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1、156已知二次函数y=x2(2m+4)x+m24(x为自变量)的图像与y轴的交点在原点下方,与x轴交于A,B两点,点A在点B的左边,且A,B两点到原点的距离AO,OB满足3(OBAO)=2AO·OB,直线y=kx+k与这个二次函数图像的一个交点为P,且锐角POB的正切值4 (1)求m的取值范围; (2)求这个二次函数的解析式; (3)确定直线y=kx+k的解析式【思路点拨】利用抛物线与x轴的交点A,B的位置及与y轴交点的位置和A,B两点到原点的距离可以求出m的值,再利用一元二次方程根与系数的关系可以求解【参考答案】(1)设点A,B的坐标分别为A(x1,0),B(x2,0)(x1<
2、;x2),依题意,方程x2(2m+4)x+m24=0有两个不相等的实数根=(2m+4) 24(m24)>0解得m>2 又函数的图像与y轴的交点在原点下方,m24<0,2<m<2 (2)图像交y轴于负半轴,与x轴交于A,B两点,且x1<x2,x1<0,x2>0由3(OBAO)=2AO·OB可得3x2(x1)=2(x1)·x2,即3(x1+x2)=2x1x2,由于x1,x2是方程x2(2m+4)x+m24=0的两个根,所以x1+x2=2m+4,x1·x2=m243(2m+4)=2(m24),整理,得m2+3m+2=0m=1或m=2(舍去)二次函数的解析式为y=x22x3(3)由y=x22x3,得A(1,0),B(3,0)直线y=kx+k与抛物线相交,由解得 或POB为锐角点P在y轴右侧,点P坐标为(k+3,k2+4k),且k+3>0tanPOB=4,=4如图所示,当点P在x轴上方时 =4解得k1=2,k2=2 经检验,k1=2,k2=2都是方程的解,但k2+3<0 k2=2舍去 直线的解析式为y=2+2 当点P在x轴下方时,=4, 解得k3=2,k4=6 经检验,k3=2,k4=6是方程的解,但
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