对角线互相垂直的任意四边形性质的证明和应用_第1页
对角线互相垂直的任意四边形性质的证明和应用_第2页
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文档简介

1、对角线互相垂直的任意四边形性质的证明和应用杨再发性质：对旳线互相垂直的任意四边形性质的面积等丁两条对 角线乘积的一半.如图1：在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，且AC1BD,垂足为P, 则：四边形ABCD的面积二12ACXBD证明：因为AC丄BD,所以 SAACD=12ACXDP, SAACB=12ACXBP.因为四边形ABCD的面积-SAACD+ SAACB.所以四边形 ABCD 的面积二 12ACXDP+ 12AC X BP=12AC ( DP+BP ) 二 12ACXBD.图1图2运用1：如图2,在梯形ABCD中，ADBC, AB=CD, AC、BD 是对角线，且AC丄BD交与P,

2、 AD=3, BC=7,求在梯形ABCD的面积.解：过D作DE/AC交BC的延长线于E,因为AD/7BC,所以四边形ABCD是平行四边形，所以 AD二CE, AC二DE.因为AC丄BD,所以DE丄BD.则 ZBDE=90 因为AB二CD,所以AC二BD.WJABDE是等腰直角三角形. 因为 AD二3, BC二7,所以 BE二 10.根据勾股定理可得：BD二DE二52.所以 AC=BD=52.所以梯形 ABCD 的面积二 12ACX BD二12 X 52 X 52二25.运用2：如图3,在AABC中，BD和CE分别是两条中线，且BD丄CE 于 0, BD二8、CD二 12,求AABC 的面积.解

3、：连结 DE,因为 BD丄CE, BD二8, CD二 12.所以四边形DEBC的面积二12BD X CE二12 X 8 X 12二48.因为BD和CE分别是两条中线，所以 DE=12BC, DE/7BC.所以ZADEACB所以 SAADESAACB= (DEBC) 2= (12) 2=14因为SAADESAABC-四边形DEBC的面积即：SAACB-48SAACB=14解得：SAABC=64.所以AABC的面积为64.图3图4运用3：如图4,在正方形ABCD中，边长为4, E是CD的 中点，G在BC上，F在AD上，且GF丄AE于0,求四边形AGEF的面积.解：因为四边形ABCD是正方形，边长为4, E是CD的中点，所以ZD=90 , DE二12CD二12X4二2,所以 AE二AD2+DE2二42+22二25.过G作GH丄AD于H,因为 GF 丄 AE,所以 GII二AB二CD二AD二BC.所以ZE0F=ZD=ZGHF=90 .所以 ZDAE+ZGFH二90 , ZDAE+ZAED二90 .则ZGFH二ZAED,所以 RtAGHF

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