直线与圆的位置关系 (2)

1、1 圆的标准方程圆的标准方程xyOCM( (x, ,y) )222)()(rbyax对于任何一个圆，若圆心对于任何一个圆，若圆心为为C( (a, ,b),),半径为半径为r.特别地，若圆心为特别地，若圆心为O(0,0),半径为半径为r，则圆则圆的方程为的方程为：222ryx标准方程标准方程2 圆的一般方程圆的一般方程220 xyDxEyF22224224DEDEFxy（1）当）当 时，时，2240DEF表示圆，表示圆，,2ED圆心 -22242DEFr（2）当）当 时，时，2240DEF表示点表示点,2ED-2（3）当）当 时，时，2240DEF不表示任何图形！不表示任何图形！3.点与圆的位置

2、关系：点与圆的位置关系：222()()xaybr11( ,)P x y(1)点P在圆外(2)点P在圆上(3)点P在圆内222211()()dxaybr222211()()dxaybr222211()()dxaybr已知点已知点 及圆及圆思考思考:我们怎样判别直线与圆的关系我们怎样判别直线与圆的关系?直线与圆相交直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相切直线与圆相离直线与圆相离判别方法判别方法2个交点个交点1个交点个交点没有交点没有交点问题：如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？(1)利用利用圆心圆心到直线的距离到直线的距离d与半径与半径r的大小关的大小关系判断：系判断：直线与圆的位置关系的判定

3、方法：直线与圆的位置关系的判定方法：22BACbBaAd 直线直线l：Ax+By+C=0圆圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)d rd = rd r直线与圆直线与圆相离相离直线与圆直线与圆相切相切直线与圆直线与圆相交相交2022-2-164 直线和圆的位置关系有三种：Cldr相交：相交：rd Cl相切：相切：rd Cl相离：相离：rd 方程组有两组实数解方程组有两组实数解方程组只有一组实数解方程组只有一组实数解方程组没有实数解方程组没有实数解(2) 利用直线与圆的公共点的个数进行判断：利用直线与圆的公共点的个数进行判断：nrbyaxCByAx的解的个数为的解的个数为设方程组设方程组

4、)()(0222 n=0n=1n=2直线与圆直线与圆相离相离直线与圆直线与圆相切相切直线与圆直线与圆相交相交0例例1 1、如图，已知直线、如图，已知直线l:3x+y-6l:3x+y-6和圆心为和圆心为C C的的圆圆x x2 2+y+y2 2-2y-4=0-2y-4=0，判断直线，判断直线l l与圆的位置关系；与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。如果相交，求它们的交点坐标。.xyOCABl解法一：解法一：5 5半径长为半径长为其圆心C(0,1),其圆心C(0,1), )5() 1( 222 yx5105123|6103|2d所以所以, ,直线直线l l与圆相交，有两个公共点与圆相交，有两

5、个公共点. .例例1 1、如图，已知直线、如图，已知直线l:3x+y-6l:3x+y-6和圆心为和圆心为C C的的圆圆x x2 2+y+y2 2-2y-4=0-2y-4=0，判断直线，判断直线l l与圆的位置关系；与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。如果相交，求它们的交点坐标。.xyOCABl解法二：由直线解法二：由直线l l与圆的方程，得与圆的方程，得 04206322xyxyx消去消去y，得，得0232 xx有两个公共点有两个公共点与圆相交与圆相交直线直线, 01214)3( 2l 例例1 1、如图，已知直线、如图，已知直线l:3x+y-6l:3x+y-6和圆心为和圆心为C C的的

6、圆圆x x2 2+y+y2 2-2y-4=0-2y-4=0，判断直线，判断直线l l与圆的位置关系；与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。如果相交，求它们的交点坐标。.xyOCABl212320, 2 , 1xxxx由由得得112,0 xy把把代代入入方方程程 得得221,3xy把把代代入入方方程程 得得所以所以, ,直线直线l l与圆有两个公共点与圆有两个公共点, ,它它们的坐标分别是们的坐标分别是A(2,0)A(2,0)，B(1,3).B(1,3).XC(1、3)3x-4y-6=0Y0练习练习1 1、求以、求以c(1c(1、3 3）为圆心，并和直线）为圆心，并和直线3x-4y-6=0

7、3x-4y-6=0相切的圆的方程相切的圆的方程. .2 2、判断直线、判断直线3x+4y+2=03x+4y+2=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0的位置关系的位置关系. .3r例例2 2、已知过点、已知过点M M（-3-3，-3-3）的直线）的直线l l被圆被圆x x2 2+y+y2 2+4y-21=0+4y-21=0所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线，求直线l l的的方程。方程。5 54 4.xyOM.EF例例3.已知过点已知过点M(-3,-3)的直线的直线l 被圆被圆 所截得的弦长为所截得的弦长为 ,求求 l 的方程的方程.22xy解解:因为直线因为直线l 过点过

8、点M,可设所求直线可设所求直线l 的方程为的方程为:4 53(3)yk x:330kxyk即即4210y 对于圆对于圆:224210 xyy22(2)25xy(0, 2),5r圆圆心心坐坐标标为为半半径径如图如图:4 5AD ,根据圆的性根据圆的性质质,2 5AB ,5d 2|233|1kdk 2|233|51kk 解得解得:122kk 或或所求直线为所求直线为: 290230 xyxy或或问题问题:一艘轮船在沿直线返回港口的一艘轮船在沿直线返回港口的 途中途中,接到气象台的台风预报接到气象台的台风预报:台风中心位于台风中心位于 轮船正轮船正西西70km处处,受影响的范围是半径长为受影响的范围

9、是半径长为30km的圆的圆形区域形区域,已知港口位于台风中心正北已知港口位于台风中心正北40km处处,如如果这艘轮船不改变航线果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风那么它是否会受到台风的影响的影响?分析分析:以台风中心为原点以台风中心为原点O,东东西方向为西方向为x轴轴,建立如图所示建立如图所示的直角坐标系的直角坐标系,其中其中,取取10km为单位长度为单位长度.(7,0)(0,4)l问题归结为圆问题归结为圆O与直线与直线l 是否有交点是否有交点22:9Cxy圆圆:174xyl直直线线47280 xy例例3 3、已知圆的方程是、已知圆的方程是x x2 2+y+y2 2=r=r2 2，求经过

10、圆，求经过圆上一点上一点M(xM(x0 0,y,y0 0) )的切线方程的切线方程. .yxO),(00yxM思考思考1. 1.圆的切线有哪些性质？圆的切线有哪些性质？2.2.求切线方程的关键是什么？求切线方程的关键是什么？3.3.切线的斜率一定存在吗？切线的斜率一定存在吗？(x-2)2+(y-2)2=4 或或 (x+2)2+(y+2)2=420C(2,2)C(-2,-2)XY-2-2Y=X练习练习4 4、圆心在直线、圆心在直线y=xy=x上上, ,与两轴同时相切与两轴同时相切, ,半径为半径为2.2.判别直线与圆的位置关系的方法判别直线与圆的位置关系的方法:直线直线圆圆:0l AxByC22

11、2:()()Cxaybrd :圆心圆心C (a , b)到直线到直线 l 的距离的距离相交相交相切相切相离相离公共点公共点(交交点点)个数个数d与与r的大的大小关系小关系图象图象0个个1个个2个个dr dr dr 例题例题 自点自点 作圆作圆 的切线的切线 求切线求切线 的方程的方程 )4 , 1(A1)3()2(22yxllyxoA方法总结：求过圆外一点所作圆的方法总结：求过圆外一点所作圆的切线的方程分两种情况进行讨论：切线的方程分两种情况进行讨论：（1）直线垂直于）直线垂直于X轴（轴（k不存在）不存在）（2）直线不垂直于）直线不垂直于X轴（轴（k存在）存在）分析分析：(结合图形分析结合图形分析)由于本题知道了一点的坐标，可设方程为点斜式方程，由于本题知道了一点的坐标，可设方程为点斜式方程，用点斜式的前提是斜率存在，因此我们要首先对直线的斜率是否存在