实数完备性的等价命题及证明

1、、问题提出确界存在定理（定理1.1）揭示了实数的连续性和实数的完备性与之等价的 还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6 .定理1.2 （单调有界定理）任何单调有界数列必定收敛.定理1.3 （区间套定理）设为一区间套:lim 血-巧）=0则存在唯一一点矗以72,.定理1.4 （有限覆盖定理）设1 '： 1是闭区间"-的一个无限开覆盖，即"中每一点都含于中至少一个开区间- 内.则在中必存在有 限个开区间，它们构成 "I的一个有限开覆盖.定理1.5 （聚点定理）直线上的任一有界无限点集 打至少有一个聚点丿，即在 的任意小邻域内都含有打中无限多个点（本身

2、可以属于打，也可以不属于'）.定理1.6 （柯西准则）数列 5丨收敛的充要条件是：，：''",只要乩锲皿 恒有后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条 件的数列又称为柯西列，或基本列.）这些定理构成极限理论的基础.我们不仅要正确理解这六大定理的含义， 更重 要的还要学会怎样用它们去证明别的命题.下面通过证明它们之间的等价性，使 大家熟悉使用这些理论工具.下图中有三种不同的箭头，其含义如下：（1）基本要求类阅读参考类（8）（10）习题作业类F面来完成（1） 的证明.、等价命题证明S J有上界翌 3 sup (a - alim 陽=2V0F 3aNa 一占&

3、#39;递增>a-（1）（用确界定理证明单调有界定理）（2）（用单调有界定理证明区间套定理）（用区间套定理证明确界原理）*（用区间套定理证明有限覆盖定理）*（用有限覆盖定理证明聚点定理）*（用聚点定理证明柯西准则）*（用柯西准则证明单调有界定理）（1）（用确界定理证明单调有界定理）证毕（2）（用单调有界定理证明区间套定理）设区间套（返回）备虬比递增，有上界=> 31im单）打递减*有下界（7l31im=占三把% ,耳G T 2）如） + % Hm &.）-0耳一>9若另有使 "”丄恳一八，则因|严爪® P” TOToo ）=严旷（扌唯一）.证毕推论

4、设比A 为一区间套，伍弧& ,璋-1,2 ,.则V Q 0二?/在N,当-"时，恒有丑厶匚“占歸用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论.（返回）（3）（用区间套定理证明确界原理）证明思想：构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界.设&老0,有上界M .取即£罠令口1"1 和肱;四2鸟门，再令若巾是S的上界,|cl,若门不是S的上界；如此无限进行下去，得一区间套一-一.«k«hoi hn=T）y 空可证：因7恒为一的上界，且-，故 -，必有=> X < Tlitn a =松这说明是二的上界；又因厂二八

5、9;，故7 = -'f 二，而宀都不 是的上界，因此1 更不是的上界所以'成立.证毕（返回）*（4）（用区间套定理证明有限覆盖定理） 设打为闭区间丁的一个无限开覆 盖反证法假设：“3】不能用円中有限个开区间来覆盖”.对采用逐次二等分法构造区间套二的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半.由区间套定理，_-亠5I宀导出矛盾' - 一 使"-丨记： - '由推论，当足够大时，冷，俎匚卩（出貞）匸农）这表示lZ-用打中一个开区间就能覆盖，与其选择法则相违背.所以亠' 必能用中有限个开区间来覆盖证毕说明当“' 改为-_ :时，或者&

6、#39;不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论 不一定成立（返回）*（5）（用有限覆盖定理证明聚点定理）设 为实轴上的有界无限点集，并设Su-匹M 由反证法假设来构造1的一个无限开覆盖：若二有聚点广，则沁屋 2现反设八中任一点都不是-的聚点，即 x>a在叭心熄）内至多只有心.这样，卫=“（戌）1"卜城M就是丨 1丨的一个无限开覆盖.'，：用有限覆盖定理导出矛盾：据定理 9,存在歹巩辱心）卩123上乩"为丨I的一个有限开覆盖（同时也覆盖了 .由假设，内至多只有-'所属个邻域内至多只有 属于打（即只覆盖了中有限个点）.这与-覆盖了全部打中无限多个点相矛盾.所以，

7、有界无限点集-必定至少有一个聚点.证毕推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列.即若 5丨为有界数列，则 w .使有子列、的极限/称为原数列 5I的一个极限点，或称 聚点.（返回）*（6）（用聚点定理证明柯西准则）柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得，这里只证其充分性.已知条件：二7上?J二-： 当 m 时匕 6.欲证 5丨收敛.首先证化丨有界对于-当二匸：打时，有|叫|一|呦| £ |划-叫卜1=>|叫卜|呵| + 1令mp返血|辰，则有Is IM上=1N，：.由致密性定理，'存在收敛子列-，设二'.最后证二，一由条件，=工i叮-当:;cm时，有于是当&

8、#39;'（同时有.7'）时，就有证毕<-+2 2（返回）*（7）（用柯西准则证明单调有界原理）设匚为一递增且有上界M的数列用反证法（借助柯西准则）可以证明：倘若匚 无极限，则可找到一个子列 以为广义极限，从而与匚 有上界相矛盾现在来构造这样的对于单调数列,柯西条件可改述为：“当 二二 时, 满足S-sZ ” 这是因为它同时保证了对一切 Z2N，恒有I耳亠|兰S厂力丨X.倘若匚 不收敛，由上述柯西条件的否定陈述： 1，对一切 ,m IN ,使依次取AT1 -1, 3«j > M,使 -叭 2 ®* 3 n2 > N2f 使务2 仙1 V 4 V V V加m力恥，使-皿仏1 2切.把它们相加，得到M &yk>L$故当时，可使''"',矛盾所以单调有界数列匚必定有极限.证毕在以上六个等价命题中，最便于推广至1八中点集的，当属聚点定理与有限覆 盖定理为加深对聚点概念的认识，下例所讨论的问题是很有意义的.例证明“是点集二的聚点”的以下三个定义互相等价：'内含有中无限多个点(原始定义)；(ii) ' '在 U： 口内含有二中至少一个点;(iii) 日忑m 匸心代羊世时忑*工為使耳 '证：(i) (ii) 显然成立.(i) = (i