高等数学竞赛讲义第三章多元微分学

1、第三部分 多元函数微分学一、多元函数的概念、极限与连续性内容要点一、多元函数的概念二、二元函数的极限三、二元函数的连续性1二元函数连续的概念2闭区域上连续函数的性质定理1 （有界性定理）设f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D上一定有界 定理2 （最大值最小值定理）设f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D上一定有最大值和最小值maxf(x,y)=M(最大值),(x,y)D(x,y)Dminf(x,y)=m(最小值)定理3 （介值定理）设f(x,y)在闭区域D上连续，M为最大值，m为最小值，若mcM,则存在(x0,y0)D,使得f(x0,y0)=C典型例题一、求二元函数的定义

2、域例1 求函数z=arcsin例2. 求函数z=x+xy的定义域 34-x2-y2+ln(y2-2x+1)的定义域二、有关二元复合函数例1 设f(x+y,x-y)=xy+y,求f(x,y)例2 设z=22y+f(x-1),当y=1时，z=x,求函数f和z解： 由条件可知x=1+f(x-1),x-1=u,则f(u)=x-1=(u+1)2-1=u2+2 f(x)=x2+2x,z=y+x-1三、有关二元函数的极限(1+例1 讨论limxya1)xyx2x+y(a0常数)x2xy(x+y)解：原式=lim(1+xya1xy)xyxy11t 1+令t=xylim(1+)=e 而limx txytyax2

3、11=lim=又lim xxyaxy(x+y)yay(1+)ax原式=e 1ax2y例2 讨论lim 42x0x+yy0解：沿y=lx原式=limx0lx3=0 x4+l2x2 lx4l=沿y=lx,原式=lim4 x0x+l2x41+l22 原式的极限不存在232xy例3 讨论lim 42x0x+yy0解： x+y2xy422( (x2-y)20)32 11042=y2 2x+y2xy2lim0=0 x0y0xy232xy211 而limy2=0;x0y02 用夹逼定理可知 原式=0二、偏导数与全微分内容要点一、偏导数与全微分的概念二、复合函数微分法锁链公式 三、隐函数微分法典型例题例1 设

4、u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定x-zxyx e-xy=2和e=0sintdtt求du dx解 dudydz=fx'+fy'+fz' dxdxdxxy 由e-xy=2两边对x求导,得exyy+xdydy-(y+x)=0 dxdx解出xdyy=-(分子和分母消除公因子(exy-1) dxxx-z 由 e=0sintsin(x-z)dzdt两边对x求导,得ex=(1-) t(x-z)dxdzex(x-z)解出 =1-dxsin(x-z)dufyfex(x-z)f所以 =-+1- dxxxysin(x-z)z例2 设

5、u=f(x,y,z)有连续偏导数，z=z(x,y)由方程xex-yey=zez所确定xy求du z 解一：令F(x,y,z)=xe-ye-ze Fz'=-(z+1)e z得Fx'=(x+1)ex,Fy'=-(y+1)ey, 则用隐函数求导公式得F'x+1x-zz=-x=e;xFz'z+1zy+1y-z=-e yz+1uzx+1x-z=fx'+fz'=fx'+fz'e xxz+1uzy+1y-z=fy'+fz'=fy'-fz'e yyz+1du=uux+1x-zy+1y-zdx+dy=(fx&

6、#39;+fz'e)dx+(fy'-fz'e)dy xyz+1z+1确定z=z(x,y)其中F(u,v),z(x,y) 例3 已知 F(,)=0xyzz均有连续编导数，求证xzz+y=z xy证：F(u,v)=F(,)=G(x,y,z)=0 xyzz1'=Fu',Gxz根据隐函数求导公式 1'G'=F,yvz'=Fu'(-Gzxy')+F(-) vz2z2G''GxzFu'zFv'zzy =-=-=''''''xGzxFu+yFvyGz

7、xFu+yFv则得 xzz+y=z xy 例4 设 z=f(x-y,x+y)+g(x+ky)，f,g具有二姐连续偏导数，且g''不恒为0.，2z2z2z''，求常数k的值（2005） 若2+2+2=4f22xxyy 例5 设二元函数f(x,y)有一阶连续的偏导数，且f(0,1)=f(1,0)。证明：单f(x,y)-xf(x,y)=0。(2002) 位圆周上至少存在两点满足方程yxy 例6 曲面z =x/2+y-2平行平面2 x +2 y -z=0的切平面方程是_2x+2y-z-5=0_.（首届中国大学生数学竞赛2009） 22三、多元函数的极值和最值典型例题一、

8、普通极值、最值例1 求函数z=x+y-x-2xy-y的极值解 4422z=4x3-2x-2y,xz=4y3-2x-2y y要求 zz=0,得x+y=2x3=2y3 xy故知 x=y,由此解得三个驻点 x=0y=0,x=1y=1,x=-1 y=-12z=-2,xy2zB=xy 2z又 =12x2-2,2x在点（1，1）处 2z=12y2-2 2y2zC=2y2zA=2x(1,1)=10,(1,1)=-2,(1,1)=10=AC-B2=96>0又A=10>0,极小值Z(1,1)(1,1)是极小值点=-2 在点（-1，-1）处2zA=2x(-1,-1)=10,2zB=xy(-1,-1)=

9、-2,2zC=2y(-1,-1)=10=AC-B2=96>0A=10>0,极小值Z(-1,-1)(-1,-1)也是极小值点=-2 在点（0，0）处2zA=2x=-2,(0,0)2zB=xy不能判定=-2,(0,0)2zC=2y=-2(0,0) =AC-B2=0这时 取x=,y=-（其中为充分小的正数）则z=2>0 而 取x=y=时4z=24-42<0不是极值点 由此可见（0,0） 例2求函数f(x,y)=4x4+y4-2x2-y2的极值 （2008） 例3 求函数f(x,y)=x2+4y2+15y在=22x,y4x+y1上的()最大、小值。（2004） 例4 求函数x2

10、+yzf(x,y,z)=2在22x+y+zD=222（2007） x,y,z1x+y+z4上的最大、小值。()二、条件极值问题x2y2z2例1 在椭球面2+2+2=1第一卦限上P点处作切平面，使与三个坐标平面所围四面532体的体积最小，求P点坐标。解：设P点坐标(x,y,z)，则椭球面在P点的切平面的法向量为(切平面：2x2y2z,2,2) 2532221x(X-x)+y(Y-y)+z(Z-z)=0 2592221x2y2z2xX+yY+zZ-2(2+2+2)=0 2592532221xX+yY+zZ-2=0 2592x轴截距(Y=0,Z=0)X=25xy轴截距(Z=0,X=0)x轴截距(X=

11、0,Y=0)Y=Z=9 y4所以四面体的体积 zV=12594150= 6xyzxyzx2y2z2，令 约束条件 2+2+2-1=0(x>0,y>0,z>0)用拉格朗日乘子法532150x2y2z2F=F(x,y,z,)=+(2+2+2-1)xyz532Fx'=-1502+x=02xyz251502+y=0xy2z91502+z=02xyz4(1)Fy'=-(2)Fz'=-(3)x2y2z2F'=2+2+2-1=0532(4)用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3） 得-450+2=0 xyz则 2=450xyz(5) 将（5）分别找代入（1），（

12、2），（3）得 x=5,y=3,3z=2 3所以 P点坐标为（532）而最小体积V=3 ,33x2+y2-z2=1例2 求坐标原点到曲线C：的最短距离。2x-y-z=1解：设曲线C上点（x, y, z）到坐标原点的距离为d，令W=d2=x2+y2+z2,约束条件x2+y2-z2-1=0,2x-y-z-1=0用拉格朗日乘子法，令F=F(x,y,z,)=(x2+y2+z2)+(x2+y2-z2-1)+(2x-y-z-1)Fx'=2x+2x+2=0Fy'=2y+2y-=0Fz'=2z-2z-=0F'=x2+y2-z2-1=0F'=2x-y-z-1=0(1)(2

13、)(3) (4)(5)首先，由（1），（2）可见，如果取=-1,则=0，由(3)可知z=0,再由(4),(5)得 x2+y2-1=0,2x-y-1=0解得x=0y=-14x=5 3y=54355 ，由(3)得=0,再由这样得到两个驻点P1(0,-1,0),P2(,0)其次，如果取=12（1）（2）得x=0,y=0这样（4）成为-z=1,是矛盾的，所以这种情形设有驻点。最后，讨论1,-1情形，由（1）（2），（3）可得x=-1+,y=2(1+),z=2(1-)代入(4),(5)消去得32-9+8=0此方程无解，所以这种情形也没有驻点。综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实

14、际问题一定有最短距离，可知最短距离为1。另外， 由于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。例3 已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2.求f(x,y)在椭圆域y22D=(x,y)x+1上的最大值和最小值。 4解法1 由dz=2xdx-2ydy可知z=f(x,y)=x2-y2+C,再由f(1,1)=2,得C=2,故z=f(x,y)=x2-y2+2令ff=2x=0,=-2y=0,解得驻点(0,0). xy2 y2=1上，z=x2-(4-4x2)+2,即 在椭圆x+4z=5x2-2其最大值为zx=±1(-1x1), x=0=3，最小值为z=-2, 再与f(0,0)=2比较，可知f(x,y)在椭圆域D上的最大值为3，最小值为-2。 解法2 同解法1，得驻点(0,0). y2=1