华北电力大学课件工程电磁场2

1、工程电磁场工程电磁场电信教研室电信教研室 苑东伟苑东伟20132013年年3 3月月第一章第一章 静态电磁场静态电磁场I I ：静电场：静电场2 21 1 基本方程与场的特性基本方程与场的特性SVVSlSSldVdVqliDdSDdSBdEdSHdSJdlHc0cJH 0E B = 0 D = 此时电场和磁场失去耦合关系，分为静电场和静磁场两种情况此时电场和磁场失去耦合关系，分为静电场和静磁场两种情况时变电场时变电场时变磁场时变磁场时变电磁场时变电磁场散度源散度源时变电荷时变电荷无无时变电荷时变电荷漩涡源漩涡源变化的磁场变化的磁场 传导电流传导电流（运流电流）（运流电流）变化的电场变化的电场变

2、化的磁场变化的磁场传导电流传导电流（运流电流）（运流电流）变化的电场变化的电场场特性场特性有散有旋场有散有旋场 无散有旋场无散有旋场 有散有旋场有散有旋场1. 1. 静电场的基本方程静电场的基本方程0SlqD dSE dlDE = 0DE静电场是有散静电场是有散( (有源有源) )、无旋场、无旋场亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理无界空间矢量场无界空间矢量场唯一的由其散度和旋度所确定唯一的由其散度和旋度所确定2.2.真空中的高斯定理真空中的高斯定理. .静电场的有散性静电场的有散性0 E00qdVdVSSE E 0， 0， 0 E = 0， = 0建立了场建立了场源关系，特别适用于对称场的分析源关系，特

3、别适用于对称场的分析例例2 21 1 已知真空中在半径为已知真空中在半径为a a的球形空间内分的球形空间内分布有呈球对称形态的电荷，它在其球形分布区布有呈球对称形态的电荷，它在其球形分布区域内外产生的空间电场分别为，域内外产生的空间电场分别为，试求该电荷分布。试求该电荷分布。02201( )(0)2( )()2rrraararE reE re3 3静电场的无旋性静电场的无旋性E00ddddSSElElElEBnAAmBAmBnAAnBBnAAmBlElElEddd图 电场力作功与路径无关（P41,图2-2）在静电场中，电场力作功与路径无关，在静电场中，电场力作功与路径无关，仅取决于起点和终点的

4、位置。仅取决于起点和终点的位置。与重力场相仿，静电场是保守力场，或称为位场。与重力场相仿，静电场是保守力场，或称为位场。 例例2 22 2 已知真空中在半径为已知真空中在半径为a a的球形空间内分的球形空间内分布有呈球对称形态的电荷，它在其球形分布区布有呈球对称形态的电荷，它在其球形分布区域内外产生的空间电场分别为，域内外产生的空间电场分别为，试求该静电场的旋度。试求该静电场的旋度。02201( )(0)2( )()2rrraararE reE re2.22.2自由空间中的电场自由空间中的电场1 1 自由空间中的电场强度自由空间中的电场强度 和电位和电位 E rArrE由亥姆霍兹定理由亥姆霍兹

5、定理 VVd41rrrEr VVd41rrrErA V0VdR41rr rrE 0A r标量函数标量函数 ( (r)r)为静电场的标量电位函数，简称电位。为静电场的标量电位函数，简称电位。 空间中任一点静电场的电场强度空间中任一点静电场的电场强度E E等于该点电位梯度的负值。等于该点电位梯度的负值。 rrE()=0 E=0 rrE或由另一种角度引出或由另一种角度引出电场力将点电荷电场力将点电荷q q 沿任意路径从沿任意路径从P P点移动到点移动到Q Q点所作的功为点所作的功为)(QPQPQPQPqdlqdqdqWlllE由此定义由此定义PQPQ两点间的电位差（电压）为两点间的电位差（电压）为P

6、QPQWUq由电场强度求电位的关系式由电场强度求电位的关系式如果以如果以Q Q点为零电位参考点，则点为零电位参考点，则P P点电位为点电位为如果以无穷远点为零电位参考点，则如果以无穷远点为零电位参考点，则P P点电位为点电位为dQPPEldPPEl实际工程上，常以大地表面为电位参考点实际工程上，常以大地表面为电位参考点dPPEl rrE电场强度与电位的关系电场强度与电位的关系2 2 场分布：基于场量场分布：基于场量 的分析的分析 VdR14VdR4V0V0rrrERzRyRxR1111zyxeee2331RRzzyyxxRRzyxeReee VdR41RV20errEE线电荷线电荷面电荷面电荷

7、体电荷体电荷 dlR41Rl20errE dSR41RS20errE VdR41RV20errEdd =d = d qVSl=元电荷元电荷点电荷的电场强度，可利用对称性由高斯定理分析点电荷的电场强度，可利用对称性由高斯定理分析 R20Rq41errE)( 21014knkRkkqRE re多个点电荷产生的电场强度由叠加定理得到多个点电荷产生的电场强度由叠加定理得到电位和电场强度的求解思路电位和电场强度的求解思路 rrE pplErd思路一：先求电位，再利用思路一：先求电位，再利用思路二：先求电场强度，再利用思路二：先求电场强度，再利用，求电位。，求电位。 ，求电场强度。，求电场强度。对于场结构

8、（场源与场空间媒质结构）具有对称性（球对称、柱对对于场结构（场源与场空间媒质结构）具有对称性（球对称、柱对称或面对称）的静电场问题，可以利用高斯定理求解电场强度。称或面对称）的静电场问题，可以利用高斯定理求解电场强度。 例例2-32-3：真空中有限长直线段：真空中有限长直线段l l上均匀分布线电荷密度上均匀分布线电荷密度为为 的电荷，如图所示。求线外中垂面上任意场点的电荷，如图所示。求线外中垂面上任意场点P P处的电场强度处的电场强度。 图 有限长直线电荷沿方向的电场02P Ee无限长带电直线电场无限长带电直线电场 例例2-42-4：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场：求真空中球状分布电荷所

9、产生的空间电场强度和电位分布，设电荷体密度为强度和电位分布，设电荷体密度为ararr 00 13 3 场分布：基于场量场分布：基于场量 的分析的分析dd =d = d qVSl=元电荷元电荷线电荷线电荷 l0dlR41rr面电荷面电荷 S0dSR41rr体电荷体电荷 VVdRrr041点电荷点电荷 1014nkkkqRr例例2 25 5 设真空中电荷在半径为设真空中电荷在半径为a a的圆盘形平面域中的圆盘形平面域中均匀分布，其电荷面密度分布函数为均匀分布，其电荷面密度分布函数为 。试求：。试求：1 1 与该均匀带电圆盘形平面相垂直的轴线上的电位分布；与该均匀带电圆盘形平面相垂直的轴线上的电位分

10、布；2 2 轴线上的电场强度。轴线上的电场强度。02zEe无限大带电平面电场无限大带电平面电场例例2-62-6求电偶极子产生的空间电场强度与电位分布。求电偶极子产生的空间电场强度与电位分布。图 电偶极子定义电偶极矩定义电偶极矩p p（简称电矩，（简称电矩，即即p p = = qdqd，d d为正负电荷间的为正负电荷间的距离，且规定距离，且规定d d的方向由负电的方向由负电荷指向正电荷）。荷指向正电荷）。在电介质中的场与电磁波辐在电介质中的场与电磁波辐射场等问题的分析中，电偶射场等问题的分析中，电偶极子作为基本激励单元具有极子作为基本激励单元具有实际应用价值。实际应用价值。 仅考虑仅考虑r r

11、d d 的情况，现采用球坐标系的情况，现采用球坐标系 211202104114rrrrqrrq应用叠加原理，任意点应用叠加原理，任意点P P处的电位为：处的电位为： 当当r r很大时，很大时，r r1 1、r r2 2和和r r三者将近乎平行，此时三者将近乎平行，此时r r2 2 r r1 1 d dcoscos ，r r1 1r r2 2 r r2 2 2r020r41r4qdepcose e eeEsincosr30r2r4pr1r电偶极子的电场特性明显不同于点电荷的电场电偶极子的电场特性明显不同于点电荷的电场4 4 电力线和等位面（线）电力线和等位面（线）电力线电力线( (E E 线线)

12、 )的概念是法拉第提出的，是用图形的概念是法拉第提出的，是用图形描绘电场分布的有效工具之一。描绘电场分布的有效工具之一。E E线定义为其上任线定义为其上任一点的切线方向应与该点电场强度方向相一致，一点的切线方向应与该点电场强度方向相一致，即：即：E dl = 0在直角坐标系下，有在直角坐标系下，有 0eee eeeeeezzyxyxzxzyzyxzyyxxdxEdyEdzEdxEdyEdzEdzdydxEEEzyxEdzEdyEdx 等位面是用图形描绘电场分布的另一种有效工等位面是用图形描绘电场分布的另一种有效工具。根据电场强度的定义，等位面分布愈密，具。根据电场强度的定义，等位面分布愈密，该

13、处电场场强愈高，且电力线与等位面正交。该处电场场强愈高，且电力线与等位面正交。 例例2 27 7 描绘电偶极子远区的场图（等电位线和电场线）。描绘电偶极子远区的场图（等电位线和电场线）。z图 电偶极子远区场图(P54,图2-10)2 23 3 导体和电介质导体和电介质1 1 静电场中的导体静电场中的导体 导体内部导体内部E E = 0 = 0，是一个等位体，导体表面必与其外侧的电力，是一个等位体，导体表面必与其外侧的电力线正交，电荷以面电荷密度的形式分布在导体表面，且其分布线正交，电荷以面电荷密度的形式分布在导体表面，且其分布密度取决于导体表面的曲率。密度取决于导体表面的曲率。 静电场中的导体

14、处于静电平衡状态；静电场中的导体处于静电平衡状态；导体内部电场处处为零；导体内部电场处处为零；所有电荷分布在导体表面上；所有电荷分布在导体表面上；导体内部是等位体，导体表面是等位面；导体内部是等位体，导体表面是等位面；导体表面的电场垂直于导体表面。导体表面的电场垂直于导体表面。2 2 静电场中的电介质静电场中的电介质 （绝缘体）（绝缘体） 极化极化 极化现象：束缚电荷在外电场作用下的响应。极化现象：束缚电荷在外电场作用下的响应。 位移极化（无极分子）位移极化（无极分子） 取向极化（有极分子）取向极化（有极分子）电极化强度矢量：极化后形成的每单位体积内电电极化强度矢量：极化后形成的每单位体积内电

15、 偶极矩的矢量和，即偶极矩的矢量和，即 VVpP0lim(C/m2 ) 其中其中p = qd 实验结果表明实验结果表明: : P P = e0E E e e称为电介质的电极化率，它是一个无量纲的正实数。称为电介质的电极化率，它是一个无量纲的正实数。 E E是电介质中的合成电场强度是电介质中的合成电场强度形成极化电场形成极化电场电介质的分类：电介质的分类：l均匀：媒质特性不因空间坐标而变，电极化率均匀：媒质特性不因空间坐标而变，电极化率为常数；为常数；l各向同性：媒质特性不因场量方向而变，电极各向同性：媒质特性不因场量方向而变，电极化率与电场方向无关；化率与电场方向无关；l线性：媒质特性不随场量

16、的量值而变，电极化线性：媒质特性不随场量的量值而变，电极化率的值不随电场强度的量值变化。率的值不随电场强度的量值变化。各向同性的均匀线性介质各向同性的均匀线性介质束缚电荷（极化电荷）密度束缚电荷（极化电荷）密度 图 电介质的极化电场(P57, 图2-11)(b) 束缚电荷建立的电场(a) 束缚电荷分布的示意图体积元体积元d dV V 内的等效电偶极子的电偶极矩为内的等效电偶极子的电偶极矩为p p = = P P( (r r ) )d dV V 它在远区它在远区P P点处产生的电位为点处产生的电位为 VdRRd202044RRerPep体积体积V V 内所有电偶极矩在内所有电偶极矩在P P点产生

17、的合成电位为：点产生的合成电位为： VVdRd1410rPrRRR112Re因为因为由由 AAAAAAPPPRRR111 VSnVVVdRrRSdrVdRrVdRrPPPPr00041e41141 VVdRrr041 VSnVVVdRrRSdrVdRrVdRrPPPPr00041e41141 S0dSR41rr因为因为 P = P en极化电荷面密度极化电荷面密度 极化电荷体密度极化电荷体密度 EEP00eeP P P = 0 = 0，极化电荷只出现在介质的表面上（面极化电荷）。，极化电荷只出现在介质的表面上（面极化电荷）。 可以证明，均匀介质内部没有自由电荷，其内部也无可以证明，均匀介质内部

18、没有自由电荷，其内部也无极化电荷分布。极化电荷分布。介质极化后整体极化电荷分布的总和应等于零介质极化后整体极化电荷分布的总和应等于零 tP0SVqdSdVnP eP极化电荷在真空中所产生的电场极化电荷在真空中所产生的电场 SVSVrrrrrrrdd41PP0 SVSVdd413P3P0rrrrrrrrrrrE 介质极化的物理本质是，存在电介质时的静电场问题，介质极化的物理本质是，存在电介质时的静电场问题，可以转化归结为在真空中自由电荷与极化电荷共同产生可以转化归结为在真空中自由电荷与极化电荷共同产生的静电场。的静电场。1 1 电介质中的高斯定理电介质中的高斯定理PE00P1整理得：整理得： (

19、 ( 0 0E + P)= E + P)= 定义电位移矢量：定义电位移矢量： D =D = 0 0E + PE + P2.4 2.4 电介质中的电场电介质中的电场D D的源量是自由电荷；的源量是自由电荷；E E的源量是自由电荷和极化电荷。的源量是自由电荷和极化电荷。电介质中高斯定理的积分和微分形式电介质中高斯定理的积分和微分形式0SlqD dSE dlDE = 0介质中穿过任一闭合面介质中穿过任一闭合面S S的电位移矢量的电位移矢量D D的通量的通量等于该闭合面内自由电荷的代数和。等于该闭合面内自由电荷的代数和。电位移本身就表征着介质极化的物理本质。电位移本身就表征着介质极化的物理本质。适用于

20、求解对称场问题适用于求解对称场问题对于均匀且各向同性的线性电介质对于均匀且各向同性的线性电介质 EEEPEDre000)1 (00)1 (reer10相对介电常数相对介电常数 介电常数介电常数 2 2 介电常数介电常数 击穿场强击穿场强l介质击穿：在很强的电场作用下，介质中的束缚电荷可能介质击穿：在很强的电场作用下，介质中的束缚电荷可能脱离分子而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，脱离分子而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为介质击穿。称为介质击穿。l某种介质材料所能承受的最大场强就称为该电介质的击穿某种介质材料所能承受的最大场强就称为该电介质的击穿场强，或称为该材料的电介质强

21、度。场强，或称为该材料的电介质强度。 （表（表2-12-1）l空气的击穿场强空气的击穿场强3 310106 6V/mV/m（30kV/cm30kV/cm）。场强超过，空气击）。场强超过，空气击穿，发生电晕。穿，发生电晕。例例2 28 8 一理想的平板电容器由直流电压源一理想的平板电容器由直流电压源U U充电后充电后又重新断开电源，然后在两极板间插入一厚度为又重新断开电源，然后在两极板间插入一厚度为d d的的均匀介质板，其介电常数为均匀介质板，其介电常数为 。忽略板间电场的边缘效应，试求：忽略板间电场的边缘效应，试求：（1 1）插入介质板前后平行板间各点的电场强度、）插入介质板前后平行板间各点的

22、电场强度、 电位移和电位，以及极板上的自由电荷分布；电位移和电位，以及极板上的自由电荷分布；（2 2）介质板表面和内部的极化电荷分布。）介质板表面和内部的极化电荷分布。0r= 例例2-9 2-9 同轴电缆其长度同轴电缆其长度L L远大于截面半径，已远大于截面半径，已知内、外导体半径分别为知内、外导体半径分别为a a和和b b。其间充满介电。其间充满介电常数为常数为 的介质，将该电缆的内外导体与直流的介质，将该电缆的内外导体与直流电压源电压源U U0 0相联接。试求：相联接。试求：(1)(1)介质中的电场强介质中的电场强度度E E；(2)(2)介质中介质中E Emaxmax位于哪里？其值多大？位

23、于哪里？其值多大？3 3 不同媒质分界面上的边界条件不同媒质分界面上的边界条件 (1)(1)两种不同介质分界面上的边界条件两种不同介质分界面上的边界条件 lE E 的切向分量满足的边界条件的切向分量满足的边界条件 令令 l l2 200而而 l l1 1足够地短足够地短 0121111lElEdlEdlEdlEttl2l1l E1t = E2t 两种介质分界面上，电场强度的切向分量连续。两种介质分界面上，电场强度的切向分量连续。012nEEelD D 的法向分量满足的边界条件的法向分量满足的边界条件 令两个底面令两个底面 S S足够小且平行于分足够小且平行于分界面，圆柱面高度界面，圆柱面高度

24、l l0 0 SSDDdn1n2SSDD2n-D1n= 或或 en (D2 - D1 ) = 一般两种介质分界面上不存在自由电荷一般两种介质分界面上不存在自由电荷( ( = 0 = 0) )，此时有此时有D1n = D2n 或或 en (D2 - D1 ) = 0两种介质分界面上，电位移的法向分量连续。两种介质分界面上，电位移的法向分量连续。 若两种介质均为线性且各向同性，即若两种介质均为线性且各向同性，即D D1 1= = 1 1E E1 1，D D2 2= = 2 2E E2 2，应，应有有 1 1= = 1 1， 2 2= = 2 2。两种介质分界面上通常不可能存在面分。两种介质分界面上

25、通常不可能存在面分布形式的自由电荷布形式的自由电荷( ( = 0), = 0), 2211sinsinEE222111coscosEE两式相除，得两式相除，得2121tgtgl介质分界面上的极化电荷介质分界面上的极化电荷 nnnnPPpPP212121ePeP 结合结合nnnPED0)(120nnpEEl静电场的折射定律静电场的折射定律由于介质的不均匀性而产生的极化电荷效应是由于介质的不均匀性而产生的极化电荷效应是造成分界面上场量不连续性的原因。造成分界面上场量不连续性的原因。（2) 2) 导体与电介质交界面上的边界条件导体与电介质交界面上的边界条件设导体为媒质设导体为媒质1 1、导体外介质为

26、媒质、导体外介质为媒质2 2，并考虑到导体内部，并考虑到导体内部电场强度和电位移矢量均为零且其电荷只能分布在导体表电场强度和电位移矢量均为零且其电荷只能分布在导体表面，电力线垂直于导体表面。面，电力线垂直于导体表面。 021ttEE02tDnD2/2nE (3) (3) 由电位由电位 表述的边界条件表述的边界条件 ttEE21nn112221nnDD12 两种介质分界面上的边界条件两种介质分界面上的边界条件 C21n22导体和介质分界面上的边界条件导体和介质分界面上的边界条件 例例2 21010：一平行板电容器，其极板间介质由两种绝缘材料：一平行板电容器，其极板间介质由两种绝缘材料组成，介质的

27、分界面与极板平行。设电容器外施电压为组成，介质的分界面与极板平行。设电容器外施电压为U U0 0，忽略其电场的边缘效应。忽略其电场的边缘效应。试求：试求：(1)(1)两绝缘材料中的电场强度；两绝缘材料中的电场强度； (2)(2)极板上的电荷面密度。极板上的电荷面密度。讨论：本例中，设讨论：本例中，设 r2r2 r1r1，则，则E E1 1 E E2 2。在实际中，如果因制造工艺上的不完在实际中，如果因制造工艺上的不完善性，使极板与绝缘材料间留有一空善性，使极板与绝缘材料间留有一空气层，设绝缘材料的相对介电常数为气层，设绝缘材料的相对介电常数为 r2r2，则空气层中电场强度，则空气层中电场强度E

28、 E1 1将为绝缘将为绝缘材料中电场强度材料中电场强度E E2 2的的 r2/r2/ r1r1倍，这很倍，这很容易由于空气层被击穿而导致电容器容易由于空气层被击穿而导致电容器的损坏。的损坏。2.5 2.5 边值问题边值问题 1 1 数学模型边值问题数学模型边值问题解析法解析法数值法数值法直接法直接法有限元法有限元法间接法间接法有限差分法有限差分法分离变量法分离变量法直接积分法直接积分法镜像法镜像法很多剖分数值方法很多剖分数值方法2.5 2.5 边值问题边值问题 1 1 数学模型边值问题数学模型边值问题l泛定方程泛定方程泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 DED 把 代入代入 得得EE

29、ED 对于均匀介质，对于均匀介质， 为常数。再代入为常数。再代入E 得得/2对于场中无自由电荷分布对于场中无自由电荷分布( ( = 0)= 0)的区域，的区域， 02在直角坐标系中在直角坐标系中 2222222zyxl定解条件边界条件定解条件边界条件 (1)(1)给定的是场域边界给定的是场域边界S S上的电位值，边界条件称为第一类边界上的电位值，边界条件称为第一类边界条件，它与泛定方程组合成第一类边值问题。条件，它与泛定方程组合成第一类边值问题。 b1rrfS(2)(2)给定的是场域边界给定的是场域边界S S上电位的法向导数值，边界条上电位的法向导数值，边界条件称为第二类边界条件，它与泛定方程

30、组合成第二件称为第二类边界条件，它与泛定方程组合成第二类边值问题。类边值问题。 b2rrfnS(3)(3)给定的是场域边界给定的是场域边界S S上电位及其法向导数的线性组合，边界上电位及其法向导数的线性组合，边界条件称为第三类边界条件，它与泛定方程组合成第三类边值条件称为第三类边界条件，它与泛定方程组合成第三类边值问题。问题。 b43rrrrfnfS 如果场域扩展至无界空间，则还必须给出无限远处的边界条如果场域扩展至无界空间，则还必须给出无限远处的边界条件。对于电荷分布在有限区域的无界电场问题，根据物理问件。对于电荷分布在有限区域的无界电场问题，根据物理问题的本质，在无限远处题的本质，在无限远

31、处( (r r ) )应有应有 有限值rrrlim这表明这表明r r 在无限远处是有界的，即电位在无限远处是有界的，即电位 在无限远在无限远处为零处为零 ( ( ( (r r)|)| r r = 0)= 0)。 当场域当场域V V中有多种媒质时，对于由不同均匀介质或有无电荷中有多种媒质时，对于由不同均匀介质或有无电荷分布所界定的各个子场域中，分域设定待求场函数，写出对分布所界定的各个子场域中，分域设定待求场函数，写出对应的泛定方程。定解条件除场域的边界外，还必须相应的给应的泛定方程。定解条件除场域的边界外，还必须相应的给出各个子场域之间不同介质分界面上的边界条件，此类定解出各个子场域之间不同介

32、质分界面上的边界条件，此类定解条件也称为辅助的边界条件（衔接条件）。条件也称为辅助的边界条件（衔接条件）。3. 3. 直接积分法直接积分法 例例2 21111： 二块半无限大的导电平板构成夹角为二块半无限大的导电平板构成夹角为 的电极系的电极系统，设板间电压为统，设板间电压为U U0 0，如图所示。试求导板间电场，并绘出场，如图所示。试求导板间电场，并绘出场图。图。 解解 可以判定，可以判定， ( (r r)=)= ( ( ) )仅为一个仅为一个坐标变量坐标变量 的函数，因而可以写出如的函数，因而可以写出如下的第一类边值问题：下的第一类边值问题： 002220 , 0ddUD将泛定方程直接积分

33、二次，即得通解为将泛定方程直接积分二次，即得通解为 21CC由给定的二个边界条件，可以确定式中待定的积分常数由给定的二个边界条件，可以确定式中待定的积分常数C C1 1和和C C2 2为，为，01UC 02C因此，电位的解为：因此，电位的解为：0U电场强度的解为：电场强度的解为：ee01UE 角形电极系统的场图角形电极系统的场图AB在夹角顶端电场强度最大在夹角顶端电场强度最大在工程背景下，在工程背景下，由泛定方程和边界条件构成的定解问题要求由泛定方程和边界条件构成的定解问题要求是是适定适定的，即要求解是的，即要求解是存在存在的，的，稳定稳定的，和的，和唯一唯一的。的。满足给定边界条件的泊松方程

34、或拉普拉斯方程的解是唯一的，满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的，这也称作静电场的这也称作静电场的唯一性定理唯一性定理。 4 4 静电场解的唯一性静电场解的唯一性l静电场唯一性定理的重要意义在于，求解静电场问题静电场唯一性定理的重要意义在于，求解静电场问题时，不论采用哪一种解法，只要在场域内满足相同的时，不论采用哪一种解法，只要在场域内满足相同的偏微分方程、在边界上满足相同的给定边界条件，就偏微分方程、在边界上满足相同的给定边界条件，就可确信其解答是正确的。可确信其解答是正确的。l即只要在场域内场源分布不变的前提下，满足给定的即只要在场域内场源分布不变的前提下，满足给定的边界条

35、件，结果不变。边界条件，结果不变。 2.6 2.6 镜象法镜象法当点电荷附近存在导体或者电介质时，由于点电荷电场的激励，当点电荷附近存在导体或者电介质时，由于点电荷电场的激励，在导体或介质表面上将呈现感应（自由）电荷或极化（束缚）在导体或介质表面上将呈现感应（自由）电荷或极化（束缚）电荷，因而，场域中的电场为合成场。但是，场域界面上的感电荷，因而，场域中的电场为合成场。但是，场域界面上的感应电荷或极化电荷的分布是待定的未知量，无法应用叠加原理应电荷或极化电荷的分布是待定的未知量，无法应用叠加原理求该合成电场。然而，当界面形状比较规则时，基于前述的唯求该合成电场。然而，当界面形状比较规则时，基于

36、前述的唯一性定理，可以采用一性定理，可以采用镜像法求解镜像法求解。镜象法的实质镜象法的实质是以一个或多个位于场域边界外虚设的镜象是以一个或多个位于场域边界外虚设的镜象( (等效等效) )电荷替代实际边界上未知的较为复杂的电荷分布，将原来具有电荷替代实际边界上未知的较为复杂的电荷分布，将原来具有边界的非均匀空间变换成无限大均匀媒质的空间，从而使计算边界的非均匀空间变换成无限大均匀媒质的空间，从而使计算过程得以简化。过程得以简化。 l根据唯一性定理可知，这些等效电荷的引入必须维持原问题根据唯一性定理可知，这些等效电荷的引入必须维持原问题边界条件不变，以保证原场域中的静电场分布不变，这也是边界条件不

37、变，以保证原场域中的静电场分布不变，这也是确定等效电荷量值和位置的依据。通常这些等效电荷位于镜确定等效电荷量值和位置的依据。通常这些等效电荷位于镜象位置，故称象位置，故称镜象电荷镜象电荷，由此构成的分析方法即称为，由此构成的分析方法即称为镜象法镜象法。 1. 1. 点电荷与无限大接地导电平面系统的电场（大地上方传点电荷与无限大接地导电平面系统的电场（大地上方传输线电场，雷电云形成的大气电场）输线电场，雷电云形成的大气电场） 点电荷情况：点电荷情况： 2 = 0 |z=0 = 0222221hz1hz14qr1r14qz,当当r r1 1=r=r2 2时，电位时，电位0 0无限大接地导电平面上的

38、感应电无限大接地导电平面上的感应电荷的面密度分布为荷的面密度分布为232202hqhzEDzznqqhdd2qhdS02022S23 镜象电荷镜象电荷q q 等效了无限大接地导电平面上的全部感应电荷。等效了无限大接地导电平面上的全部感应电荷。 Dq- q- q- qqq=/3夹角为夹角为 /3/3的导电劈可以引入的导电劈可以引入5 5个个镜象电荷，以保证劈形边界电位镜象电荷，以保证劈形边界电位为零的边界条件。为零的边界条件。 （/3/3时的情况）时的情况） 2.2.电轴与无限大接地导电平面系统的电场电轴与无限大接地导电平面系统的电场电轴：截面面积忽略不计的（无限）长直带电圆柱导线。电轴：截面面

39、积忽略不计的（无限）长直带电圆柱导线。 (-+o yP(x,y)介质0导体xb1DD(-b,0) yP(x,y)0 x+10(b,0)2e2e1oQ21PPPeeEEE201022 由于电轴延长至无限远，所以不由于电轴延长至无限远，所以不能取无穷远处为电位参考点。能取无穷远处为电位参考点。取取Q Q点为电位参考点，则点为电位参考点，则P P点电位点电位为：为： 12022011000P2C22d2d2211lnlnlnlnlnQQ2QQ 设在无限大接地导电平面上，即设在无限大接地导电平面上，即 1 1 = = 2 2时，时， = 0= 0，即电位参，即电位参考点考点Q Q应选在接地导电平面上，

40、即在应选在接地导电平面上，即在y y轴上，轴上， Q1Q1 = = Q2Q2，所以，所以C C = 0= 0。由上式，场中任意点电位为：。由上式，场中任意点电位为： 2122220120Pybxybx22lnln可以进一步获得其等位线分布。按等位线定义有可以进一步获得其等位线分布。按等位线定义有 2 2/ / 1 1=K=K，平，平方得：方得： 222222122Kybxybx2222221211KbKybKKx上式为直角坐标系中圆的方程。所以上式为直角坐标系中圆的方程。所以在在xoyxoy平面上，等位线分布是如图虚平面上，等位线分布是如图虚线所示的一簇圆。对应于某一给定的线所示的一簇圆。对应

41、于某一给定的K K值，圆心坐是值，圆心坐是 ，圆半，圆半径是径是 。对于每个等位圆轨迹而言，圆半径对于每个等位圆轨迹而言，圆半径a a、圆心到原点的距离圆心到原点的距离h h和线电荷至原点和线电荷至原点的距离的距离b b三者间关系为：三者间关系为： h h2 2 = = a a2 2 + + b b2 2亦即亦即 a a2 2 = = h h2 2 - - b b2 2=(=(h h + + b b)()(h h - - b b) )0b1K1Kh22 ,122KbKal这表明，两线电荷这表明，两线电荷( ( ) )位置对每个等位圆的圆心来说，位置对每个等位圆的圆心来说，满足圆的几何上反演的关

42、系。此外，当满足圆的几何上反演的关系。此外，当P P点位于点位于y y轴右侧轴右侧时，因时，因 2 2/ / 1 1= =K K11， P P皆为正值；当皆为正值；当P P点位于点位于y y轴左侧时，轴左侧时，则则 P P 皆为负值。皆为负值。3 3电轴法电轴法基于线电荷对无限大接地导电平面的镜像分析，我们可以进而基于线电荷对无限大接地导电平面的镜像分析，我们可以进而讨论两同半径、带有等量异号电荷的平行长直圆柱导体间的电讨论两同半径、带有等量异号电荷的平行长直圆柱导体间的电场问题。场问题。 尽管圆柱导体表面电荷面密度不是常量，但沿轴向单位长电荷尽管圆柱导体表面电荷面密度不是常量，但沿轴向单位长

43、电荷分布分布( (线密度线密度 ) )是相同的，圆柱导体表面为等位面。若设想圆柱是相同的，圆柱导体表面为等位面。若设想圆柱导体表面与线电荷对应的等位面重合（即边界导体表面与线电荷对应的等位面重合（即边界不变），即可不变），即可以用等效线电荷计算圆柱导体外的电场分布，该线电荷就是圆以用等效线电荷计算圆柱导体外的电场分布，该线电荷就是圆柱导体表面电荷的等效电荷（也可等效为电轴与无限大接地导柱导体表面电荷的等效电荷（也可等效为电轴与无限大接地导体平板系统的电场）。为表述方便，成这个线电荷为圆柱导体体平板系统的电场）。为表述方便，成这个线电荷为圆柱导体的等效电轴，这种方法称为的等效电轴，这种方法称为电

44、轴法电轴法。 l设圆柱导体半径为设圆柱导体半径为a a，间距为，间距为2 2h h，电轴间距为，电轴间距为2 2b b。三者之。三者之间的关系为间的关系为 ahahahb22(a) 同半径两线输电线系统(b) 电轴法图示 yxaaho-+Dhbb图 电轴法（P85，图2-25）xaahho y-+Ddl例例2-152-15：半径为：半径为a a的传输线平行于地面，传输线轴心对地高的传输线平行于地面，传输线轴心对地高度为度为h h，对地电位为，对地电位为U U0 0，如图所示。试求：，如图所示。试求：(1)(1)大地上方传输大地上方传输线的电场；线的电场；(2)(2)场域最大电场场强的位置及其数

45、值。场域最大电场场强的位置及其数值。 AaU0oh x0D图 传输线的电场 解解 ：(1)(1)首先，由电轴法确定电轴的位置，得首先，由电轴法确定电轴的位置，得 22ahb大地上方任意场点大地上方任意场点P P处的电位为处的电位为2122220120ybxybx22lnln由传输线表面点由传输线表面点A A的电位的电位U U0 0，得，得)()(lnahbahb2U00A)()(lnahbahbU200大地上方任意场点大地上方任意场点P P处的电位为处的电位为2122220ybxybxahbahbUln)()(ln0P(x, y) y12Ao x0D图 同半径圆柱体电轴法haahbb-+(2)

46、(2)显然，最大场强将出现在导线相距地面最近处，即点显然，最大场强将出现在导线相距地面最近处，即点A A处，处，bhaahbbahbU2xnE2200yahx0yahxnAlnmaxeE等位线在圆柱下方最密集等位线在圆柱下方最密集两半径不同的圆柱导体电场：两半径不同的圆柱导体电场： 轴心距轴心距d = hd = h1 1 +h +h2 2 或或 d = hd = h2 2 -h -h1 1( (设设a a2 2 a a1 1) )。 可以应用电轴法计算这两种情况的电场问题。其关键问题仍可以应用电轴法计算这两种情况的电场问题。其关键问题仍然是确定等效电轴的位置。显然然是确定等效电轴的位置。显然

47、h12 = b2 + a12 ， h22 = b2 + a22 , d= h2 h1xd ya2a1h1o-(a) 平行传输线的电轴法图示h222222bb+x ya2a1h1o-(b) 偏心同轴电缆的电轴法图示)(p63,例2-9)h2bb+图 半径不同圆柱导体的电轴法（P87，图2-29）daadh2222121daadh2212222212121ahb)(4 4点电荷与无限大介质平面系统的电场点电荷与无限大介质平面系统的电场(b) 上半空间电场计算的镜象(a) 无限大介质平面上的点电荷(c)下半空间电场计算的镜象Pr q E222E2tE2nD2h图 无限大介质平面镜像D1qrE1E1t

48、PE1h11hq q2en1D1hD2P1P2q =q+q 对于分界面上任意点对于分界面上任意点P P，由其上的边界条件，由其上的边界条件E E1t1t= = E E2t2t和和D D1n1n= = D D2n2n，cos4cos4cos4222121rqrqrq sin4sin4sin4222rqrqrq q2qqq2122121 ,总结：总结：1 1、计算区域计算区域称为称为有效区有效区，镜像电荷区域镜像电荷区域称为称为无效区无效区2 2、镜像电荷放置于无效区、镜像电荷放置于无效区对于线电荷对于线电荷 与无限大介质平面系统的电场，可类比推得。与无限大介质平面系统的电场，可类比推得。 qqq

49、qqqq ,5 5点电荷对导体球系统的电场点电荷对导体球系统的电场导体球接地：导体球接地：qaodDqaodDr-qrbP04400Prqrqcoscosab2baad2darrqq22222222得得 q2(a2+b2)-q 2(a2+d2)+2a(q 2d - q2b)cos = 00bqdq0daqbaq22222222 ,点电荷点电荷q q和其镜象电荷和其镜象电荷- -q q 的位置，满足球反演的几何关系。根的位置，满足球反演的几何关系。根据据q q及及- -q q 即可方便地计算点电荷在接地导体球外的电场分布。即可方便地计算点电荷在接地导体球外的电场分布。可以证明，接地导体球面上感应

50、电荷的总量等于可以证明，接地导体球面上感应电荷的总量等于- -q q 。 当当aa时时，b0b0，dd，qqqq，即为点电荷即为点电荷q q对无限大接对无限大接地导体平面的情况。地导体平面的情况。 qqdbqabqdaqbda , 2导体球不接地且呈电中性情况：导体球不接地且呈电中性情况：保证导体区域内电荷总量为零保证导体区域内电荷总量为零保证导体等电位保证导体等电位此时如导体球原不带净电荷，即呈中性，为使导体球表面上等此时如导体球原不带净电荷，即呈中性，为使导体球表面上等电位，除引入镜象电荷电位，除引入镜象电荷-q-q 外外，还应在原导体球的球心处再引，还应在原导体球的球心处再引入一个镜象电

51、荷入一个镜象电荷q q = = q q ，q q 与与q q 分别表示在导体球上由分别表示在导体球上由q q 感感应出的正负电荷的集合。应出的正负电荷的集合。 -q-q 与与q q 在球面上产生的电位相互抵消，球面上只有在球面上产生的电位相互抵消，球面上只有q q 产生产生的电位。不接地，即的电位。不接地，即q q 没有被没有被q q 排斥到大地里，而是留在了排斥到大地里，而是留在了球心，只有球心，只有q q 被吸引偏离了球心。系统即等效为三个点电荷。被吸引偏离了球心。系统即等效为三个点电荷。 q qaodDr-qrbP无关与aqdaqqdqaqaqPP 444例例2 216 16 一半径为一

52、半径为10cm10cm对地电位为对地电位为U U0 0的高压球形电极如图设的高压球形电极如图设置，离地高度为置，离地高度为50cm50cm，求该高压电极在大地上方形成的电场。，求该高压电极在大地上方形成的电场。2 28 8 电容与部分电容电容与部分电容电容或部分电容是导体系统的重要的集总电气参数，也是电容或部分电容是导体系统的重要的集总电气参数，也是导体系统静电场的集总体现。一般而言，需要借助于电场导体系统静电场的集总体现。一般而言，需要借助于电场分析来计算。分析来计算。1 1两导体的电容两导体的电容定义计算电容定义计算电容C C = = q q/ /U U 例例2 218 18 两半径为两半

53、径为a a、轴心距为、轴心距为d d的平行长直圆柱导体构成一的平行长直圆柱导体构成一对均匀传输线，试求其单位长电容。对均匀传输线，试求其单位长电容。 解解 ：应用电轴法，令：应用电轴法，令h=d/2h=d/2。首先确定电轴位。首先确定电轴位置置 ，基于电轴法的分析结果，两导体表面，基于电轴法的分析结果，两导体表面最近距离对应的点最近距离对应的点A A1 1( (h h- -a a, 0), 0)和点和点A A2 2(-(-h h+ +a a, 0), 0)的电位差为的电位差为22ahb120ln2ahbahbAAln021ahbahbUln0AA21均匀传输线的单位长度电容均匀传输线的单位长度

54、电容 ahbahbUClln0通常有通常有h h a a，此时，此时b bh h，故，故adah2C00llnlnl电容与导体之间施加的电压或携带的电荷量无关，只与电容与导体之间施加的电压或携带的电荷量无关，只与导体的形状、尺寸、相互位置和电介质有关，是导体系导体的形状、尺寸、相互位置和电介质有关，是导体系统自身固有电气参数。统自身固有电气参数。 2 2部分电容部分电容 对于多导体需要引入部分电容概念。对于多导体需要引入部分电容概念。静电独立系统：系统的电场分布只与系统内各带电导体的形静电独立系统：系统的电场分布只与系统内各带电导体的形状、尺寸、相互位置和电介质的分布有关，而与系统外的带状、尺

55、寸、相互位置和电介质的分布有关，而与系统外的带电导体无关，并且所有电位移通量全部从系统内的带电导体电导体无关，并且所有电位移通量全部从系统内的带电导体发出又全部终止于系统内的带电导体。发出又全部终止于系统内的带电导体。 l现考察由现考察由( (n n+1)+1)个导体组成的静电独立系统。令各导体按个导体组成的静电独立系统。令各导体按0 0 - - n n顺序编号，其相应的带电量分别为顺序编号，其相应的带电量分别为q q0 0，q q1 1，q qk k，q qn n。由定义，知。由定义，知q q0 0 + + q q1 1 + + + + q qk k + + + + q qn n = 0=

56、0选选0 0号导体为电位参考点，即号导体为电位参考点，即 0 0= 0= 0，应用叠加原理，可，应用叠加原理，可得各个导体电位与各个导体上电荷的关系为得各个导体电位与各个导体上电荷的关系为nnnknknnnnknkkkkkknnkkqqqqqqqqqqqq221122111 12121111 矩阵形式矩阵形式 = q ijij 称为电位系数称为电位系数 为零，其余导体ijqqjiijq0 iiii 称为自有电位系数，称为自有电位系数， ijij(i(i j)j)称为互有电位函数。显然，称为互有电位函数。显然，电位系数只与导体的形状、尺寸、相互位置以及电介质的介电电位系数只与导体的形状、尺寸、相

57、互位置以及电介质的介电常数有关。常数有关。 q= -1 = nnnknknnnnknkkkkkknnkkqqq221122111 12121111 系数系数 ijij 称为称为，与电位系数之间的关系为，与电位系数之间的关系为 jiijA 是是 行列式行列式，A Ajiji是相应的代数余子式。是相应的代数余子式。 iiii 0 0称为自称为自有感应系数，有感应系数， ijij 0 0 (i(i j)j)称为互有感应系数称为互有感应系数 为零，其余导体接地，电位0jjiijq感应系数也只和导体的形状、相互位置以及介质的介电常数感应系数也只和导体的形状、相互位置以及介质的介电常数有关。有关。 用电网

58、络方法分析导体系统的电气行为，一般将电荷与电位的用电网络方法分析导体系统的电气行为，一般将电荷与电位的关系表达为如下形式的电荷与电压的关系：关系表达为如下形式的电荷与电压的关系： 0022110022111111211201101 nnknnknnnnnnkknkkkkkkknnkkCCCCqCCCCqCCCCq系数系数C Cijij为导体系统的部分电容。对比两种表达形式，可知为导体系统的部分电容。对比两种表达形式，可知C Ci0i0 = = i1i1+ + i2i2+ iiii+ ininC Cijij = = - - ijij ( (i ij j) )式中，式中，C Ci0i0称为导体称为

59、导体i i的的自有部分电容自有部分电容，即各导体与参考导，即各导体与参考导体体( (电位参考点导体电位参考点导体) )之间的部分电容；之间的部分电容；C Cijij称为导体称为导体i i和导和导体体j j互有部分电容互有部分电容，即相应的两个导体间的部分电容，显，即相应的两个导体间的部分电容，显然，然，C Cijij= = C Cjiji 。如图给出了三导体系统的部分电容。如图给出了三导体系统的部分电容。o 1C20C10图 三导体系统的部分电容P95,图2-34C122(0= 0)123 3静电屏蔽静电屏蔽图 静电屏蔽示意图（P98,图2-36）2=0= 0q1,112q3,33330332

60、13313323201212311311211010CCCqCCCqCCCq 2 = 0 =0 设设q q1 1= 0= 0，即导体，即导体1 1不带电，此时导体不带电，此时导体2 2内部为等电位区，内部为等电位区，得得 1 1 = 0 = 0。这样，第一式即为：。这样，第一式即为：0 = - 0 = - C C1313 3 3，因，因 3 3可以不等于零，由此可推得可以不等于零，由此可推得C C1313 = 0 = 0 = = C C1313 。静电耦合作用。如果导体静电耦合作用。如果导体1 1、3 3均带电，则应有均带电，则应有q q1 1= (= (C C1010 + + C C1212