常微分方程答案复习题

1、习题5.2024120202412031.试验证tt2t2t101x，在任何不包含原点的区间at b上是方程组X=22x,x=x1F7x2的基解矩阵。解：令，一一t2、一t的第一列为，=2t，这时1伤2t21(t)故1(t)是一个解。同样如果以2表示t第二列，我们有2(t)这样2(t)也是一个解。因此t是解矩t2阵。又因为dett=-t2故t是基解矩阵2 .考虑方程组x'=A(t)x(5.15)其中A(t)是区间atb上的连续nn矩阵，它白令元素为aj(t),i,j=1,2,na)如果X1(t),x2(t),Xn(t)是(5.15)的任意n个解,那么它们的伏朗斯基行列式Wx1(t),x

2、2。)，,Xn(t)W满足下面的一阶线性微分方程W=an(t)+a22(t)+ann(t)Wb)解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：W(t)=W(t0)et0an(s)a22(s).ann(s)dst0,ta,b'x11'x12.'x1nx11x12.x1nx11x12.x1n解：w(t)='x21.x22.x2n.+'x21.'x22.x2n,.+x21.x22.x2n.xn1xn2.xnnxn1xn2.xnnxn1xn2.xnnai1x11a12X21X21.a1nXn1a11X12a-(22X22.4nXn2.a11X1n.a12X2n

3、.X2na1nxn.Xn1.Xn2.XnnX11X12.X1n+X21.X22.X2n.an'.annXn1an1X21annXn2.an1Xnn.annXnnai1x11a11X12.a11X1nX11X12.X1nX21.X22.X2n.X21.X22.X2n.+整埋后织工1笠为Xn1Xn2.XnnannXn1annXn2annXnnX11X12.X1n(a+-+ann)X21.X22.X2n.=(a11+ann)w(t)Xn1Xn2.Xnn=(a1i(t)+ann(t)w(t)b)由于w'(t)=a11(t)+ann(t)w(t),即dw(t)-=a11(t)+ann(t

4、)dtw(t)两边从t0至Ut积分Inw(t)-Inw(t0)=a11(s).ann(s)ds即t0tai1(s).ann(s)dsw(t)=w(to)e0,ta,b3 .设A(t)为区间atb上的连续nn实矩阵，t为方程x=A(t)x的基解矩阵，而x=为其一解，试证：a)对于方程y'=-AT(t)y的任一解y=(t)必有T(t)(t)=常数；b)(t)为方程y=-AT(t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C,使T(t)(t)=C.'解a)T(t)(t)=T(t)+T(t)=T(t)+T(t)A(t)又因为 '=-AT (t)(t) ，所以'T(t)

5、 A(t)T(t)(t)'=-T(t)(t)A(t)+T(t)A(t)(t)=0,所以对于方程y'=-AT(t)y的任一解y=(t)必有T(t)(t)=常数b)“”假设为方程y'=-AT(t)y的基解矩阵，则T(t)(t)'=T(t)'t+T(t)'(t)=-AT(t)(t)t+T(t)AT(t)t+T(t)A(t)(t)=-T(t)AT(t)t+T(t)AT(t)t=0,故T(t)(t)=C“”若存在非奇异常数矩阵C，detc0,使T(t)(t)=C，''则T(t)(t)'=T(t)+T'(t)=0，故T(t)(

6、t)=-'T(t)(t)A(t)T'(t)=-T(t)A(t)所以'T(t)=-T(t)A(t),'(t)=-T(t)AT(t)即(t)为方程y'=-AT(t)y的基解矩阵4.设t为方程x=Ax(A为nn常数矩阵)的标准基解矩阵(即(0)=E)，证明:t1(t0)=(t-t0)其中t0为某一值.证明：(1)t,(t-t0)是基解矩阵。(2)由于t为方程x'=Ax的解矩阵，所以t1(t0)也是x'=Ax的解矩阵，而当t=3时，(t0)1(t0)=E,(t-t0)=(0)=E.故由解的存在唯一性定理，得t1(t0)=(t-t0)5.设A(t)

7、,f(t)分别为在区间atb上连续的nn矩阵和n维列向量，证明方程组x'=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。证明：设乂1M2,，七口是x'=A(t)x的n个线性无关解，又是x'=A(t)x+f(t)的一个解，则Xi+X,x2+又，,xn+X,X都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的n常数C.(I=1,2,n)使得63X)+CniX=0，从而Xi+x,i1X2+X,，xn+X,X在atb上线性相关，此与已知矛盾，因此x1+X,x2+X,xn+x,i线性无关,所以方程组x'=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性

8、无关解。6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理：xA(t)xf1(t)xA(t)xf2(t)的解，则Xi(t)X2(t)是方程组'一一xA(t)xfi(t)f2(t)的解。证明：x'A(t)xfi(t)(1)x'A(t)xf2(t)(2)分别将Xi(t),X2(t)代入(1)和(2)则XiA(t)Xifi(t)X2A(t)xf2(t)则Xi'X2'A(t)Xi(t)X2(t)fi(t)f2(t)Xi(t)X2(t)A(t)Xi(t)X2(t)fi(t)f2(t)令XXi(t)X2(t)即证x'A(t)xfi(t)f2(t)7.考虑方程组xAxf(t

9、),其中x1x2sintf(t)costa）试验证2te0,2tte日2tzxeAx的基解矩阵;b）试求x'Axf（t）的满足初始条件(0)的解1证明：a）首先验证它是基解矩阵1（t）表示（t）的第一列1(t)2t e0'/、2e2t2 11 (t) 00 22t e01(t)1（t）是方程的解如果以2（。表小（t）的第二列2(t),2t te2te2t2t我们有2(t) e2e?2t te2t e2(t)故2（t）也是方程的解从而是方程的解矩阵又 det (t)2t , 2tetec 2t0e4t e故（t）是xAx的基解矩阵;b）由常数变易公式可知，方程满足初始条件(0)的

10、解1't1.(t)(t)1(0)。1f(s)ds而1(t)2t.2tete2t0e4te2te(t)(12tt)e2te2te0,2tte2te2se0se2s2ssinsdscoss25(2t115t27)e2532te5-cost51.+costsint251+sint58、试求Ax其中x1x2f(t)02te满足初始条件的解（t）。解：由第7题可知xAx的基解矩阵(t)2te0,2tte2te则1(s)2s2sesec2s0e4se2s若方程满足初始条件(0)则有（t）(t)(s)f(s)ds2te0.2tte2te2s02seds112-te2.2tte2t若（0）则有(t)(

11、t)1(0)t(t)°(s)f(s)ds2te0.2tte2te1.2-te2.2tte2t(1(tt21)e2、2t)e2t9、试求下列方程的通解:a)xxsect,一t一22解：易知对应的齐线性方程x-x0的基本解组为x1(t)cost,x2(t)sint这时WX,X2(t0由公式得(t)b)x解:costsintsintcosttsintcosscostsinssecsds通解为xcicostc2sint2t8xe易知对应的齐线性方程xx2(t)etcos3t,x3(t)etsin3t2是方程的特征根故方程有形如xAte2t的根t0(sintcosttans)dstsintts

12、intcostInt8x0的基本解组为Xi(t)costlncost2te代入得A-12故方程有通解x(c1cos3tc2sin3t)et2t112tc3ete12c)x6x9x解：易知对应的齐线性方程x6x9x0对应的特征方程为269Q.1,23故方程的一个基本解组为x(t)e3t,x2(t)te3tWxi(t),x2(t)3t3sttee(t)03tec3t3t3ee3t3sese6se33tteC,3t3te6tes,1t13t13teds一e一te-e424因为te3t,e3t是对应的齐线性方程的解故)Is也是原方程的一个解4故方程的通解为xGe3tC2te3t-et410、给定方程x

13、''8x'7xf(t)其中f(t)在0t上连续，试利用常数变易公式，证明：a)如果f(t)在0t上有界，则上面方程的每一个解在0t上有界；b)如果当t时，f(t)0,则上面方程的每一个解(t)(当t时)。证明：a)f(t)0t上有界存在M>0,使得f(t)M,t0,)又xet,xe7t是齐线性方程组的基本解组非齐线性方程组的解(t)7t s t 7stee e e7s ef (s)ds7ss t 7s t e e e e6e8sf(s)dsA(t) (t) F(t, (t)7s7e(t)7t 7 s e eetesdsM(8-e7tet)-M67721又对于非齐线

14、性方程组的满足初始条件的解x(t),都存在固定的常数g,c2使得x(t)Ge7tc2et(t)从而x(t)c1e7tc2et(t)Qc22M故上面方程的每一个解在0t上有界0,N当t>N时f(t)由a)的结论x(t)Ge7tC2et(t)gC221M1,0)故t时，原命题成立11、给定方程组x'A(t)x(5.15)这里A(t)是区间axb上的连续nn矩阵，设(t)是(5.15)的一个基解矩阵，n维向量函数F(t,x)在axb,lx上连续，t0a,b试'证明初值问题：xA(t)xF(t,x)(*)(to)的唯一解是积分方程组x(t)(t)1(t0):(t)1(s0F(s,x(s)ds(*)t0的连续解。反之，(*)的连续解也是初值问题(8)的解。证明：若是(*)的唯一解则由非齐线性方程组的求解公式1t1_(t)(t)1(