第一二节 不定积分概念,性质

1、2022-2-11第一二节第一二节 不定积分的概念不定积分的概念,性性质质,公式,直接积分法直接积分法2022-2-12、 原函数的概念原函数的概念、 不定积分的定义和几何意义不定积分的定义和几何意义 、 基本积分公式基本积分公式目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导、不定积分的性质、不定积分的性质2022-2-13、 原函数的概念一、预备知识一、预备知识1.导基本公式和运算导基本公式和运算2.微分的定义微分的定义dxxfxdf)()( 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-14例例 ，x

2、xcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. 如如果果在在区区间间I内内，定义：定义：可导函数可导函数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那么函数那么函数)(xF就称为就称为)(xf导函数为导函数为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数. . ,cos1sinxx 二、原函数的定义二、原函数的定义 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-15问题：问题：定理定理1（原函数族定理）：（原函数族定理）：如果函数如果函数 )(xf有原函数，那么，它就有无有原函数，那么，它

3、就有无限多个原函数，并且，其中任意两个原函数的差限多个原函数，并且，其中任意两个原函数的差是常数。是常数。(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？Cxxx sin1sinsin、都是都是xcos的原函数的原函数. xCxcossin （C为任意常数）为任意常数）三、原函数族定理和原函数存在定理三、原函数族定理和原函数存在定理目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-16定理定理2（原函数存在理）：（原函数存在理）：简言之：连续函数一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数.问题

4、：问题：任何一个函数是否一定有原函数任何一个函数是否一定有原函数 ？如果函数如果函数)(xf在某一区间上连续，则函数在某一区间上连续，则函数)(xf在该区间上的原函数一定存在。在该区间上的原函数一定存在。)()(xfxF是的的 一个原函数，那么，一个原函数，那么，)()(xfCxF是 的所有原函数即原函数族，的所有原函数即原函数族，其中其中C为任意常数。为任意常数。若若目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-17关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是

5、)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原数，的原数，)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )()(（ 为任意数）为任意数）C目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-18一一.不定积分的定义不定积分的定义不不定定积积分分，记记为为 dxxf)(. .CxFdxxf )()(积分号积分号被积函数被积函数被积表达式被积表达式意任常数意任常数积分变量积分变量定义：如果定义：如果)()(xfxF是的一个原函数，的一个原函数，的所有原函数的所有原函数)(xf那么CxF )(叫做叫做的)(xf、不定积分的定义和几何意义目录目录后

6、退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-19例例1 1用微分法验证下列各式：用微分法验证下列各式：Cxdxx 5451)1(Cxxdx 3cos313sin)2(验证验证)3cos31( Cx4x dxx4Cx 551)1()2(x3sin xdx3sinCx 3cos31)51(5 Cx目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-110二二. .不定积分的几何意义不定积分的几何意义函函数数)(xf的的任任何何一一个个原原函函数数的的图图象象称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线. 函函数数)(

7、xf的的所所有有原原函函数数的的图图象象组组成成)(xf的的积积分分曲曲线线族族 .)(CxFy 对于每一条积分曲线，对于每一条积分曲线，在相同的横坐标处，其斜在相同的横坐标处，其斜率均为率均为。)(xf因此：在每因此：在每一条积分曲线上横坐标相一条积分曲线上横坐标相同的点处的切线彼此平行。同的点处的切线彼此平行。oxy)(xFy 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-111例例2 2 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此

8、曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一个个原原函函数数.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-112解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx, 5)0( y, 6 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costanxxy2022-2-113由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xf

9、dxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF结论结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是“的的.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-114 xx11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论根据积分运算和微分运算的根据积分运算和微分运算的“互逆互逆”关系，因此可以从求导基本公式得出关系，因此可以从求导基本公式得出基本积分公式基本积分公式.)1( 一、预备知识：一、预备知识：由公式由公式得得 x的所有原函数为的

10、所有原函数为.11Cx )1( 即即、基本积分公式目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-115初等函数的求导公式：初等函数的求导公式：xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重

11、点与难点本节复习指导2022-2-116基基本本积积分分表表);1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx说明：说明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx)()( xfxF )( )(xFdxxf Cxdx1)1(二、基本积分公式二、基本积分公式目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-117 xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx

12、dxax)4(;lnCaax dxex)5(;Cex 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-118 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxx211)(13;arctanCx dxx211)(12;arcsinCx 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-119例例3 3 求下列不定积分求下列不定积分.)2(3dxxx 解解dxxx 3)2(dxx 27Cx 127127.9229Cx 根据积分公式根据积分公式Cxdxx 11dx

13、x 3Cx 1313Cx 221目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导dxx31) 1 (dxx31) 1 (2022-2-120、不定积分的性质、不定积分的性质一、一、 不定积分的性质不定积分的性质二、二、 直接积分法直接积分法目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-121 dxxgxf)()()2(;)()( dxxgdxxf（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）一、 不定积分的性质 dxxkf)()1(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0

14、k例例1 1 求积分求积分dxexxx )cos31(2解解dxexxx )cos31(2dxexdxdxxdxx cos32xexxx sin3C 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-122二、 直接积分法一、预备知识一、预备知识1.不定积分基本公式。不定积分基本公式。2.等式恒等变形的一般技巧。其中常用的三等式恒等变形的一般技巧。其中常用的三角公式有：角公式有：xxxx2222sectan1)2(1cossin)1( xxxxxcossintan)4(csccot1)3(22 同角三角函数公式同角三角函数公式目录目录后退后退主主

15、页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-123xxxxxcos1sec)6(sincoscot)5( xxsin1csc)7( 倍角公式倍角公式xxx22sincos2cos 1cos22 xx2sin21 和差化积、积化和差公式等（略）和差化积、积化和差公式等（略）目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-124解解C 将被积函数经过适当的恒等变形，再利用将被积函数经过适当的恒等变形，再利用积分基本公式和基本性质求出结果的方法称为积分基本公式和基本性质求出结果的方法称为直接积分法直接积分法例例2 2

16、 求积分求积分dxxxxx )1cos2(dxxxxx )1cos2( dxxxdxxdx32cos23123sinxxx 二、直接积分法二、直接积分法目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-125例例3 3 求积分求积分.)1(3dxxx dxxx 3)1(解解dxx 3)11(dxxxx )1331(32dxxdxxdxxdx 321113 x xln3 x3221xC 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-126例例4 4 求积分求积分解解dxexx 3C dxexx 3

17、dxex)3( )3ln()3(eex 例例5 5 求积分求积分dxxx 221dxxx 221解解dxxx22111 21xdxdxxxarctan C 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-127例例6 6 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121xtan21 说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.C 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本

18、节复习指导2022-2-128例例7 7 求积分求积分解解.tan2 xdx dxx)1(sec2 dxxdx2sec.tanCxx xdx2tan例例8 8 求积分求积分.2cos2 dxx解解 dxx2cos1 xdxdxcos2121.sin2121Cxx .2cos2 dxx目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-129例例9 9 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节

19、目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-130例4 求积分。dxxx2解dxxx2dxx25Cx125125Cx2772Cxdxx1)2(1根据基本积分公式公式来求不定积分。积分的形式，再用幂函数的只需将其化为时分式或根式表示的，这注：有些被积函数是用 x2022-2-131 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k 例5 求积分解。dxxx)1213(22dxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C 2022-2-132dxxx241例7：求解：原式dxxx24111dxxx)111(22cxxxarctan33和整

20、式与真分式之有理假分式化为2022-2-133例例8 8求求 解解dxxx 22cossin1dxxxxx 2222cossincossindxxx 22cossin1dxxx)cos1sin1(22 Cxx cottan目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-134基本积分表基本积分表 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 不定积分的概念：不定积分的概念： CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系小结目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导不定积分的性质

21、不定积分的性质直接积分法直接积分法2022-2-135目录目录后退后退主主页页退退出出本节的学习目的与要求 本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导理解原函数的概念了解原函数存在定理理解不定积分的概念了解不定积分的几何意义基本积分公式 。掌握基本积分公式；掌握不定积分的性质；熟练运用直接积分法 。2022-2-136目录目录后退后退主主页页退退出出本节的重点与难点本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导重点原函数的概念；理解不定积分的概念；基本积分公式 。 基本积分公式；熟练运用直接积分法解题 。 难点正确理解不定积分的概念 。熟练运用直接积分法解题 2022-2-13

22、7练习题1.判断下列各式是否正确：判断下列各式是否正确：221)1(xxdx Cxdxx 43)2()0(ln1)3( xCxdxxCedxexx 22)4(Cxdxx )arcsin(11)5(2错错错错正确正确错错错错目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-1382.填空题：填空题：cxxdx 3)()1(32121 xcxxdx 2cos)()2(x2sin21 )()()3( dxxexCxex )(arctan2)4( dxxdxdxxxarctan2目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节

23、复习指导2022-2-139习题 Cxdxx 34311)1(1.利用微分法验证下列各等式利用微分法验证下列各等式Cxxdxxx sincos)cos(sin)2(Cexdxexxxx ln5)5()3(Cxadxxax 2222)4(目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-1402.求下列不定积分求下列不定积分dxxxdxxdxedxxxdxxxdxx 224337cossin)6()tan1()5()5()4(1)3()2()1(3 3 证明函数证明函数xxexexeexxxxsinhcoshcoshsinh,212 都是都是和和的

24、原函数的原函数 . . 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-1411.1.略略 2.2.( (1 1) )Cx 88 ( (2 2) )Cx 194419 ( (3 3) )Cx 212 (4)(4)Cex )15(ln)5( (5) (5)C tan (6)(6)Cx sec 3.3.Cxy ln. . 习题答案习题答案目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-142求下列不定积分求下列不定积分dxxx )1sec21(. 12dxxxx )1(. 22dxxx 32)1(. 3C xxxln1212 2125252 xxxxxlntan2 C C 练习题目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022-2-143dxxx