根与系数专题

1、一元二次方程根与系数的关系专题一元二次方程根与系数的关系的应用：(一)已知方程，利用根与系数1、不解方程，整体代换求含X1,X2的代数式的值例1 :设方程x2+3x+仁0 的两根为X1,X2,求下列各式的值：(1) X12+X 22 (2)丄+ 丄 (3) (X1-3 ) (X2-3 ) (4) (X1-X2) 2 (5) | X1 X2X1-X 2 |练习：设X1, X2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下 列各式的值：(1) (xi+1 ) (X2+1 ) ;(2) xi2X2+x 1X22;(4)(X1-x 2) 2;(5 ) X13+X23.2、已知含X1,X2

2、的代数式的值，求方程中待定字母系数的值例2 : (1)已知方程x2+kx+k=0 有两个实数根，且两根的平方和为 3，求k 的值。解：依题意：0, X12+x 22 =3归纳小结：AAO是实系数一元二次方程根与系数关系的前提。(2) 若方程2x2-mx-4=0的两个实数根xi,X2满足丄+丄=2，求m的值。xi X2(3) 已知方程x2-4x+6k=0 有两个实数根的平方差为8，求k的值。3、一元二次方程的特殊根及根的分布(1 )一元二次方程的特殊根 若方程两根相等，则4=0 ; 若方程两根互为倒数，则 X1.X2 = 1且>()； 若方程两根互为相反数，则 xi+x 2= 0 ,即b=

3、0且>(); 若方程两根绝对值相等，则 =)或b=0且A>0 ; 若方程有一根为0，则c=0 ; 若方程有一根为1，则a+b+c=0; 若方程有一根为-1，则a-b+c=0;练习题：(1 )已知关于x的一元二次方程x2+(m 2-9)x+m-仁0 ，当两根互为相反数时，m= ，若方程两根互为倒数，m= 。(2) 已知关于x的一元二次方程(a+3)x 2-(a2+a-6)x=0，当两根互为相反数 时，a= 。(3) 已知关于x的一元二次方程(m-1)x 2+2x-m 2-2m+3=0 的一根为零，则m= 。已知关于x的一元二次方程2x2+mx+4=0的两根的绝对值相等，则m= 。(5

4、)已知关于x的一元二次方程(k2-1)x 2-(k+1)=0的两根互为倒数，则k的取 值是().(A) 士 匹河 (C) -(DJ 0(2 )已知方程的一根或两根的关系，求另一根及待定字母的值例3 : ( 1)已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。(2)、已知方程x2-12x+m=0 的一个根是另一个根的2倍，求m的值。(3 )一元二次方程根的分布(两根的范围)例4 :实数k取何值时，关于x的一元二次方程x2-(2k-3)x+(2k-4)=0(1) 有两个正实数根；(2) 有两个负实数根；(3) 有一个正根，有一个负根；(4) 两根都比2 小;(5) 方程一根大于2

5、，一根小于2 ；分析：(1)应满足菊X1+X2 > 0 X1.X2 > 0(4) 应满足菊 (xi-2 ) + (X2-2 ) V 0(xi-2 ) (X2-2 )(二)根据给定条件，求作一元二次方程1、 已知方程两根为X1，X2，求作一元二次方程为 X2-(X 1+X 2)X+X 1.X2=0例5 :求一个一元二次方程，使它的两根分别是-32LL(1) 和 2(2) -2，3(3) 1+ J2，1-占2、已知两数和与积，构建一元二次方程求这两数例6 :已知两数和为8，积为9，求这两数。分析：设这两个数为方程x2-8x+9=0的两根，解方程即可；本题还有其它解 法。3、已知一元二次

6、方程，构建新的一元二次方程例7 :(1)已知方程2x2-9x+8=0，求作一个一元二次方程，使它的一根为原方程两根的和的倒数，另一根为原方程两根差的平方。(2) 已知方程x2-5x+仁0，求作一个一元二次方程，使它的两根分别为原 方程两根的平方。解：(1 )设原方程两根为X1，X2，新方程两根为y1,y2Xl+X 2= _2xi.X2=4yi =1 = 2x1 x2 9y2=( X1-X 2)2= (X1+X2) 2-4x 1.X2=( - )2-16= U24yi+y 2 =161y1.y2 =1718则所求新方程为耳齐+沪0，即3时16*4=04、利用根的定义构造（已知等式具有相同结构，就

7、可把某两个变元看作关于某个字母的一元二次方程式的两根）例8 :（ 1）已知a、b满足a2-2a-仁0,b2-2b-仁0,求的值。b a(2)已知 p、q 满足 p2-2p-5=0,5q2+2q-1=0,求 p2+ 的值q2解：(1 )当 a=b 时，a+ b=2 b a当a zb时，a、b可看作方程x2-2x-仁0 的两个不相等的根,a+b=2,ab=-1 a+ b = a2 b2 =-6b a ab当p= 1时,p、1可看作方程x2-2x-5=0的一个根,X1, 2=1 士- 6qqp2+ 丄=2p 2=(1 士 6)2 = 14 士4 6 q2当p工1时，p、丄可看作方程x2-2x-5=0的两个不相等的实数qq根,p+ 2=2,p.丄=-5q qp2+ 丄二(p+ 1)2-2p. 1=-14q2qq练习题：(1)已知a、b满足a2+a-仁0,b2+b-仁0