18组缆绳长度模型

1、索道缆绳总长度的估算摘 要现如今，各大旅游景点为了方便游客，并且从中获得更大的利润，越来越多的旅游景点从山脚到山顶修建了缆车索道。有些采用循环单线式修建，缆绳悬挂在上站到下站之间的铁塔上。为了方便索道工程的建设，需要对缆绳的总长度进行估算。为了解决这个问题，我们建立了一个微积分的数学模型。这个模型是建立在相邻两个铁塔之间的缆绳上。考虑到安全问题，应该把缆绳设计成有一定的张力，根据每段缆绳是自由下垂的，因此，我们可以把相邻两个铁塔间的缆绳近似的看作是一个抛物线，以每段缆绳的最低点为原点建立一个直角坐标系，则抛物线的函数表达式为：，根据曲线积公式可以求出每段缆绳的长度并进行求和得出缆绳的总长度大致

2、为1537.8米。关键字：缆绳 抛物线 曲线积分 微积分数学模型1问题重述某旅游景点从山脚到山顶有一缆车索道，全长约1471m，高差为380m，采用循环单线式修建。缆绳悬挂在下站到上站的行程中的8个铁塔上，这8个铁塔依山势走向而距离不等，从下站到第一铁塔的水平距离为,高差为;从第一铁塔到第二铁塔的水平距离为,高度为，从第八个铁塔到上站的水平距离为，高差为，具体数据如表1.1所示。表1.1220200140120100120140200220504540383438404550本文需解决的问题 ：每一段缆绳下垂的最低点不低于两端铁塔最低塔顶悬绳处1米，估算整个索道工程所用的缆绳总长度。2模型假设

3、与符号说明2.1模型假设假设1：题目所给的数据是合理、正确的假设2：每段缆绳下垂是符合抛物线模型假设3：每段缆绳在各个塔顶上是没有缠绕的假设4：每段缆绳下垂的最低点离两端铁塔最低塔顶悬绳处1米2.2符号说明符号符号说明L缆绳总长度第i段缆绳长度；其中i=0，1，8第i到第i+1座铁塔的水平距离；其中i=0，1，8符号符号说明第i个抛物线；其中，i=0，1，8第i到第i+1座铁塔的高度差；其中i=0，1，8=1第i个抛物线方程的系数；其中i=0，1，8第i个铁塔到缆绳最低点的水平距离；其中i=0，1，83.问题分析此题研究的是缆绳长度的数学建模问题，而给出的数据是有九组不同塔之间的水平距离和高差

4、，那么缆绳的总长度可以分解成九段缆绳，并进行求和得到。题目提到每一段缆绳下垂的最低点不低于两端铁塔最低塔顶的悬绳处1米，为了方便解决这个问题，可以把缆绳下垂的最低点到两端铁塔最低塔顶的悬绳处视为1米。由于相邻两铁塔之间的缆绳会自由下垂，那么每段缆绳就可以当做抛物线来解决。如草图3.1所示，从而简化计算，估算出缆绳总长度。 图3.14.数据分析相邻两塔之间的水平距离和高度差的详细数据如表4.1所示。表4.1220200140120100120140200220504540383438404550根据以上数据可知，=，=；=，=；=，=；=，=，当中有4组数据相同，在计算过程中，只需求出表4.1中

5、前五组数据的结果。各组数据类比于抛物线上的点，再根据每组数据描绘出图4.2。图4.2由于各组数据差别不大，导致的曲线图形都可以近似看作是图4.2缆车的轨道模型图如图4.3所示：图4.35.模型建立与模型求解为了求出缆绳的总长度，把缆绳分成9段相同的抛物线模型。首先，根据题目所给的数据，可以求出每段缆绳的曲线方程：，其中i=0,1,，8其次，通过曲线积分求出每段缆绳的长度： ，其中i=0,1,，8 最后，对每段缆绳进行求和，得出缆绳的总长度L：5.1 计算每一段抛物线方程的系数和铁塔到缆绳最低点的水平距离将表4.1的数据代入表达式（1）结果如表5.1所示。表5.1i0123456782725.7

6、18.916.514.516.518.925.727-35.8-34.6-25.9-22.9-20.3-22.9-25.9-34.6-35.80.00140.00150.00280.00360.00480.00360.00280.00150.00140.00080.00080.00150.00190.00240.00190.00150.00080.0007通过该表数据可以发现出现负值，考虑到实际情况，不可能为负值，因此，为负值的解都要舍去。最终的结果如表5.2所示。表5.2i0123456782725.718.916.514.516.518.925.7270.00140.00150.00280

7、.00360.00480.00360.00280.00150.00145.2 计算出每段缆绳的长度将表5.2的数据代入表达式（2）中，结果如表5.3所示：表5.3i012345678（m）229.05207.70148.76128.95108.85128.95148.76207.70229.055.3 计算出缆绳的总长：将表5.3的数据代入表达式（3）中，解得：L=1537.80m6.模型的检验及评价6.1模型检验旅游景点的索道总长度为1471m，因此，缆绳的总长度必须大于索道总长度。由于我们求得的缆绳总长L为1537.80m大于1471m，所以，我们建立的数学模型是合理的。6.2模型评价优点

8、：（1）构造的抛物线模型，简单，明了，并且直观；（2）该模型的建立有助于我们对缆绳的计算，使计算于复杂变得简单；（3）在数据的分析上，我们采用最精确的计算方法，以此来减小误差；缺点：由于数据给的不是很充足，假设的太理想了，又由于计算机计算有一定的误差，以致得到模型结果不是很让人满意。附录在MATLAB中的程序：第一段：求系数、及>> a,x=solve('a*x2=1','a*(220-x)2=51');%通过舍去负值的x,求出=0.0014，=27>> syms x;>> y=0.0014*x2;>> s=dif

9、f(y);>> l=int(sqrt(1+s2),x,-27,193) %求出=229.05第二段：求系数、及>> a,x=solve('a*x2=1','a*(200-x)2=46');%通过舍去负值的x,求出=0.0015， =25.7>> syms x;>> y=0.0015*x2;>> s=diff(y);>> l=int(sqrt(1+s2),x,-25.7,174.3) %求出=207.7第三段：求系数、及>> a,x=solve('a*x2=1',&

10、#39;a*(140-x)2=41');%通过舍去负值的x,求出=0.0028，=18.9>> syms x;>> y=0.0028*x2;>> s=diff(y);>> l=int(sqrt(1+s2),x,-18.9,121.1) %求出=148.76第四段：求系数、及>> a,x=solve('a*x2=1','a*(120-x)2=39');%通过舍去负值的x,求出=0.0036，=16.5>> syms x;>> y=0.0036*x2;>> s=d

11、iff(y);>> l=int(sqrt(1+s2),x,-16.5,103.5) %求出=128.95第五段：求系数、及>> a,x=solve('a*x2=1','a*(100-x)2=35');%通过舍去负值的x,求出=0.0048，=14.5>> syms x;>> y=0.0048*x2;>> s=diff(y);>> l=int(sqrt(1+s2),x,-14.5,85.5) %求出=108.85第六段与第四的数据相同，因此程序和结果都相同，即=0.0036，=16.5，=12

12、8.95。第七段与第三段数据相同，因此程序和结果都相同，即=0.0028， =18.9，=148.76。第八段与第二段数据相同，因此程序和结果都相同，即=0.0015，= =25.7， =207.7。第九段与第一段数据相同，因此程序和结果都相同，即=0.0014，=27， =229.05。的函数图形在MATLAB中代码：syms x;x=-50:250;y=0.0015*x2;plot(x,y)缆车轨道模型在MATLAB中的代码syms x ;x=0:1440;.y=(0.0014.*(x-27).2).*(0<x&x<=220)+.(0.0015.*(x-220-25.7).2+50).*(220<x&x<=420)+.(0.0028.*(x-420-18.9).2+95).*(420<x&x<=560)+.(0.0036.*(x-560-16.5).2+135).*(560<x&x<=680)+.(0.0048.*(x-680-14.5).2+173).*(680<x&x<=780)+.(0.0036.*(x-780-16.5).2+207).*(780<