高等数学(上册)

1、17世纪法国数学家笛卡儿（Rene Descartes）把变量引入数学，由此对数学产生了巨大的影响，有了变量，运动进入了数学，辩证法进入了数学，并最终促进了微积分的形成与发展.微积分是1719世纪人类文明史上重大的成果之一，并在现代科学技术中有广泛而重要的应用.它以极限为主要工具研究函数的性质.本章作为微积分的知识准备，主要介绍变量、函数、极限和连续这些重要的基本概念及有关性质，并着重介绍极限与连续的基本思想与基本方法，为学习微积分打好基础.1.1函数1.1.1变量与常用数集当观察某个自然现象或变化过程时，会遇到很多数量，这些数量一般可分为两类： 一种是在该过程中保持不变的量，称为常量； 另一

2、种是在该过程中可以取不同的值，或不断变化着的量，称为变量. 例如在观察圆的图形变化时，直径与周长都是变量，而圆的周长与直径的比值（圆周率）是一个常量； 又如在自由落体运动中，物体的下降速度、下降时间及下降距离都是变量，而物体的质量在该过程中可以看作是常量. 一般地，用字母a，b，c，表示常量，用字母x，y，z，t，表示变量. 一个量是变量还是常量，要在具体问题中作具体分析. 例如就小范围的地区来说，重力加速度g可以看作是常量，但就广大地区来说，重力加速度g则是一个变量.讨论变量间的数量关系时，必须明确变量的取值范围，单个变量的取值范围常用数集来表示. 本书讨论的变量在没有特别说明的情况下都是指

3、在实数范围内变化的量. 常用的数集除了有自然数集N、正整数集N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R外，还常用区间和邻域来表示.区间是用得较多的一类数集，设a，bR，且a<b，则数集x|a<x<b，xR称为开区间，记作（a，b），即(a，b)=x|a<x<b，xR； 数集x|axb，xR称为闭区间，记作a，b，即a，b=x|axb，xR； 类似地，数集x|a<xb，xR与x|ax<b，xR均称为半开半闭区间，分别记作(a,b与a,b)，即(a，b=x|a<xb，xR；a，b)=x|ax<b，xR.其中a与b称为这些区间的端点，b-a称为这些区间

4、的区间长度.以上四种区间均为有限区间，区间长度b-a是有限的数值.此外还有下列五种无限区间，引进记号+（读作正无穷大）及-（读作负无穷大），则有(a，+)=x|x>a，xR； a，+)=x|xa，xR；(-，b)=x|x<b，xR； (-，b=x|xb，xR；(-，+)=R.这些区间的区间长度都为无穷大.为了讨论函数在一点邻近的某些性态，下面引入邻域的概念.定义1.1.1设a，R，>0，数集x|x-a|<，xR称为点a的邻域，记作U(a，)其中点a与数分别称为此邻域的中心与半径几何上，邻域U(a，)表示数轴上与点a的距离小于的点集，因此该点集是以点a为中心，为半径的一个

5、开区间（图11（a），即U(a，)=(a-，a+).当不强调邻域的半径时，用U(a)表示以点a为中心的任意开区间将邻域U(a，)的中心点a去掉后得到的数集x|0<|x-a|<称为点a的去心邻域，记作U（a，）（图11（b），即U（a,）=(a-，a)(a，a+)图111.1.2函数的基本概念为了简便起见，先介绍一些常用的数学符号符号“” 表示“任意（确定）的”或者“每一个”； 符号“” 表示“存在” 或者“有”例如“x” 表示“任意（确定）的x”，而“x” 表示“存在x”函数研究的就是变量之间的对应关系，在同一自然现象或变化过程中，经常会同时遇到两个或更多个变量，它们互相联系、互相

6、依赖并遵循一定的规律变化着例如，在初速度为0的自由落体运动中，路程s与时间t是两个变量，当时间变化时，所经过的路程也随之改变，它们之间有如下关系： s=12gt2，t0（1.1.1）又如在电阻两端加直流电压V，电阻中有电流I通过，电压V改变时，电流I随之改变，其变化规律为I=VR，若电阻R=2，则I=V2（1.1.2）（1.1.1）式和（1.1.2）式均表达了两个变量之间相互依赖的关系或规律，依据这些规律，当其中一个变量在某一范围内取定一个数值时，另一变量的值就随之确定，数学上把这种对应关系称为函数关系定义1.1.2设x，y为同一变化过程中的两个实数变量，如果x在其变化范围D内任意取定一个值，

7、y按照一定的法则总有确定的值与之相对应，就称y是x的函数，x称为自变量，y称为因变量，记作y=f(x)，xD.其中数集D称为f(x)的定义域.一般地，在函数y=f(x)中，使得式子f(x)有意义的x的集合可作为该函数的定义域，也称为该函数的自然定义域但在实际问题中，函数y=f(x)的定义域还要根据问题中的实际意义来确定由定义1.1.2可知，f(x)也表示与x对应的函数值，因此对应于x0的函数值记为f(x0)或y|x=x0全体函数值构成的集合称为函数y=f(x)的值域，记作f(D)，即f(D)=y|y=f(x)，xD符号f(x)中的f表示y与x之间的对应关系，故f仅仅是一个函数对应法则的记号，它

8、也可用其他符号如，F等代替，这时，函数y=f(x)就写成y=(x)或y=F(x)但一个函数在同一个问题中只能取定一种记法，当同一问题中涉及多个函数时，则应取不同的符号分别表示它们各自的对应法则，以免混淆例1.1.1求函数y=lg(1+x)x的定义域解由题意可得不等式组： 1+x>0，x0，解得x>-1，且x0，则该函数的定义域为D=x|x>-1，且x0例1.1.2设f(x)=x2+x，求f(a)，f(x2)，f(sin1)解将f(x)中的变量x分别用a，x2，sin1代替，得f(a)=a2+a，f(x2)=x4+x2，f(sin1)=sin21+sin1.由函数的定义可知，若

9、两个函数的定义域相同，对应法则也相同，则这两个函数相同因此也称函数的定义域及其对应法则为函数的二要素.例如函数y=lgx2与y=2lgx，它们的对应法则相同，但定义域不同，所以它们不是相同的函数又如函数y=x(x0)与y=(x)2，它们的对应法则相同，定义域也相同，因此它们是相同的函数一般地，如果函数y=f(x)的自变量x在定义域内任取一值时，对应的函数值y都是惟一的，则称y为x的单值函数如果对自变量x的某些取值都有两个或两个以上的y值与之相对应，则称y为x的多值函数本书中凡是没有特别说明的函数都是指单值函数若遇到多值函数时，我们都把它化作多个同时出现的单值函数来分别对待函数的表示方法有多种形

10、式，常见的主要有表格法、图示法和公式法表格法就是把自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出，实际应用中常用此法例如火车时刻表，就是用列表的方法列出出站和进站对应的车次与时间的函数关系其优点是从表上可直接看出y随x的变化而变化的情况，使用上较方便，缺点是只能表达有限个对应数据.图示法是把变量x与y对应的有序数组(x，y)看作直角坐标平面内点的坐标，y与x的函数关系就可用坐标面上的曲线来表出例如气象站中的温度记录器，记录了空气中温度与时间的函数关系这种关系是通过借助仪器自动描绘在纸带上的一条连续不断的曲线来表达的其优点是直观性强，缺点是没有给出函数关系的表达式，不便于做理论上的推导与演算.公式法（

11、分析法）是把两个变量之间的关系直接用数学式子表示，高等数学中所涉及的函数大多用公式法来表示.例如n次多项式函数y=a0+a1x+a2x2+anxn，这里ai(i=0，1，2，n)均为常数，n为自然数，x为自变量，xR.再如有理函数y=P(x)Q(x)，这里P(x)与Q(x)均为多项式函数，它们都是用公式法表示的函数.有时函数在定义域的不同范围内的x所对应的函数关系并不相同，这时就要用几个不同的式子分别来表示一个函数，例如函数(图12（a）) y=x+2，x0，ex，x>0与符号函数(图12（b）)sgnx=1，x>0，0，x=0，-1，x<0图12像上面两个函数这样在不同的范

12、围内用不同的式子分段表示的函数称为分段函数在自然科学与工程技术中经常用到分段函数必须指出，分段函数是用不同的式子表示一个(而不是几个)函数因此对分段函数求函数值时，不同点的函数值应代入相应范围的公式中去图13例如常用记号x表示“小于或等于x的最大整数”，显然x是由x惟一确定的，如-1.5=-2，1.3=1，2.43=2，0=0称函数y=x为取整函数.取整函数y=x的定义域是实数集R，值域是整数集Z，它表示y是不超过x的最大的整数.该函数为分段函数，其图像如图13所示.上述用公式法所表示的函数，都是直接用一个或几个关于自变量的式子来表示的，这样的函数也称为显函数除此以外，在很多实际问题中，变量之

13、间的函数关系也可用一个方程来表示，例如在直线方程x+2y=1中，给定实数x，就有一个确定的y值y=12(1-x)与之相对应，因此在方程x+2y=1中隐含了一个函数关系y=12(1-x).又如圆的方程x2+y2=a2确定了两个单值函数y=a2-x2 （当y0时）与y=-a2-x2（当y0时）.在xOy平面上，函数y=a2-x2表示上半圆周，函数y=-a2-x2表示下半圆周，这两个单值函数称为原来函数的单值分支，它们都是由方程x2+y2=a2确定的但也有一些方程确定的函数关系不那么容易甚至不可能直接用自变量的式子表示出来例如开普勒（Kepler）方程y-x-siny=0，为常数，01，在这个方程中

14、甚至不可能将y用x的式子表示出来，尽管如此，它仍能确定y是x的函数.如果由一个二元方程F(x，y)=0确定y是x的函数（满足函数的定义），则称函数y=y(x)是由方程F(x，y)=0确定的隐函数有时直接通过对方程恒等变形，可以将这个隐函数求出，例如由方程2x+5y=2可以解得y=2-2x5，这个过程称为隐函数的显化例如方程x2+y2=a2当y0时可显化为函数y=a2-x2，它的图形为以原点为中心，半径为a的上半圆周但不是每个隐函数都可以显化，如方程exy+x-siny=1确定的隐函数是无法显化的，因此隐函数是表达函数的一种必不可少的形式需要注意的是，任意一个方程并不一定就能确定一个隐函数.究竟

15、在什么条件下能够由一个方程来确定一个隐函数呢？这将在第9章中给出相关结论.有时变量x，y之间的函数关系还可以通过参数方程x=(t)，y=(t)，tI图14给出，这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式函数，t称为参数如物体作斜抛运动时，运动的曲线(图14)表示的函数就可写作参数式函数： x=v0tcos，y=v0tsin-12gt2，其中为初速度v0与水平方向的夹角，v0=|v0|1.1.3函数的几种基本特性初等数学中已经利用函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性这四个重要的特征性质来讨论一些函数的基本性质，下面分别对它们作简要概括.1. 函数在指定数集上的有界性定义1.1.3设函数f(x

16、)的定义域为D，数集ID.若存在数M1，使得当xI时，恒有f(x)M1，则称函数f(x)在数集I上有上界，M1为f(x)在I上的一个上界； 若存在数M2，当xI时，恒有f(x)M2，则称函数f(x)在数集I上有下界，M2为f(x)在I上的一个下界； 若f(x)在数集I上既有上界，又有下界，则称f(x)在I上有界否则就称函数f(x)在I上无界.显然，若f(x)在I上有界，则必存在数M1，M2，使得对xI，恒有M1f(x)M2，取M=max|M1|，|M2|，则上式等价于|f(x)|M，因此函数f(x)在数集I上有界的充要条件为存在正数M，使得对xI，恒有|f(x)|M.若函数f(x)在数集I上有

17、上界M1，则在几何上表示函数y=f(x)在数集I上的图形均位于直线y=M1的下方； 若函数f(x)在数集I上有下界M2，则表示函数y=f(x)在数集I上的图形均位于直线y=M2的上方； 若函数f(x)在数集I上有界，则表示必存在一个正数M，函数y=f(x)在I上的图形位于直线y=M与y=-M之间.例如，函数y=1，xQ，0，xQ在(-，+)内有界，2是它的一个上界，-1是它的一个下界； 函数y=x在任一有限区间a，b上有界，a-1与b分别为它的一个下界与上界，但它在(-，+)内无界.2. 函数在指定区间上的单调性定义1.1.4设函数f(x)在区间I上有定义，如果x1，x2I，x1x2时，恒有f

18、(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），则称函数f(x)在I上单调增加（减少）； 若x1x2时恒有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），则称函数f(x)在I上严格单调增加（减少）.例如，y=x2在(-，0)内严格单调减少，在(0，+)内严格单调增加，但在（-，+）内不是单调函数.又如函数y=x，x0，ex，x>0在(-，+)内单调增加； 而函数y=x+2，x0，ex，x>0在（-，0内单调增加，在(0，+)内也单调增加，但在（-，+）内却不是单调增加函数； 函数y=1，xQ，0，xQ在任何区间上都不单调.3. 函数的奇偶性定义1.1.5设函数f(x)的定

19、义域D关于原点对称（即xD，必有-xD），若xD,等式f(-x)=-f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数； 若xD，等式f(-x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数.例如，y=|x|与y=1，xQ，0，xQ都是偶函数； y=|x|x(x0)是奇函数； y=x+x2是非奇非偶函数； y=0既是奇函数也是偶函数.在几何上，由于奇函数f(x)满足条件f(-x)=-f(x)，因此若点A(x，f(x)在曲线y=f(x)上，则A的关于原点中心对称的点A(-x，-f(x)也在该曲线上（图15(a)），因此奇函数的图像关于原点中心对称.类似可知偶函数的图像关于y轴对称（图15(b)）.图154. 函数的周

20、期性设y=f(x)的定义域为D，若存在非零定值T(T0)，使得对xD，都有x+TD，且等式f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)是周期函数，T是它的一个周期.易知T的整数倍也一定是f(x)的周期.在f(x)的所有周期中，若存在最小的正数，则称这个数为f(x)的最小正周期.例如y=x-x是周期函数，其最小正周期为1.通常我们说周期函数的周期是指其最小正周期，例如，三角函数中sinx，cosx是以2为周期的周期函数，tanx，cotx是以为周期的周期函数.但并不是所有的周期函数都有最小正周期.例1.1.3证明狄利克雷（Dirichlet）函数f(x)=1，xQ，0，xQ是周期函数，但无最小正周期.证设xR，当xQ时，对rQ，有x