《九章算术》中的更相减损术

1、小课题：九章算术中约分术与更相减损术课题：九章算术中约分术与更相减损术总课时：1 教学目标： 1.理解九章算术中约分术与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析； 教学重难点理解九章算术中约分术与更相减损术与更相减损术求最大公约数的方法 教学方法：多媒体课件教学过程： 一、导入 九章算术是中国古代最著名的数学著作，大约在公元前后成书，此书奠定了中国古代数学的基本特点.“算法化”就是其一.用现在的观点来看,九章算术中的“术”就是算法,本文以该著作中“方田”这一章的“约分术”为例说明之，在这一章中，有一个求两数91与49的最大公约数的问题:“又有九十一分之四十九，问约之得几何。答日

2、:十三分之七.”然后给出求两数最大公约数的方法，即“约分术”一可半者半之，不可半者，副置分母子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之。将这个方法翻译成现代汉语:分子和分母如果都是偶数，就用2除,直到至少有一个不是偶数为止;如果不全是偶数，则直接把表示分子和分母的数分置两列，然后从大数中减去小数，把差算作原数与原来的小数比较，仍然采用以大减小的方式，持续地辗转相减，直到两列得到的数相等，这个相等的数就是分子和分母的最大公约数。2、 举例讲解 这个“约分术”可用于求任意两数的最大公约数.下面按这一-“术” 将求91与49的最大公约数的过程表述如下: 91 49(91-49) = 42(42

3、-7)=35 7(= 49- 42)(35-7) = 28(28-7) = 21(21 -7) = 14(14-7)=7 7= 7最后得出的两边相等的数7即为最大的公约数.用现代算法观念来考察这个“术"，可见它具有以下特点:(1)它是一个严格“一义”的规定,不可能有歧义的理解;(2)在实施这一过程时，每一时刻都知道下一时刻(或每一一步都知道下一一步)怎么办;(3)能解决求两个数(任意正整数)的最大公约数这一-类问题;(4)由于任意给定的数都是有限的,辗转相减，一定能在有限步内减到“最后”一步.即能在有限步内得出结果。三、更相减损术 中国古代的数学专著九章算术中也有求最大公约数的算法，

4、就是更相减损术. 即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.” 翻译为现代语言如下： 第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. 例2 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即： 986335 最早的文字记载见于九章算术"方田"章"约分术&qu

5、ot;，用于求一个分数的分子、分母的最大公约数.具体方法参见"约分"条.后又被中国古代数学家推广应用于求最小公倍数、解一次不定方程和一次同余式组以及解线性方程组等. 约分术有以下七种:1.约分术 2. 密率术 3. 盈不足术4. 方程术5.少广术6. 均输术7. 衰分术板书设计：九章算术中约分术与更相减损术 约分术：91 49(91-49) = 42(42-7)=35 7(= 49- 42)(35-7) = 28(28-7) = 21(21 -7) = 14(14-7)=7 7= 7最后得出的两边相等的数7即为最大的公约数.更相减损术： 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即： 986335教学后记： 1.教材原有的顺序为先引入约分术再讲更相减损术，我将教材顺序作了调整，这种调整更加符合学生的认知规律，也更好地体现了化归思想。 2.在课堂教学设计中，从设置情景到提出问题，到动手操作、交流，直至归纳得到结论，整个过程学生不仅探索了求最大公约数的方法更相减损术，还初步认识约分法。更重要的是经历了知识的形成过程，掌握了一种分析问题、解