aaaaa（ ） 当当与与 的的方方向向相相同同；当当的的方方向向与与 的的方方向向相相反反；当当，三、向量数乘运算及其几何意义a)2(3a)2(3aa6=abbaba22 a2b2baba22)(2向量的数乘运算的定义.)(;)(.000021aaaaaaaaa 时时，当当的的方方向向相相反反；的的方方向向与与时时，

16、当当的的方方向向相相同同；的的方方向向与与时时，当当如如下下：，它它的的长长度度和和方方向向规规定定记记作作运运算算叫叫向向量量的的数数乘乘的的积积是是一一个个向向量量，这这种种与与向向量量实实数数你能说出向量数乘运算的几何意义吗？.)()(的的方方向向量量的的符符号号表表示示是是否否改改变变向向伸伸长长或或缩缩短短；的的长长度度可可视视为为将将向向量量几几何何意意义义：aaa 21数乘向量的几何意义就是把向量数乘向量的几何意义就是把向量 沿沿 的方向或反的方向或反方向放大或缩短方向放大或缩短. .假设假设 , ,当当 沿沿 的方的方向放大了向放大了 倍倍. .当当 沿沿 的方向缩短了的方向缩

17、短了 倍倍. .当当 , ,沿沿 的反方向放大了的反方向放大了 倍倍. .当当 沿沿 的反方向缩短了的反方向缩短了 倍倍. .由其几何意义可以看出由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题用数乘向量能解决几何中的相似问题. .0a 时，1时，10时1a时，01aaaaa a)() ;()1(2)(3);().aaaaaabab ，是是 实实 数数 ，） （aaabab 特别地:（）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算例例1：计算下列各式：计算下列各式a4)3)(1 (ababa)(2)(3)2(a12b5)23 ()32)(3 (cba

18、cbacba25 )()()(4(2121bcttbcttctbt2122例例4:4:假设假设其中其中 , , 是已知向量是已知向量, ,求求 ，分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得aanm23bnm3bam112113解：记 ， bnm3933得 ,113111ban-得abybax5152,5152anm23bnm3bmn.)()( ;)(;,)(,)(,)()()(_.)(,)()()(._,.aaaanmanamanmbabmambambabababaaababaabbaaaaaba 765403002001203252525211则则，若若和和向向量量对对于于实实数数；则则，若若和和向向量量对对于于实实数数同同向向；与与则则满满足足若若非非零零向向量量；，则则若若；，则则若若下下列列说说法法正正确确的的个个数数是是不不共共线线；与与不不共共线线，则则若若）是是一一对对相相反反向向量量；（与与；的的模模的的的的模模是是的的方方向向相相反反，且且的的方方向向与与下下列列说说法法正正确确的的有有是是两两个个非非零零向向量量已已知知概