高等几何讲义(第3章)

1、高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )abcdx 1. 透视对应透视对应一线束与一点列间的一一对应，若使束中每一直线过其对应点(等价地，使列中每一点在其对应直线上)，则称此对应为透视对应透视对应，简称透视透视从线束到点列的透视称为截影截影从点列到线束的透视称为投影投影如右图，a，b，c，d，是以 x 为心的线束被以 为底的点列截得的截影而a，b，c，d，是投影高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )abcdx 定理定理1 点列与线束间的透视保持交比不变( ) 1( ) 2( )，( ) 1( ) 2( )从而 ( ) ( ) ( ) 1( ) 2(

2、 ) ( ) 1( ) ( ) 2( ) ( ) 1( ) 2( )，即 ( c ) 1( a ) 2(b )同理 ( d ) 1( a ) 2(b )因此 (ab; cd) 21/12 (; )证明证明：如右图，在线束 x 中取、 为基线，则高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )同类一维基本形间的透视：a/d/ /xabcdb/c/ /x/ / x若两个线束是同一点列的投影，则称这两个线束是透视的透视的若两个点列是同一线束的截影，则称这两个点列是透视的透视的点列的底称为透视轴透视轴线束的心称为透视中心透视中心透视线束的等价定义是它它们的对应直线交点共们的对应直线交点共

3、线线透视点列的等价定义是它它们的对应点连线共点们的对应点连线共点高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )如前面三图中的透视分别记为：写在记号“ ”上方的文字表示透视中心或透视轴记号：用“ ”表示透视, , , a, b, c, ， a, b, c, a/, b/, c/, ，x, , , /, /, /, ，高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )a/d/ /xabcdb/c/ 定理定理2 透视保持交比不变 证明证明：由定理1及对偶原理，只需证二点列情形注意：xa, xb, xc, 可简写为 xa, b, c, 故 (ab; cd) (xa, xb;

4、 xc, xd) (a/b/; c/d/)若a, b, c, d, a/, b/, c/, d/, ，则xa, b, c, d, xa, b, c, d, a/, b/, c/, d/, ，高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )例例1 设 abcd 为平行四边形，过顶点 a 作直线 ae 与对角线 bd 平行证明：直线 ab、ad 与直线 ac、ae 成调和共轭aodcbpe故 (ab, ad; ac, ae) (bd; op) 因平行四边形对角线互相平分，故 (bd; op) 1 所以 (ab, ad; ac, ae) 1 ab, d, c, e b, d, o, p

5、，证明：证明：因 ae 与 bd 平行，故设二者交点为无穷远点 p记(ac)(bd) o则高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )xyzabucdmn例例2 求证：完全四点形的一边上的二顶点，两条对角线与此边的二交点，四点成调和共轭(可作结论使用)故(uz; ab) (yz; mn) 1这表明在边 ab上，a、b与 u、z 成调和共轭 证明证明：如图，由完全四点形的对角线上的调和共轭性质， 有 (yz; mn) 1又以点 x 为中心，有 u, z, a, b y, z, m, n，高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )2. 一维基本形之间的射影对应

6、一维基本形之间的射影对应一维基本形 I 与 II 之间的一一对应 T: III，若保持交比不变，则称为射影对应射影对应关于射影对应的表达式，有定理定理3 两个一维基本形之间的射影对应是非退化的线性变换：证明证明：不妨设两个一维基本形 I 与 II 均为点列在 I 上取定三点 u、v、t，使其在 II 上的对应点依次为 II 的坐标系 / u/, v/; t/ 中的基点和单位点a11 a12 1a21 a22 2 /1/2T: ，det(aij) 0 (3.1) 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )utvxu/v/t/x/III且设 I 上的动点 x 对应 II 上的点

7、 x/，则 (u/v/; t/x/) (uv; tx)设各点射影坐标分别为 u(u1, u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1, 2)、x/(/1, /2)，则得 1011/21/101110/20/11t2u2t1u12v21v12u21u1t2v2t1v1高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )v2t2t2u2t1u1t1v1令 ，则/2/1 u21 u12v21 v12，/2 u21 u12/1v21 v12 ，从而若记 a11 v2，a12 v1，a21 u2，a22 u1，则得所求射影变换式为反之，也可证明(3.1)必为射影对应在 (3.1)

8、中令 1/2，/ /1/2，a a21，b a11，c a22，d a12，则可得a11 a12 1a21 a22 2 /1/2T: ，det(aij) 0 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )推论推论1 采用非齐次坐标，两个一维基本形之间的射影对应式为 a/ b c/ d 0，ad bc 0推论推论2 三对对应元素决定两个一维基本形之间的射影对应例例3 求射影对应，使直线 上坐标为0、1、2的三点依次对应于 /上坐标为 1、0、2的三点解法一解法一：(非齐次坐标法) 设对应式为 a/ b c/ d = 0，则 由 0 1 得 c d 0， 由 1 0 得 b d 0

9、， 由 2 2 得 4a 2b 2c d 0高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )由以上三式联立求解，得 a: b: c: d 3 : 4 : 4: 4，故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 0解法二解法二：(齐次坐标法) 设对应式为由 (0, 1) (1, 1) 得由 (1, 1) (0, 1) 得由 (2, 1) ( 2, 1) 得a11 a12 1a21 a22 2 /1/2，det(aij) 0 1 a12 1 a22， 0 a11 a122 a21 a22， 23 2a11 a12 3 2a21 a22高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry

10、 )将以上三组方程中的第一个联立，可解得 a11 a12 1，3 1/2联立其余三个方程，并用上述结果，可得 a11 1，a12 1，a21 (3/4)1，a22 1，故所求射影对应为解法三解法三：(交比法) 设 上任意点 x( )对应于 / 上的点 x/(/ )，则 (0,1; 2, ) (1,0; 2, / )，即 (02)(1)/(0)(12) (12)(0/)/(1 /)(02)， 故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 04 4 1 3 4 2 /1/2 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )由定义：射影对应是可传递的射影对应是可传递的即则 a, b, c, a

11、/, b/, c/, 记号记号：“ ”表示射影对应若 a, b, c, , , , ，且, , , a/, b/, c/, ，3. 射影对应与透视的关系射影对应与透视的关系定理定理4 透视是射影对应定理定理5 二同类一维基本形间的射影对应是透视 将公共元素映到自身 证明证明：由对偶原理，只需证明同为点列的情形必要性显然，下证充分性高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )如图，设 T: / 为 a, b, c, d, a/, b/, c/, d/, ， (1)其中 a a/ /xa a/b/bcdc/d/ /_d记 x (bb/)(cc/)，又对 上任意点 d，设 (xd)

12、 / ，则_da, b, c, d, a/, b/, c/, , (2)x_d由(1)和(2)，有 (a/b/; c/d/) = (ab; cd ) (a/b/; c/ )，_d因此 d/，即 T 为透视_d高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )定理定理6 同类一维基本形间的非透视射影对应可以分解为两个透视的乘积abcda/b/c/d/ / /a/b/c/d/证明证明：只需证明同为点列的情形如图，有非透视射影对应 a, b, c, d, /a/, b/, c/, d/, (1)因 a/a, b, c, d, a, b, c, d, ， 且 aa/, b/, c/, d/

13、, /a/, b/, c/, d/, ， 故 aa/, b/, c/, d/, a/a, b, c, d, 因 a a/ a/ a，故 有高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )aa/, b/, c/, d/, a/a, b, c, d, 所以，线束 a 与线束 a/ 的对应直线交点a/, b/, c/, d/, 共线于 /于是非透视射影对应 (1) 成为两个透视与 /a/, b/, c/, d/, /a/, b/, c/, d/, a a, b, c, d, /a/, b/, c/, d/, a/的乘积注意注意：定理6的证明表明，虽然射影对应可传递，但透视一般是不可传递

14、的高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )d/abcda/b/c/作法见下图：作法见下图：求作 上任意点 d 在 /上的对应点 a, b, c /a/, b/, c/，例例4 已知两射影点列的三对对应点高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )例例5 用透视法证明Pappus定理证明证明：如图，设abca/b/c/dpsrtq /p (ab/)(a/b)，q (bc/)(b/c)，r (ca/)(c/a)， s (ac/)(ba/)，t (bc/)(ca/)，d /因 a/, p, s, b a/, b/, c/, d t, q, c/, b，ac故

15、a/, p, s, b t, q, c/, b，从而 a/, p, s, b t, q, c/, b所以 a/t，pq，sc/ 共点，即 r (a/t)(sc/) 在直线 pq 上由此证得 p、q、r 共线高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )d/3过 x 作平行于 的直线 ，记 d ( )，则 d 即是所求点xbcaa/b/d 作法作法：1过 c 作不过 a、b 的任意直线，在上取a/、b/，使 ca/cb/ ；从而(ab; cd) (a/b/; cd/) ，因此 d 为所求点2作aa/、bb/，记 x (aa/)(bb/)；理由理由：记 d/ 为上无穷远点，则a,

16、b, c, d a/, b/, c, d/，x例例6 已知直线 上三点a、b、c及常数 ( 0, 1)，求作第四点 d，使(ab; cd) 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )例例7 在三点形abc中，d, d/; e, e/; f , f /顺次是各边 b c, c a, a b的两个顶点的调和共轭点证明：e f , e/ f /, b c共点；f d , f / d/, c a共点；d e, d/ e/, a b共点abcfdef /d/e/证明证明：因(ac; ee/) 1 (ab; f f / )所以 e f、e/ f /、b c 共点其余同理可证故 a, c

17、, e, e/ a, b, f, f /，从而 a, c, e, e/ a, b, f, f /高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )例例8 若三点形 abc 的边 bc，ca，ab分别通过共线三点 p，q，r，又顶点 b，c各在一条定直线上求证：顶点 a 也在一条定直线上oacbpqra0b0c0证法一证法一：以德萨格定理证明点 a 在定直线oa0上高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )qvagurcv/pob所以 (qu; rv) (go; bv) (qv/; pv)因q、r、v、q、v/、p均为定点，故 u 为定点所以 a 在定直线o u上

18、则 q, u, r, v g, o, b, v，a且 q, v/, p, v g, o, b, v c 证法二证法二：如图，设 b，c 所在定直线 、 交点为o记 v (p q)、v/ (p q)，g (c q)，u (o a) ( p q)高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )4. 一维射影变换一维射影变换一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变换一维射影变换给定坐标系 u, v; t，则一维射影变换 T: a/ b c/ d 0，ad bc 0 将 (w) =(u) (v) 变为(w/) /(u) (v) 其不动元坐标满足 a2 (b c) d 0，ad bc 0

19、1) 若 a 0，则由判别式 (b c)2 4(bc ad)的符号知 T 有两个不动元、唯一不动元、无不动元(或有两个虚不动元) 2) 若 a 0，则不动元坐标 满足 (b c) d 0高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 若 b c 0，则有二不动元 和 d/(b c)； 若 b c 0，则有唯一不动元 注意注意：1是射影变换不动元的充要条件是射影变换式中 a 0 2一维射影对应将 变成 的充要条件是射影对应式中 a 0定理定理7 一维非恒等射影变换可分为三种类型： 1. 有二(实)不动元素；(双曲型双曲型) 2. 有唯一(实)不动元素；(抛物型抛物型) 3. 无(

20、实)不动元素(椭圆型椭圆型)关于有二不动元素的射影变换（即双曲型），有高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )定理定理8 设一维基本形上的变换 T 有两个不动元素 v、w，且u、u/是其任意一对对应元素，则 T 是射影变换 (vw; uu/) 常数( 0)证明证明：不妨设一维基本形是点列设 u 与 u/， t 与 t/ 是任意两对对应点： (u) 1(v) 2(w)，(u/) /1(v) /2(w)， (t) 1(v) 2(w)，(t/) /1(v) /2(w)因2/1/1/2 2/1/1/221/12 /2/1/1/2，故 ( vw; uu/) ( vw; tt/) (

21、 vw; ut) ( vw; u/t/)，即 (vw; uu/) 常数 T是射影变换高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )5. 对合对合设 是非恒等的一维射影变换，若对任意元素 u，都有 (u) u/，(u/) u， 即 I， 2 I ，则称 为对合对合(变换变换)称对合的一对对应元素为成对合的元素对定理定理9 射影变换a/ b c/ d 0，ad bc 0是对合 b cu/u/u/u 2(u) u/ u非对合u/u/u/u 2(u) u/ u对合高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )证明证明：若一维射影变换T: a/ b c/ d 0，ad b

22、c 0 是对合，则对，有/ 即 a/ b c/ d 0， 且 a/ b/ c d 0， 不妨取一对对应元 与 /，使 /且都不是 ， 则由上面二式可得(b c)( /) 0，从而 b c 反之，若 b c，则 T 的表达式关于 、/ 对称，故对，有/如果采用齐次坐标，则对合的变换式成为 a11 a12 1a21 a11 2/1/2，a112 a12a21 0 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )推论推论3 两对对应元素决定一对合推论推论4 抛物型对合不存在定理定理10 一维射影变换 ，若有一对元素 u v，满足(u) v，(v) u，则 是对合 证明证明：设w是此一维

23、基本形的任意元素，且 (w) w/，(w/) w/，则 (uv; ww/) (vu; w/w/) (uv; w/w/)， 故 w/ w定理定理11 有二不动元素的射影变换是对合 每一对对应元素都是此二不动元素的调和共轭元素 证明证明：设 v、w 是射影变换 的两个不动元，u、u/ 是其它任意一对对应元，即 (u) u/高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 若 是对合，则 (u/) u从而 (vw; uu/) (vw; u/u) 1/(vw; uu/)， 故 (vw; uu/) 1 若为 1，则 u/ u，与所设矛盾 因此，(vw; uu/) 1 反之，若 (vw; u

24、u/) 1，则 (vw; u/u) 1 由此可得(vw; uu/) (vw; u/u) ，即 (u/) u推论推论 设 v、w 是一维基本形 I 上对合 的二不动元素，u、u/是 I 上二不同元素，则 u、u/ 是 的对应元 (vw; uu/) 1例例9 设 u 与 u/，t 与 t/ 是一对合的两对对应元素，v、w 是二不动元素，求证： u 与 t，u/ 与 t/，v 与 w 是另一对合的对应元素高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )abcdpp/q/rqr/e 证明证明：由题设有 (ut/; vw) (u/t; vw) 从而 (ut/; vw) (tu/; wv)，

25、由此可见 u 与 t，u/与 t/，v 与 w 是另一对合/: u, t/, v, w, t, u/, w, v, 的对应元例例10(Desargues第二定理) 求证：不过完全四点形顶点的直线与此完全四点形的三对对边的交点是属于同一对合的三对对应点高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )abcdpp/q/rqr/e证明证明：如图设出完全四点形 abcd 的三对对边与直线 的三对交点，并设 e (ab)(cd)因 p, p/, q, r e, p/, d, c p, p/, r/, q/，ba故 ( pp/; qr) ( pp/; r/q/)从而 ( pp/; qr) (

26、 p/p; q/r/) ，这表明 p 与 p/，q 与 q/，r 与 r/ 是对合 q, r, p, p/, q/, r/, p/, p, 的三对对应点高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )Desargues第二定理提供了在由两对对应点 p 与 p/， q 与 q/ 确定的对合中，作任意点 r 的象点的方法：pp/qq/rr/高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )1. 直射变换的定义及表达式直射变换的定义及表达式射影平面上的点变换，若将共线点变成共线点，且保持交比不变，则称为直射变换直射变换，简称直射直射若坐标系 o(1), o(2), o(3)

27、; e在直射T下，o(i)变成o/(i)，e变成e/，则称 / o/(1), o/(2), o/(3); e/为原坐标系的象坐标系象坐标系引理引理 在直射 T 作用下，象点在象坐标系下的坐标等于原象点在原坐标系下的坐标 证明证明：设任意点 x 在 T 作用下的象为 x/，且 x 在 下的坐标为(x1, x2, x3)， x/ 在 / 下的坐标为(x*1, x*2, x*3) 用第二章3中3.3的记号，如下图所示高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )xeo(1)o(2)o(3)e(1)x(1)x(3)x(2)e(2)e(3)x/e/o/(1)o/(2)o/(3)e/(1)

28、x/(1)x/(3)x/(2)e/(2)e/(3)T因 T 保持共线性，故 e(2)e/(2)，x(2)x/(2)，再由 T 保持交比不变，得 (o/(1)o/(3); e/(2)x/(2) (o(1)o(3); e(2)x(2) 故 x*1/ x*3 x1/ x3同理 x*2/ x*3 x2/ x3所以 x1/ x*1 x2/ x*2 x3/ x*3 ( 0 ) ，即 x*i xi ( i 1, 2, 3 ) (1)高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )由此引理可得直射的表达式定理定理1 射影坐标系下，直射变换的表达式是如下满秩线性变换：证明证明：设象点x/ 在 下的

29、坐标为(x/1, x/2, x/3)因 / 的坐标变换式为x1x2x3x/1x/2x/3 A，det A 0 x*1x*2x*3x/1x/2x/3 A，det A 0 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )因此，也直接称满秩线性变换为直射变换，且有时也将其写为：T: x/i aijxj ( i 1, 2, 3)，|aij| 0j = 13将 (1) 代入即得x1x2x3x/1x/2x/3 A，det A 0 (2) 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )2. 射影群及基本射影性质射影群及基本射影性质可看作射影变换 (2) 用象表示原象的表达式；若

30、将 x/( x/1, x/2, x/3 )看作原象，x( x1, x2, x3 )看作象，则此为 (2) 的逆变换习惯上，(2) 的逆变换写为直射变换x1x2x3x/1x/2x/3 A，det A 0 (2) 可改写为：x1x2x3x/1x/2x/3 / A 1 (3) 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )也可改写为：其中 Aij 是 aij 在 A (aij) 中的代数余子式显然，T 1也是直射x1x2x3x/1x/2x/3T 1： A 1 (4) x1x2x3x/1x/2x/3， (4)/T 1： /A11 A21 A31A12 A22 A32A13 A23 A3

31、3 x1x2x3x/1x/2x/3 B又若 T *： ，det B 0，也是直射，则 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )以上讨论表明，有 定理定理2 射影平面上全体直射变换的集合构成变换群，称为直射群直射群通常，将直射变换称为射影变换射影变换，相应地，直射群也称为射影群射影群射影群附属的几何即射影几何，其研究内容为射影变换下的不变性质、不变量和图形分类易知，结合性是基本射影性质，交比是基本射影不变量x1x2x3x/1x/2x/3 BA，det BA 0T *T : / 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )例例 菱形在仿射变换和射影变换下的象

32、分别是什么图形？为什么？答答：分别是平行四边形和四边形 因为仿射变换保持平行性及共线性，但不保持长度；而射影变换保持共线性，但既不保持平行性，也不保持长度考虑直线：1x1 2x2 3x3 0经直射作用的象： 将(3)代入直线方程左端，得1x1 2x2 3x3 (1, 2, 3) x1x2x3 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 故直线 在直射(2)下的象为直线 /： /1x/1 /2x/2 /3x/3 0以上表明：直射作用于直线的象为直线，其相应表达式为(5)，称为直射(2)的诱导变换诱导变换其中 ( /1, /2, /3) 满足 (1, 2, 3) A1 x/1x

33、/2x/3 /1 /( /1, /2, /3)x/1x/2x/3 (A1)T ， (5)123 /1 /2 /3 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )从直射作用于点的表达式 (2) 和作用于直线的表达式 (5)可知，二者互为诱导变换直射(2)的诱导变换也可写为：3. 直射的基本定理直射的基本定理引理引理 射影平面上的直射变换 T 是恒等变换 T 保持平面上每三点不共线的四点不动 证明证明：取此四不动点为坐标系的基点和单位点： o(1)，o(2)，o(3)，e AT 123 /1 /2 /3 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )则直射(2)使

34、(1, 0, 0)(1, 0, 0)，(0, 1, 0)(0, 1, 0)， (0, 0, 1)(0, 0, 1)，(1, 1, 1)(1, 1, 1)分别代入 (2)，可得 aii 4，aij 0 ( i j, i, j 1, 2, 3)故满足条件的变换为显然，这是恒等变换 x1x2x3x/1x/2x/31 0 00 1 00 0 1 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )利用引理，可以证明 定理定理3 在射影平面上，设 b(i) ( i 1, 2, 3, 4)是每三点不共线的四点，b*(i) ( i 1, 2, 3, 4)也是每三点不共线的四点，则存在唯一直射 T，

35、将 b(i) 变成 b*(i) 证明证明：(唯一性唯一性) 设 T 和 T / 都是满足条件的变换，则 T 1T /使 b(i) ( i 1, 2, 3, 4)均不动，故由引理知T 1T / I，从而 T / T (存在性存在性) 分别选取八点的坐标，使 (b(1) (b(2) (b(3) (b(4)， (b*(1) (b*(2) (b*(3) (b*(4) 若记高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 所以变换 x1x2x3x/1x/2x/3 B*B 1为满足条件的直射则 (b*(1)T,(b*(2)T,(b*(3)T ) B*B1(b(1)T,(b(2)T,(b(3)

36、T )，从而 (b*(i)T B*B 1(b(i)T ( i 1, 2, 3)，进而 (b*(4)T B*B 1(b(4)Tb1(1) b1(2) b1(3)b2(1) b2(2) b2(3)b3(1) b3(2) b3(3)B ，B* b1*(1) b1*(2) b1*(3)b2*(1) b2*(2) b2*(3)b3*(1) b3*(2) b3*(3)， 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )教材上关于定理的证明提供了求四对对应点确定的直射变换的另一种求法：2将第四对对应点坐标代入求出 1，2，3 ，即可得所求直射1令b1(1) b1(2) b1(3)b2(1) b

37、2(2) b2(3)b3(1) b3(2) b3(3)B ，B* b1*(1) b1*(2) b1*(3)b2*(1) b2*(2) b2*(3)b3*(1) b3*(2) b3*(3)， 设所求直射为 x1x2x3x/1x/2x/3 B*B 11 0 00 2 00 0 3； 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )例例1 求将点(1, 1, 1)，(0, 1, 2)，(1, 0, 1)分别变成(1, 1, 1)，(0, 1, 1)，(0, 1, 0)，且将直线 x1 x2 x3 0 变成直线 2x/1 x/2 0 的直射 解法一解法一：设所求直射为其诱导变换为x1x2

38、x3x/1x/2x/31 0 00 2 00 0 3，1 0 01 1 11 1 01 0 11 1 01 2 11 即 x1x2x3x/1x/2x/3(1) 1 21 1123 2123 123 12 21 12 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )将直线(1, 1, 1)(2, 1, 0)直线代入得解之得 1 : 2 : 3 : 4 3: 3: 2: 2/1/2/3 1 123 1221 2123 211 123 12123 4 1 2 34 21 234 1 2 3 ，x1x2x3x/1x/2x/33 6 34 10 80 6 0代入(1)得所求直射为 高高 等

39、等 几几 何何 ( Higher Geometry )解法二解法二：由三对点的对应关系得将直线(1, 1, 1)(2, 1, 0)代入得1 : 2 : 3 3: 3: 2代入(2)，解出 (1, 2, 3 ) 得/1/2/3 3 4 0 6 10 63 8 0，123 1 2 3 1(/1 /2 /3 ) 2 23 2( /2 /3 ) (2)1 3 3( /2 )高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )4. 直射变换的不动元直射变换的不动元定理定理4 直射至少有一个不动点和一条不动直线 证明证明：由直射表达式知，不动点应满足方程组x1x2x3x/1x/2x/33 6 3

40、4 10 80 6 0从而得所求直射为 (a11 )x1 a12x2 a13x3 0a21x1 (a22 )x2 a23x3 0a31x1 a32x2 (a33 )x3 0，高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )此方程组有非零解 因 (0) |aij| 0，故这个关于 的三次方程至少有一个非零实根，由此实根可求得至少一个不动点 由对偶原理可知直射至少有一条不动直线非恒等直射的不动元个数非恒等直射的不动元个数： 对于每一个特征根 ，代入方程组后， 若独立方程有两个，则对应唯一不动点； 若只有一个，则对应位于一条直线上的不动点a13a23a33 a12a22 a32a11

41、a21a31() 0高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )例例2 求直射变换 x/1 x1 x2，x/2 x2，x/3 x3 的不动元素 解解：不动点方程组为其特征方程为(1 )x1 x2 0 (1 )x2 0 (1 )x3 0，001 11 01 00() 0()高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )它有三重根 1，代入方程组，得独立方程 x2 0因此，不动点为直线 x2 0上所有点，即有不动点列 x2 0不动直线满足其特征方程仍为()将 1代入方程组得 1 0因此不动直线为以 (1, 0, 0) 为心的线束(1 )1 0 1 (1 )2 0

42、(1 )3 0，高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )例例3 若直射保持一直线上每一点不动，则其表达式可写为证明证明：以该直线为坐标三点形的边o(1)o(2)，则对一切非全零的 x1、x2成立，故 a11 a22 ，a12 a21 a31 a32 0 b 0 a10 b a20 0 1T : x1x2x3x/1x/2x/3，b 0 x1x20 x1x20a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )即变换矩阵为因 A 为满秩矩阵，故可记 b /a33，a1 a13/a33，a2 a23/

43、a33，从而可得该变换表达式A 0 a130 a230 0 a33 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )1. 对射变换对射变换在射影平面上，将点变成直线，直线变成点的一一对应，若保持结合性和交比不变，则称为对射变换对射变换，简称对射对射类似于直射，可得对射的两个表达式： 1) 作用于点的表达式为它将点 x 变成直线 /；x1x2x3/1/2/3 A，det A 0， (1) 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )将(1)反解，得它将直线 变成点 x/此式有两种解释：1) (x)为原象，( / )为象，则(1)与(3)是同一变换；2) ( / )

44、为原象，(x)为象，则(3)是(1)的逆变换2) 作用于直线的表达式为 123x/1x/2x/3 (A1)T， (2) A1 (3)x1x2x3/1/2/3 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )习惯上，将对射变换(1)的逆变换记为：注意注意：集合对射不构成变换群，但集合直射，对射是变换群，称为广义射影群广义射影群，其所附属的几何称为广义射影几何广义射影几何，射影群为其子群 A1 x/1x/2x/3123 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )2. 配极变换配极变换满足 2 I 的对射变换 称为配极变换配极变换，简称配极配极注意注意：配极作成的集

45、合不能构成变换群，因它不含恒等变换/x/x非配极/x配极配极下，点 x 的对应直线 / 称为点 x 的极线极线；直线 的对应点 x/ 称为直线 的极点极点高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )定理定理1 在给定配极 下， 为 x 的极线 x 为 的极点 证明证明：若 (x) ，则 () 2(x) x 反之，若 () x，则 (x) 2() 利用对射和配极的定义有 定理定理2 若一点在一直线上运动而成点列，则其极线过一定点转动而成为线束，且此线束的心为已知直线的极点x高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )定理定理3 对射(1)成为配极 A AT 证

46、明证明：记表达的对射为 ，则x / x/，它们的坐标满足x1x2x3/1/2/3 A，/1/2/3x/1x/2x/3 (A1)T x1x2x3，x/1x/2x/3 (A1)TA由此得 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )故(1)成为配极的充要条件为 (A1)TA E， 0 (*)若(1)是配极，则由 (*) 取行列式得 1，从而由 (*) 得 A AT反之，若 A AT，则 (A1)TA E，从而 是配极高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )因在配极下，象与原象是相互的，所以不必区分 x 与 x/， 与 /，故可将配极的表达式写为： 这里 Ai

47、j 是在 (aij) 中元素 aij 的代数余子式注意注意：配极的变换矩阵总是对称的x1x2x3123，det (aij) 0a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33123x1x2x3，det (Aij) 0A11 A12 A13A12 A22 A23A13 A23 A33(4) ： 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )3. 共轭元素与配极原则共轭元素与配极原则对于给定的配极，若点 x 在点 y 的极线上，则称点点 x 共轭于点共轭于点 y；若直线 通过直线 的极点，则称直线直线 共轭于共轭于直线直线 定理定理4/ 在配极(4)之下，直线 共

48、轭于直线 的充要条件是定理定理4 在配极(4)之下，点 x 共轭于点 y 的充要条件是(x1, x2, x3)(aij) 0(5)y1y2y3(1, 2, 3)(Aij) 0(5)/123 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 将前式代入后式，得(5)由定理4和定理4/，有 配极原则配极原则 共轭关系是相互的，即甲元素共轭于乙元素的充要条件是乙元素共轭于甲元素证定理证定理4：因点 y 的极线 的坐标满足y1y2y3123 (aij)， 而点 x 在 上的充要条件为 (x1, x2, x3)123 0， 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )推论

49、推论 点 x 共轭于点 y 点 x 的极线共轭于点 y 的极线重要的共轭关系： 若点 x 在自己的极线 上，则称 x 为自共轭点自共轭点； 若直线 过自己的极点 x，则称 为自共轭直线自共轭直线推论推论 点 x 自共轭 点 x 的极线自共轭 定理定理5/ 在配极(4)之下，直线 自共轭的充要条件是定理定理5 在配极(4)之下，点 x 自共轭的充要条件是(x1,x2,x3)(aij)x1x2x3 0(6)(1, 2, 3)(Aij)123 0(6)/ 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )(1) 在 之下，求点 x(1, 0, 4) 的极线 和直线 (4, 1, 1) 的

50、极点 y；(2) 验证 x 与 y 是配极 的共轭点， 与 是 的共轭直线；(3) 求 的自共轭点和自共轭直线的集合例例1 已知配极 的表达式为x1x2x31231 2 32 1 13 1 1， 解解：由于(aij) 1 2 32 1 13 1 1， 故 (Aij) 0 5 55 8 75 7 3 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )(1) 将点 x 的坐标代入 的表达式得其极线 的坐标为( ) (13, 2, 7)( y) = (0, 7, 2)故 x 与 y 是配极 的共轭点由于 x 的极线是 ，而 y 的极线是 ，故 与 是 的共轭直线； 0 5 55 8 75

51、 7 3 4 11由 ，可得 的极点 y 的坐标为 (2) 由于 (1, 0, 4)0721 2 32 1 13 1 1 0， 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )(3) 的自共轭点集合为即 x12 x22 x32 4x1x2 2x2x3 6x1x3 0其自共轭直线集合为即 822 332 1012 1013 1423 0 x1x2x3(x1, x2, x3)1 2 32 1 13 1 1 0， (1, 2, 3)0 5 55 8 75 7 3123 0， 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )证明证明：因自共轭直线 过自己的极点 x，故 x