函数的单调性

1、0 xy2x2y210 xy1 xy1-1yxx1y 02xyyx0问题问题1、 观察下列函数的图象观察下列函数的图象,并指出图象的变化趋势并指出图象的变化趋势:图图1xy图2图象在该区间呈上升趋势图象在该区间呈上升趋势 当当x的值的值增大增大时，函数值时，函数值y也也增大增大图象在该区间呈下降趋图象在该区间呈下降趋势势 当当x的值的值增大增大时，函数值时，函数值y反而反而减小减小问题问题2、你能明确地说出、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或图象呈逐渐上升或下降趋势下降趋势”的意思吗？的意思吗？0 xyab0 xyab在某一区间在某一区间a,b内内,21xx在给定区间上任取21xx )f(x)f

2、(x21Oxy) x( fy如何用如何用x与与 f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？)x( f11x如何用如何用x与与 f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？,21xx在给定区间上任取21xx )f(x)f(x21)x( f1)x ( f2) x ( fyOxy1x2x)x ( f22x 结论结论: : 函数函数f(xf(x) )在给在给定区间上为递增的。定区间上为递增的。 结论：结论： 函数函数f(xf(x) )在在给定区间上为递减的。给定区间上为递减的。那么就说那么就说y= f(x)在在区间区间A上是上是单调增函数单调增函数.：在函数：在函数y=f(x)的定义域内的一个的定义

3、域内的一个区间区间A上，上，如果对于区间如果对于区间A内的内的任意两个数任意两个数121212,)()xxAxxf x当时，都有f(xxyOy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)yf(x1)f(x2)x10 x2xy=f(x)：在函数：在函数y=f(x)的定义域内的一个的定义域内的一个区间区间A上，上，如果对于区间如果对于区间A内的内的任意两个数任意两个数121212,)()xxAxxf x当时，都有f(x那么就说那么就说y= f(x)在在区间区间A上是上是单调减函数单调减函数. 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间A是单调增是单调增函数或单调减函数函数或单调减函数,那么就说函数那么就说

4、函数y=f(x)在区间在区间A上具有上具有. 单调增区间和单调减区间统称单调增区间和单调减区间统称为单调区间为单调区间.单调区间单调区间）上是增函数。，（在区间证明函数 xxf12)( 例例1 1 内任意是区间设),(,x 21x)x2(x) 1x2() 1x2()x( f)x( f2121210 xx ,xx21210)x(f)x(f21)x(f)x(f21即),(1x2)x(f在区间则函数证明：证明：。两个实数，且 x 21x是增函数。 练一练练一练 求求证：函数证：函数 在区间在区间 上上是单调增函数是单调增函数1( )1f xx 0，证明：证明：设 是（-,0 ）上的任意21,xx12

5、121221121111()()(1)(1)xxf xf xxxxxx x 则121 2120,0,( )( )xxxxf xf x 1( )1,0f xx 故在区间上是单调增函数21xx 两个实数，且 单调递增区间：单调递增区间：单调递减区间：单调递减区间：(, 1）), 1xx2x) x( f2y21o的单调性，判断函数例 x2x)x(f 22【练习】： 1、判断函数判断函数f(x)=1/x在在(，0)上上是增函数还是减函数？是增函数还是减函数？【想一想想一想】：】：能否说函数能否说函数f(x)=1/x在在(，+) 上是减函数？上是减函数？答答：不能不能. 因为因为x=0不属于不属于f(x)=1/x的的定义域定义域.减函数减函数 2、判断函数判断函数f(x)=1/x在在(0，+)上上是增函数还是减函数？是增函数还是减函数？减函数减函数用定义证明函数的单调性的步骤用定义证明函数的单调性的步骤:(1). 设设x1x2, 并且是某个区间上任意并且是某个区间上任意两个数两个数;(2). 作差作差 f(x1)f(x2) ;(3). 判断判断 f(x1)f(x2) 的符号的符号（分解