高数 习题课ppt课件

1、根本概念根本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分别变量可分别变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.全微分方程全微分方程6.6.线性方程线性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的构造解的构造定理定理1;定理定理2定理定理3;定理定理4欧拉方程欧拉方程二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的构造方程解的构造特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的方式及其的方式及其特解方式特解方式高阶方程高阶方程待定系数法待定系数法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容微分方程解题思绪微分

2、方程解题思绪一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分别变量法分别变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非全微分方程非全微分方程非变量可分别非变量可分别幂级数解法幂级数解法作作变变换换作变换作变换积分因子积分因子1 1、根本概念、根本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式

3、的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 通解假设微分方程的解中含有恣意常数，并且通解假设微分方程的解中含有恣意常数，并且恣意常数的个数与微分方程的阶数一样，这样的恣意常数的个数与微分方程的阶数一样，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解确定了通解中的恣意常数以后得到的解，特解确定了通解中的恣意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件用来确定恣意常数的条件初始条件用来确定恣意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题dxxfdyyg)()( 形形如如(1) 可分别变量的微分方程可分

4、别变量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分别变量法分别变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) 齐次方程齐次方程解法解法xyu 作变量代换作变量代换)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齐次方程齐次方程,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,其中其中h和和k是待定的常数是待定的常数否那么为非齐次方否那么为非齐次方程程(3) 可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程化为齐次方程)()(xQyxPdxdy 形形如如(4) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程, 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非

5、齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey运用分别变量法运用分别变量法解法解法非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(常数变易法常数变易法(5) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时时，当当1 , 0 n 方程为非线性微分方程为非线性微分方程方程.时时，当当1 , 0 n解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()

6、1(1 cdxenxQezydxxPndxxPnn0),(),( dyyxQdxyxP其中其中dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 形如形如(6) 全微分方程全微分方程3 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法),(xPy 令令特点特点. y不不显显含含未未知知函函数数),()2(yxfy 型型)()1()(xfyn 接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).(,(xPxfP ,Py ),(xPy 令令特点特点.x不显含自变量不显含自变量),()3(yyfy 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).,(Pyfd

7、ydpP ,dydpPy 、线性微分方程解的构造、线性微分方程解的构造1 1二阶齐次方程解的构造二阶齐次方程解的构造: :)1(0)()( yxQyxPy形形如如定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21,CC是是常常数数）定定理理 2 2：如如果果)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解, , 那那么么2211yCyCy 就就是是方方程程( (1 1) )的的通通解解. .2 2二阶非齐次线性方程的

8、解的构造二阶非齐次线性方程的解的构造: :)2()()()(xfyxQyxPy 形如形如定理定理 3 3 设设*y是是)2(的一个特解的一个特解, , Y是与是与(2)(2)对应对应的齐次方程的齐次方程(1)(1)的通解的通解, , 那么那么*yYy 是二阶是二阶非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解. .定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxP

9、y 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 形形如如n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法定其通解的方法称为特征方程法.02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实

10、实根根21rr 复复根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 特征方程为特征方程为01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110推行：推行： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyyp

11、y 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)()()1(xPexfmx 解法待定系数法解法待定系数法., )(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 jjk二、典型例题二、典型例题.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求求通通解

12、解例例1 1解解原方程可化为原方程可化为),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy ,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu ,cos2cossinxdxduuuuuu 分别变量分别变量两边积分两边积分,lnln)cosln(2Cxuu ,cos2xCuu ,cos2xCxyxy 所求通解为所求通解为.cosCxyxy .32343yxyyx 求求通通解解例例2 2解解原式可化为原式可化为,32342yxyxy ,3223134xyxyy 即即,31 yz令令原式变为原式变为,3232xzxz ,322

13、xzxz 即即对应齐方通解为对应齐方通解为,32Cxz 一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程伯努利方程伯努利方程,)(32xxCz 设设代入非齐方程得代入非齐方程得,)(232xxxC ,73)(37CxxC 原方程的通解为原方程的通解为.73323731xCxy 利用常数变易法利用常数变易法利用利用:原方程重新组合为原方程重新组合为, 0)1()(32 ydyxd即得即得, 01)32(2423 dyydyyxdxyx故方程的通解为故方程的通解为.1232Cyyx . 0324223 dyyxydxyx求求通通解解例例3 3.212yyy 求通解求通解例例5 5解解.x方方程程不不显显含含,dy

14、dPPyPy 令令代入方程，得代入方程，得,212yPdydPP ,112yCP 解解得得，, 11 yCP, 11 yCdxdy即即故方程的通解为故方程的通解为.12211CxyCC . 1)1()1(,2 yyexeyyyxx求求特特解解例例6 6解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY 设原方程的特解为设原方程的特解为,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 代入原方程比较系数得代入原方程比较系数得将将)( ,)(

15、 ,* yyy,21,61 ba原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy , 1)1( y, 1)31(21 eCC,6)1()(3221xexxCCCy , 1)1( y, 1)652(21 eCC,31121 eCC,651221 eCC由由解得解得 ,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey ).2cos(212xxyyy 求求解解方方程程例例解解特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,

16、1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则, 0)(*1 y，得得代代入入xyy214 ，xbax2144 由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得得代代入入xyy2cos214 故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxC

17、xCy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy .)(),(1)()(2此此方方程程的的通通解解（）的的表表达达式式；（），试试求求：的的齐齐次次方方程程有有一一特特解解为为，对对应应有有一一特特解解为为设设xfxpxxxfyxpy 例例解解由题设可得：由题设可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得解此方程组，得.3)(,1)(3xxfxx 原方程为原方程为.313xyxy ，的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解程程是是原原方方程程对对应应的的齐齐次次方方显显见见221, 1x

18、yy 是原方程的一个特解，是原方程的一个特解，又又xy1* 由解的构造定理得方程的通解为由解的构造定理得方程的通解为.1221xxCCy 一、一、 选择题选择题: :1 1、 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPy 的通的通解是解是( ).( ). (A) (A) )()()(CdxexQeydxxPdxxP； (B) (B) dxexQeydxxPdxxP)()()(； (C)(C) )()()(CdxexQeydxxPdxxP； (D) (D) dxxPcey)(. .2 2、方程、方程yyxyx 22是是( ).( ). (A) (A)齐次方程；齐次方程； (B

19、) (B)一阶线性方程；一阶线性方程； (C) (C)伯努利方程；伯努利方程； (D) (D)可分离变量方程可分离变量方程 . .测测 验验 题题3 3、2)1(,022 yxdxydy的特解是的特解是( ).( ). (A) (A)222 yx； (B) (B)933 yx； (C) (C)133 yx； (D) (D)13333 yx. .4 4、方程、方程xysin 的通解是的通解是( ).( ). (A) (A)322121cosCxCxCxy ； (B) (B)322121sinCxCxCxy ； (C)(C)1cosCxy ； (D) (D)xy2sin2 . .5 5、方程、方程

20、0 yy的通解是的通解是( ).( ).(A)(A)1cossinCxxy ；(B)(B)321cossinCxCxCy ；(C)(C)1cossinCxxy ；(D)(D)1sinCxy . .6 6、若、若1y和和2y是二阶齐次线性方程是二阶齐次线性方程 0)()( yxQyxPy的两个特解的两个特解, ,则则 2211yCyCy ( (其中其中21,CC为任意常数为任意常数)( )( )(A)(A)是该方程的通解；是该方程的通解； (B) (B)是该方程的解；是该方程的解； (C) (C)是该方程的特解；是该方程的特解； (D) (D)不一定是该方程的解不一定是该方程的解. .7 7、求

21、求方方程程0)(2 yyy的的通通解解时时, ,可可令令( ( ) ). . ( (A A) )PyPy 则则,； ( (B B) )dydPPyPy 则则,； ( (C C) )dxdPPyPy 则则,； ( (D D) )dydPPyPy 则则,. .8 8、已已知知方方程程02 yyxyx的的一一个个特特解解为为xy , ,于于 是是方方程程的的通通解解为为( ( ) ). . ( (A A) )221xCxCy ； ( (B B) )xCxCy121 ； ( (C C) )xeCxCy21 ； ( (D D) )xeCxCy 21. .9 9、 已知方程、 已知方程0)()( yxQy

22、xPy的一个特的一个特1y解为解为, , 则另一个与它线性无关的特解为则另一个与它线性无关的特解为( ).( ). (A) (A) dxeyyydxxP)(21121； (B) (B) dxeyyydxxP)(21121； (C)(C) dxeyyydxxP)(1121； (D) (D) dxeyyydxxP)(1121. .1010、方程、方程xeyyyx2cos23 的一个特解形式是的一个特解形式是 ( ).( ). (A) (A) xeAyx2cos1 ； (B) (B) xxeBxxeAyxx2sin2cos11 ； (C) (C) xeBxeAyxx2sin2cos11 ； (D) (D) xexBxexAyxx2sin2cos2121 . .二二、 求求下下列列一一阶阶微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、)1(lnln xaxyxyx； 2 2、033 yxxydxdy； 3 3、022 yxxdyydxydyxdx. .三三、 求求下下列列高高阶阶微微分分方方程程的的通通解解: :1 1、012 yyy；2 2、)4(2 xexyyy. .四四、 求求下下列列微微