质点动力学习题课

1、第二章教学基本要求：理解牛顿运动定律的基本内容，掌握牛顿运动定律的适用条件。掌握常见力的性质和计算方法，能熟练地分析物体受力。熟练掌握运用牛顿定律和运动学知识解题的思路和步骤，并能科学地表述。能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题。内容提要:牛顿定律第一定律: 任何物体如果不受其它物体的力的作用，就会保持静止或匀速直线运动的状态。第二定律: (d d vm tF =当质量m 为常量时，a m F=在直角坐标系中，zz y y x x maF ma F ma F =, ,在自然坐标系中，2, vmF dtdv mF n t =第三定律: 2112F F-=力学问题中的几个常见力 万有引

2、力 G2rmM重力 mg弹簧力 f = -kx 正压力与支持力 N= -N 滑动摩擦力 f = N 静摩擦力 f N习题1：一半径为R 的环形竖直壁固定在光滑的水平面上，如题图所示，一质量为m 的物块紧靠着壁的内侧在水平面上运动。已知物块与环形壁之间的摩擦系数为，0=t 时物块的速率为0v ，求物块的速率v 随时间t 解： 研究对象：m 受力：自然坐标系 方程： 法向： R vm N 2= （1）切向： dt dvm f r =- （2） N f r = （3） 求解：由 上 述 各 式 可 得 dt dv Rv=-2分离变量法-=v v t v dv Rdt 02得： t v R Rvv 0

3、0+=习题2：f 一细绳跨过光滑的定滑轮, 一端挂一m 重物, 另一端被人用双手拉着, 人悬空, 质量 m/2, 若人以相对于绳的加速度0a 向上爬, 且不打滑, 求:人相对于地的加速度。解：如图建坐标,分别选人和重物m 为对象, 受力分析,设m 对地加速度为a ： 对m ： ma mg T =- 对人：(21210a a m mg T -=-解得：30g a a -=人相对于地的加速度为3200ga a a +=-习题3：一根弯成如图所示形状的金属丝， 一根弯成如图所示形状的金属丝，其上 套一小环， 套一小环，设环与金属丝间的摩擦可略去不 计.当金属丝以匀角速度绕竖直对称轴转 动时，小环在金

4、属丝上任何地方都能平衡， 动时，小环在金属丝上任何地方都能平衡， 即与金属丝无相对运动， 即与金属丝无相对运动，问这根金属丝要弯 成什么形状? 成什么形状? 小环受力如图所示, 解 : 小环受力如图所示, 当小 环位置坐标为 x、y 时其动力学 方程为 : N mg N sin = m x 2 N cos = mg 而 dy tg = dx 所以 积分得 , d y 2x = dx g y= 2 x2 2g +c 由 x = 0 , y = 0 定出 c = 0 2 x2 y= . 2g 6 此即金属丝形状所满足的方程， 应为顶点 此即金属丝形状所满足的方程， 即坐标原点，口向上的抛物线。 即

5、坐标原点，口向上的抛物线。 习题 4: 如图，升降机内有两个物体， 如图，升降机内有两个物体，质量分别 =200g， 为 m1=100g 和 m2=200g，用细绳连接后跨过 100g 滑轮；绳子的长度不变，绳和滑轮的质量、 滑轮；绳子的长度不变，绳和滑轮的质量、 滑轮轴上的摩擦及桌面的摩擦均可略去不 上升时， 计.当升降机以匀加速度 a=4.9 m·s-2 上升时， (1在机内的观察者看来， 在机内的观察者看来 m (1在机内的观察者看来， 1 和 m2 的加速 度各是多少? 度各是多少? (2在机外地面上的观察者看 (2在机外地面上的观察者看 它们的加速度又各是多少? 来，它们的

6、加速度又各是多少? 7 的受力如图。 解 : m1 , m2 的受力如图。 设 m1 和m2 相对升降机的加速度大小为 a ， ' 水平向右， 竖直向下。 方向为 m1 水平向右， m2 竖直向下。因此对 m1 , m2 分别用牛顿第二定律列方程如下 : T = m1a ' N T ' T T m2 g = m2 ( a a ' m1 m1g m2 m2g m2 ( a + g a = = 9.8 m/s2 解得 m1 + m2 （1） ） 机内观察者看 : r r a'1 = 9.8i m/s 2; r r a2 ' = 9.8 j m/s 2 地面上观察者看