微分几何曲线论三维空间曲线从参数表示到求出特征从特征求.

1、微分几何曲线论三维空间曲线从参数表示到求出特征从特征求出原曲线曲线方程案例说明一点附近全程轨迹总结退出切向量a (s)=次法向量Y (S)挠率p (s)法向量3 (s)曲率k (s)Sa=!Sb=s给定s =, 运行。» k (s)sp (s)说明 s(t)=a (s) = d r/ dsd a (s)/ds= k (s)3 (s)3 (s) =1/ k (s) * d a (s)/dsk (s) = | d a (s)/ds |Y (s) = a (s) X 3 (s)d 3 (s)/ds= k a + p yp (s) = |d y (s)/ds | d y (s)/ds =p

2、丫输出密切平法平面从法平面s =K (s)=s =_ 时，曲线X (s)在三个坐标平面 上的投影。微分几何曲线论三维空间曲线从参数表示到求出特征从特征求出原曲线曲线方程案例说明一点附近全程轨迹总结退出任意参数t,先绘曲求弧长sJ(t) =( x (t),-)Tb=x (t)=y (t)=z (t)=改离起点弧长s为参数 .r (s)=( x (s),-)x (s)=y (s)=说明：1 任意参数t ,绘曲线。曲线方程可以取自题库，或自由输入。起点或终点可以自动调整。2 改变为离起点的弧长s为参数，方程相应变换为新的方程。起点或终点s参数也可以自动调整。3 活动标架应以弧长s为参数。可先给定固定

3、的某s,用按键来逐步求出并显示标架：三个坐标向量，三个坐标平面与两个特征函数。s, k (s) , p (s)显示于输出栏。k (s) , p (s)的图形也相应显示于相应窗口。按键可以弹出窗口，显示公式与评注。4 让s从起点到终点，动起来。5把k (s) , p (s)加进第二屏的题库中，备生成图形后与之对比。微分几何曲线论三维空间曲线从参数表示到求出特征从特征求出原曲线特征案例题库说明看方程组全程轨迹积分总结退出01 1可显示参数的变动1 s可从题库上选岀，也可以自由输入解十二个变量的十二 个方程组的初值问题：a 1 =d x1/dsa 2 =d x2/dsa 3 =d x3/dsd a

4、1/ds= k d 3 1/ds d a 2/ds= k d 3 2/ds d a 3/ds= k d 3 3/ds d 3 1/ds= k d a 1/ds+- d 3 2/ds= k d a 2/ds+- d 3 3/ds= k d a 3/ds+- d 丫 1 /ds = py 1 d y 2/ds = py 2 d y 3/ds = py 3说明：给定曲线的曲率、挠率函数，画出随s的变化,满足条件的曲线。他首先还要满足下列远动公式：a (s) = d r /dsd a (s)/ds = k (s)3 (s)d 色(s)/ds = k d a(s)/ds+ p dY(s)/dsd y y

5、 (s)/ds = p y结论：任何正交坐标系下， 曲率、挠率特征相同， 曲线形状就一样。曲率、挠率函数确是曲线 形状的特征。相当于解十二个变量 的十二个方程组的初值问题。微分几何曲线论二维平面曲线从参数表示到求出特征从特征求出原曲线应用曲线方程案例说明 一点附近全程轨迹总结退出任意参数t,先绘曲线。r(t) =( x ( t ), y ( t )x (t ) = y (t ) = 改离起点弧长s为参数r (s)=( x (s), y (s)x (s)=y (s)=输出s =K (S)=微分几何曲线论用曲线特征案例二维平面曲线从参数表示到求出特征从特征求出原曲线应说明看方程组全程轨迹积分总结退

6、出K (S)=原点（0, 0） 初始正交标架1, 0,0, 1 ,可以自由改变解六个变量的六 个方程组的初值问题：a 1 =d x1/dsa 2 =d x2/dsd a 1/ds= k d 3 1/ds d a 2/ds= k d 3 2/dsd 3 1/ds=- k da 1/d d 3 2/ds= k d a 2/ds说明： 给定平面曲线的曲率函数， 画出随s的变化，满 足条件的曲线。他首先还要满足下列远动公式：佛耐特公式a (s)= d r /dsd a (s)/ds = k (s)3 (s)d 3 (s)/ds = - k d a (s)/ds相当于解六个变量 的六个方程组的初值问题。

7、结论：任何正交坐标系 下，曲率特征相同， 曲线形状就一样。曲 率函数确是确定曲 线形状的特征量。文字描述与程序要求微分几何知识结构网络曲线论参量向量表示，即与坐标系，又与参数有关。换参数与坐标系则换表达式。条件约束：正则。即三阶以上连续可微。活动标架运动公式论。本质特征：与坐标系，又与参数无关。三维空间曲线存在唯一定理，决定曲线形状。参量 r(t) = x (t), y(t), z (t) , to W t < T活动标架:本质特征:换参数程序： 换坐标系程序: 切向量a(s) 法向量旦(s) 从法向量Y(S)s (t) = /1 r (t ) | dt, t = s (t )a (s)

8、 = r (t) / | r (t)|弧长参数则自动归一。 B (s)_=a_(s) /la (s)| 向量微商，一定正交。 工(s) =a(s) X B(s) 画曲线及其活动标架。a(s) B(s)张成密切平面。B (s) y(s)张成主法平面。y(s) a(s)张成从法平面。要画曲线在三个坐标平面上的投 影。k (s) = |a (s)|曲率，未必单位长P (s) =|工 (s)| 挠率，存在唯一定理，决定曲线形状要画曲线的特征曲线运动公式：局部关系d_r_/ds = a (s)d a(s)/ds = k (s)(s)dB(s)/ds = k da(s)/ds + p d y(s)/dsd工(s)/ds = - p (s)(s)解方程组的数值计算程序。给初始标架，解十二个变量的十二个方程组的初值问题。对比形状。结.维平面曲线参量 r (t) = x (t),y(t), z (t)=0 , to w t w T活动标架：a (s)B(s)本质特征：k (s) = |a_ (s)|曲率，运动公式：局部关系a (s) = d_r_/dsd a(s)/ds = k (s)(s)d B(s)/ds = - k da (s)/