极坐标的几种常见题型有答案

1、极坐标的几种常见题型x轴正半轴重合，长度单位相同、极坐标方程与直角坐标方程的互化 互化条件：极点与原点重合，极轴与互化公式:X = Pcos 日丿或y = Psi n 日j '-'2 = X y2tanJ(xi)B的象限由点(x,y)所在的象限确定例1(2007海南宁夏)O 01和O O2的极坐标方程分别为- 4COSV ,(I) 把O Oi和o O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II) 求经过O Oi,O O2交点的直线的直角坐标方程.解：以极点为原点，极轴为 X轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.(I) x 二cos v , y =sin v，由二

2、4cost 得2 = 4 cost .所以 x2y2 = 4x .即x2亠y2 - 4x = 0为O O1的直角坐标方程.同理x2亠y2亠4y = 0为O 02的直角坐标方程.(II)解法:由y2y2-4x = 04y = 0解得；xiy =°x2 = 22= 2即O Oi,O O2交于点(0,0)和(2, 2).过交点的直线的直角坐标方程为y= x.解法二：由丿y= x.x2 y2 -4x = 0 “22，两式相减得一4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为x2 y 4y = 0评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法例3(佃98

3、年上海)以直角坐标系的原点 O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若椭圆两焦点的极坐 二 3 :标分别是(1/ ),(1,)，长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是2 2解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为、一、 x2 y2故所求椭圆的直角坐标方程为=134类题:1(1995年上海)把直角坐标系的原点作为极点12 2 2(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b =a -c =3,x轴的正半轴作为极轴，并且在两种坐标系中取相同的长度单位若曲线的极坐标方程是2 2(答案:3x -y =1)2(1998年全国)曲线的极坐标方程2 2(A) x +(y+2) =42 2(C)(x-2) +y

4、=44 cos2 丁 -1,则它的直角坐标方程是=4sinv化成直角坐标方程为(B)(D)3(2002北京)已知某曲线的参数方程是2 2x +(y-2) =42 2(x+2) +y =4x= sec 苗m (申为参数)若以原点为极点,x轴的正半轴为极轴，长度单y = tan®(答案:B)位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是(A) ：(B) COS2 J -1(C) ?2sin2)-1 (D) '2cos2)- 1(答案:D)二、已知曲线的极坐标方程，判断曲线类型常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性：1、直线的极坐标方程(a>0)(1)过极点，并且与

5、极轴成a角的直线的极坐标方程：二=a; 垂直于极轴和极点间的距离为a的直线的极坐标方程：'cos71 =a;(3)平行于极轴和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程：'sin*a;不过极点和极轴成口角,到极点距离为a的直线的极坐标方程：°sin( -a )=a.2、圆的极坐标方程(a>0)（1）圆心在极点，半径为a的圆的极坐标方程：=a;圆心在（a,0）,半径为a的圆的极坐标方程：=2acosv;圆心在（a,二）,半径为a的圆的极坐标方程：= _2acosr ;圆心在（a/ ）,半径为a的圆的极坐标方程：=2asinv；23（5）圆心在（a,）,半径为a的圆的极坐标

6、方程：= -2asinv ;2（6）圆心在（a, y 0）,半径为a的圆的极坐标方程：t =2acos（v - v 0）.3、极坐标系中的旋转不变性： 曲线f（ t ,二+）=0是将曲线f（ T ）=0绕极点旋转p |角（:-0时按顺 时针方向旋转，二0时，按逆时针方向旋转）而得到.2 A例4（1990年全国）极坐标方程4 r sin2二=5所表示的曲线是2（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支 （D）抛物线解：由已知极坐标方程及三角公式得：2 r （1-cos二）=5, 2 22 "os "5,由互化公式得2. x2 y2 =2x+5,平方整理得y2=5（x+ -）,方程表

7、示抛物线 选D.4评述:对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的，一般将其等价转化为直角坐标方程来判断其曲线类型.类题:1（1991年三南）极坐标方程4sin2二=3表示的曲线是（A）二条射线（B）二条相交直线（C）圆 （D）抛物线（答案:B）2（1987年全国）极坐标方程 =sin v +2cos v所表示的曲线是（A）直线（B）圆（C）双曲线（D）抛物线（答案:B）3（2001年广东、河南）极坐标方程 ，2cos2二=1所表示的曲线是（A）两条相交直线 （B）圆（C）椭圆 （D）双曲线（答案:D）4（2003北京）极坐标方程 ，2 COS2'2COSV - 1表示的曲线是（

8、A）圆 （B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线（答案:D）例5（佃94年全国）极坐标方程 =cos- r ）所表示的曲线是4（A）双曲线（B）椭圆（C）抛物线 （D）圆3TT解:曲线=cos（ ）=cos（二-）是把圆=cos二绕极点按逆时针方向旋4 4兀转一而得,曲线的形状仍然是一个圆，故选D4评述：把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程较为麻烦，利用旋转不变性则更容易得出答案.方程T cos（r-| a | a |二o）=0表示一条直线，方程T=acos（r"o）表示半径为，圆心为（ 门°）的圆，要注意两者的区别2 2例6（2001年全国）极坐标方程= =2sin（二+）的图形

9、是4x(B)(C)JiJiit解:圆：=2s in （"）是把圆t=2s in绕极点按顺时针方向旋转一而得，圆心的极坐标为（1,）,故选C.4441类题：1（2002江苏）极坐标方程'二COS与COST =丄的图形是22(2004北京春)在极坐标系中，圆心在(.2,二)且过极点的圆的方程为(A)=2 .2 cost (B)- _2.,2cosn (C) 2.2 si nr (D)- 一2、. 2si nr(答案:B)三、判断曲线位置关系例7(2000年京皖春)直线二=和直线? sin(二八)=1的位置关系(A)垂直(B)平行(C)相交但不垂直(D) 重合解:直线sin(r-:

10、)=1是把直线sin r =1绕极点按逆时针方向旋转_：:角而得，从而两直线平行，故选B.评注 対直线Psin(0-a)=1与直线Psin日=1的关系要十分熟悉.四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例8(2002北京春)在极坐标系中，如果一个圆的方程是】=4cosT+6sin乙那么过圆心且与极轴平行的直线方程是(A) 4n3(B) :-Sinr = £(C) ；Cosr =2(D)=解:将圆的极坐标方程化为直角坐标方程得：x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3) 2=13.圆心为(2,3),所求直线方程为y=3,即；-sin于3，故选A.评述:注意直线的直角坐标方程极易求出类

11、题:1(1992年上海)在极坐标方程中，与圆=4sin二相切的一条直线的方程是(A)"si n=2 (B)，cosd=2 (C)'cosd = 4 (D) ，cosd=- 4(答案:B)Jl2(1993年上海)在极坐标方程中，过点 M(2, )且平行于极轴的直线的极坐标方程是2(答案：?sin=2)3(1994年上海)已知点P的极坐标为(1,二),那么过点P且垂直于极轴的 直线的极坐标方程为1 1(A) ?=1(B) r=cosr (C) '=(Dp"=(答案:C)COS廿cos廿4(2000年全国)以极坐标系中点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是(A)

12、 =2cos(r-) (B)=2sin( " ) (C)=2cos(二-1) (D) ' =2sin( -1)44(答案:C)五、求曲线中点的极坐标JC例9(2003上海)在极坐标系中，定点A(1/ ),点B在直线Tcosr ?sinv - 0上运动，当线段 AB最2短时，点B的极坐标是一 1 1解:在直角坐标系中,A点坐标为(0,1),B在直线x+y=0上,AB最短,则B为(，),化为极坐标为2 3：2 2(T.例10(佃99年上海)极坐标方程5 '2cos2T + '2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为2 2解:由 52cos2 二 +2-24=0 得

13、52(cos2"sinl)+2-24=0 化为直角坐标方程得 -1，该双_一_4 _6曲线的焦点的直角坐标为(-.10 ,0)与(-.10 ,0),故所求焦点的极坐标为c.10,0)、(J0,二).评述:本题考查圆锥曲线极坐标方程的基础知识，掌握点的直角坐标与极坐标的对应关系极为有用例11(2001年京皖蒙春)极坐标系中，圆=4cos+3sin v的圆心的坐标是5 34354(A) ( ,arcsin ) (B)(5,arcsin ) (C)(5,arcsin )(D)( ,arcsin )2555254 33解:由 P = 4cos n+3sin =5( cos J + sin v

14、 )=5cos( v - © )其 中 sin © =)5 55一 53所以所求圆心坐标为(一,arcsin )，故选A.25.（极角用反三类题：（2002上海）若A、B两点的极坐标为 A（4/ ）,B（6,0）,则AB中点的极坐标是3角函数值表示）.3答案.（19, arctan ）4六、求距离例12（2007广东文）在极坐标系中，直线 的方程为 p sin 0 =3则点（2/ ）到直线的距离为6解：将直线（的极坐标方程p sin 0化为直角坐标系方程得:y=3, 点（2,）在直角坐标系中为（-.3,1）,故点（2/ ）到直线的距离为2.6 6评注：本题主要考查极坐标系与

15、直角坐标系之间的互化i' =cos v和i - =sin v的两个圆的圆心距是<2（D）云、2(C)1例13（佃92年全国、1996年上海）极坐标方程分别是(A)21 1 7T解法一：两圆的圆心坐标分别为（一 ,0）与（一，一）,由此求得圆心距为一二,选D.2 2 221 111J2解法二：将极坐标方程化成直角坐标方程得（X-）2+y2=与x2+（y-）2=，由此求得圆心距为，选D.2 424-评述:本题考查对极坐标的理解，理解深刻者可在极坐标系上画出简图直接求解，一般理解者，化极坐标方程为直角坐标方程也能顺利得到正确答案<'2例14（佃97年全国）已知直线的极坐标

16、方程为? sin严+）=，则极点到该直线的距离是42解法一：化直线方程为，根据极坐标的概念极点到该直线的距离等于这个函数= 2si n（ ）4'取最小值一2即为所求2解法二：对极坐标欠熟悉时，可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程x+y=1,2 .类题:1（2000年上海）在极坐标系中 若过点（3,0）且与极轴垂直的直线交曲线= 4cosv于|AB|=.（答案:2 虫）2（2004上海）在极坐标系中，点M（4, § ）到直线：'（2COST - sin旳=4的距离小 兀当 sin( 丁+)=1 时,4应用点到直线的距离公式得原点到此直线的距离为P的最小值，A、B两点，则d=七、判定曲线的对称性例15(1999年全国)在极坐标系中，曲线t = 4sin(一')关于3(A) 直线二=轴对称 (B)直线二=二-轴对称36(C)点(2, §)中心对称(D)极点中心对称，关键是求出其圆心的坐标B(5,)，则 OAB的面积是6解:把圆"=4si nr绕极点按逆时