高等数学辅导

1、高等数学辅导第一章               函数张彩芬 重点提示:1.求函数定义域的方法2.判断函数奇偶性3.基本初等函数一、 函数的一般研究、函数的概念1.         常量与变量²      常量：在某一过程中数值保持不变的量。²      变量：

2、在某一过程中，可以取不同数值的量。²      变域：任何一个变量都有一定的取值范围，变量所能取的所有的值的集合叫做变域。²      变域的表示方法：1)    用不等式表示，如axb；2)    用集合表示，如x|axb；约定：N(自然数集)、Z(整数集)、Q(有理数集)、R(实数集)、R+(正实数集)。3)    用区间表示。²   

3、0;  四种有限区间：1)    a,b 表示x|axb，叫闭区间；2)    (a,b) 表示x|axb，叫开区间；3)    (a,b) 表示x|axb，叫左开右闭区间；4)    a,b) 表示x|axb，叫左闭右开区间。²      五种无限区间：1)    a,+) 表示x|xa；2)    (a,+) 表示x|xa；3) &#

4、160;  (-,a 表示x|xa；4)    (-,a) 表示x|xa；5)    (-,+) 表示实数集R；注意：读作无穷大，以正负无穷大为端点的区间必须是开区间。2.         函数概念定义如果x,y是两个变量，当x在某个范围D中任意取定一个数值时，按照一定的法则f y总有唯一确定的值与它对应，则称变量y 为变量x 的函数。记作 yf(x)，xD.其中： x自变量 y因变量或函数值 D函数的定义域 所有的y值组成的集合称为值域。函数的

5、两要素 定义域 D 对应法则 f两函数相等是指：定义域相同 对应法则相同重点提示 求函数定义域的方法：对函数的每一部分，按分母不为偶次根式中被开方式对数式中真数除去正余切函数无意义的点分别解出自变量的取值范围，然后取其公共部分。例1. 已知函数求它的定义域。解：由x2解得x-2由x解得x由5x解得x2.5函数的定义域为x2.5x-2且x1或表示为（2.5,1）（1,-2）例2. 判断下列函数是否为同一函数：f(x)sin2xcos2x g(x)1 yax2 sat2解：、是同一函数，定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。不是同一函数，它们的定义域不相同。不是同一函数，它们对应的函数值

6、不相同，即对应法则不同。 3.         <!endif>分段函数分段函数是指在定义域的不同范围内，对应法则不同的函数，例如:y= 18, 0x60,xZ 180.1(x60),x60,xZ5. 隐函数隐函数是指对应关系无法写成yf(x)的形式的函数，如x2+y2+xya2、函数性质的研究奇偶性提示 学员应逐步熟悉下面这种叙述定义或定理的方法定义 设函数yf(x)的定义域D关于原点对称，若对于任意的xD，都有f(-x)f(x)，则称f(x)为D上的偶函数，如果都有f(-x)-f(x)，则称f(x)

7、为D上的奇函数，否则称为非奇非偶函数。 例如：f(x)x2是偶函数 f(x)x3是奇函数偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称 重点提示 判断函数奇偶性的方法： 分解合成法奇±奇奇，偶±偶偶，奇×偶奇，奇×奇偶，偶×偶偶常见函数的奇偶性常数函数为偶函数，幂函数xn当n为奇数时为奇函数，当n为偶数时为偶函数，三角函数中sinx、tgx、ctgx为奇函数，cosx为偶函数例如：y1+x2 (偶) yx-x3 (奇) yxcosx (奇) yxsinx (偶) yx2cosx (偶) y1/x (奇)定义检验法以yex+e-x为例 f(-

8、x)e-x+e-(-x)ex+e-xf(x)f(x)ex+e-x为偶函数例3.求证:两个偶函数的积是偶函数。强调要逐步学会用数学语言来表述文字题的条件和结论。已知：f(x)、g(x)是偶函数，(x)f(x)·g(x)求证：(x)是偶函数证明：f(x)、g(x)是偶函数 f(-x)f(x),g(-x)g(x) (-x)f(-x)·g(-x)f(x)·g(x)(x) (x)是偶函数 单调性 定义 如果函数yf(x)对于某区间(a,b)内的任意x1,x2，当x1x2时总有f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间(a,b)上单调递增，区间(a,b)称为f(x)的单调递增区

9、间；如果总有f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间(a,b)上单调递减，区间(a,b)称为f(x)的单调递减区间。如果上述定义中的可改成，则称f(x)为严格单调递增，可改成，则称f(x)为严格单调递减， 在整个定义域内都(严格)单调递增的函数称为(严格)单调递增函数，(严格)单调递减的函数称为(严格)单调递减函数。解析法 例如判断y1-x3的单调性 设x1,x2R，且x1x2 则x2-x10，f(x1)1-x13，f(x2)1-x23, f(x1)-f(x2)(1-x13)-(1-x23)x23-x13(x2-x1)(x12+x1x2+x22)0 y1-x3是单调递减函数 图形法单调递增函数

10、 单调递减函数      图形从左下伸向右上 图形从左上伸向右下  3. 周期性定义设函数yf(x)的定义域为D，如果存在正数T，使得对于每一个xD，都有f(x+T)f(x)，则称f(x)为周期函数，T为f(x)的周期。周期函数的周期有无穷多个，通常把其中的最小正周期称为周期 ysinx、ycosx的周期为2ytgx、yctgx的周期为4.有界性定义 设函数yf(x)的定义域为D，如果存在正数M，使得对于每一个xD，都有|f(x)|M，则称yf(x)为有界函数，M称为函数f(x)的一个界。否则称f(x)为无界函数。提示有界函

11、数的性质：有界函数的界不是唯一的。要证明函数yf(x)有界，只需找到一个正数M使得|f(x)|M即可。如果-Mf(x)M，显然yf(x)有界。如果f(x)M2，则称M2为f(x)的上界，如果f(x)M1，则称M1为f(x)的下界。 、函数的四则运算定义 设f(x)和g(x)是定义在D1、D2上的两个函数，则定义在D=D1D2上的函数(x)f(x)g(x)称为函数f(x)与g(x)的和。设f(x)和g(x)是定义在D1、D2上的两个函数，则定义在D=D1D2上的函数(x)f(x)-g(x)称为函数f(x)与g(x)的差。设f(x)和g(x)是定义在D1、D2上的两个函数，则定义在D=D

12、1D2上的函数(x)f(x)·g(x)称为函数f(x)与g(x)的积。设f(x)和g(x)是定义在D1、D2上的两个函数，则当g(x)0时，定义在D=D1D2上的函数称为函数f(x)与g(x)的商。、复合函数定义 设函数yf(u)的定义域为Df，而ug(x)的定义域为Dg，且值域Rg包含在Df中，则对于每一个xDg，通过u总有唯一的y与它对应，故y是x的函数，记作yf(x)，这样的函数称为复合函数，u称为中间变量。例如：yesinx2 是由vx2、usinv、yeu复合而成 yln(x2+3x-10) 是由ux2+3x-10、yln u复合而成例4.已知函数 f(x)x2-1， 求f(x+1)、f(f(x)、f(f(3)+2)解：f(x+1)(x+1)2-1x2+2x，f(f(x)f(x2-1)(x2-1)2-1x4-2x2f(f(3)+2)f(32-1+2)f(10)99例5.已知函数 f(x+1)x2-1，求f(x) 解：f(x)=f(x-1+1)=(x-1)2-1= x2-2x 二、初等函数、幂函数 形如 yx (为实数)特性：在(0,+)上总有定义，图象经过点(