常系数线性非齐次方程组特解的求法—待定系数法

1、E国韻技论衰在线http: /wvw paper edu cn常系数线性非齐次方程组特解的求法一待定系数法孙静青岛科技大学数理学院，山东青岛(266000)E-mail: 81532123摘 要：本文研究了求常系数线性非齐次方程组特解的方法一待定系数法.文章从研究非齐 次项为常数向量与相乘的常系数线性非齐次方程纽的特解入手，依次给出了 A是方程组 系数矩阵的k重特征根时(k = 0,l, -,n)的特解解型；进而推广到非齐次项为其分董是t的 多项式与e相乘的常系数线性非齐次方程组的特解解型；又利用已推出的结论和解的叠加 原理，导出了非齐次项为其分量是t的多项式与e6cos0t,esii】0t相

2、乘的常系数线性非齐次 方程纽的特解解型。本文结合实例说明了用待定系数法求常系数线性非齐次方程组特解的具 体应用.关键词：常系数线性非齐次方程组；秩；特解；解的叠加；特征扌艮；待定系数法中图分类号：0175.21. 引言现仃国内外教材关J常系数线性#齐次方程组= AX+F(t)(AaXn为实常数矩阵)特解 dt求法的介绍，通常只冇常数变易法和拉聲拉斯变换法，这两种方法都冇很多的局限性考虑到 常系数线性II：齐次方程的特解冇-种求法一待定系数法，因此本文中尝试类比应用此法解 题木文将给出儿种可用待定系数法求解的常系数线性非齐次方程组，给出氏特解的解怙 进而可用待定系数法求方程组的特解，并给出例题说

3、明具体应用.2. 主要内容2.1常系数线性非齐次方程组半=AX + E/ ()的特解解型dl(Ae为实常数矩阵，人为常数，E为常数向量)定理1当X不是方程组()中A的特征根时,()有形如X* = De4*的特解其中D为 待定常数向最).证明将X* = Dezt代入(人得xDezt = ADe + Be两边约掉e并整理得：(AE-A)D = B不是A的特征根，故det(2E-A)工0,由丽代知讲知方程组冇唯一解D,.方程组()确有形如X、D/形式的特解.dxt=x + y + e例1求方程组(中的特解今一x + y+3eIdtE国韻技论衰在线http: /www paper edu cn解方程组

4、的特征方程为det(A_2E)=1人1-1 1-2=(1A)2 +1 =o5九E国韻技论衰在线http: /www paper edu cn5九E国韻技论衰在线http: /www paper edu cn:入=1不是A的特征根。由定理1设特解为=:*(其也b为待定常数).5九E国韻技论衰在线http: /www paper edu cn5九E国韻技论衰在线http: /www paper edu cn将特解代入原方程组紂a = a + b + 1b = -a + b + 3解得：Ja = 3 b = -l35九E国韻技论衰在线http: /www paper edu cn定理2当入是方程组(

5、)中A的单特征根时，()有形如X = (Dt + Dj/的特解 (其中DpD2为待定常数向届).证明 将X = (Dt + Dj/代入()得：De +/i(Dt + D2)e = A(DJ + BeA,两边约掉e,比较t的同次帚系数得：(2E-A) D =0 (1)(2E-A) D2 =B-Di(2)v/l是A的单根，方程组(1)有无数组解.又由高代知识知方程组(2)有解的充耍条件为：iank(2E A) = rank(/lEA.BDJ (3).在方程组屮可适当的选一组解D1使得等式(3)成工，将解D代入(2),4-2det(AAE) =11-9一 10几-177 = -(2 -1X2 -2)

6、(2-3) = 012A例2求空=4-95、41-107X +2dt-17进而可求出方程组()确有形如X* = (Dt + D2)/形式的特解一解特征方程为e的一个特解.5九E国韻技论衰在线http: /wvw paper edu cnM = 1是A的单特征根.由定理2,可设特解为X =(Dt + DJet (其中D,D2为待定常数向量)一 4记2 =比将特解代入原方程组得：D + (Dt + D) = A(Djt + D?) + B比较t的同次慕系数可得：(A-E) D=0 和(A-E)D =D-E】由第一组解得3-91 -111 -17 5 丫 57 d12心+4、%2、5一1 .11皿丿

7、设D=(di，d 辽，djT (i=O,l)3-95、血、即1-117=0J-1711/k03 代入第二组，欲使方程组冇解，需适半选取D使系数炉阵的秩与增广矩阵的秩相等:(3-95可先求出rank1-117=2-17I1-17113k-l1-17113k-l(3-95k + 4/(1 -1172k-2、1 -117 2k-2)0-64k + lT0-64 k +1024-165k + 10,700 14k 丿可见欲使上面矩阵的秩为2,应取k=14.可得d01 =14,d02 = 28,d03 = 42,代入第二组可得:3dn9d2 + 5山3 = 18 djj1 ld12 + 7d13 = 2

8、6dn17d12 +1 ld13 = 41解得：d12 = 4dl3 15,dn = *13 9(3可任意选取)6 6#E国韻技论衰在线http: /www paper edu cn令 du =0,可得 d“ =-,d12 =-y-#-E国韻技论衰在线http: /www paper edu cn-#-E国韻技论衰在线http: /www paper edu cn所求特解为X* = 28t- e 7 42t_由定理2,可类似推广到/i为k重根的情形:定理3当2为方程组()中A的k重特征根时(k = l,2,-,n ), ()有形如X* = (Dktk + DkTtkT+. + D)e的特解(其

9、屮D,Dk为待求常数向暈).证明将X* = (Dktk + + Dr)e4t代入()得：kDkti + (k _ l)Dk_t_2 + + D + 2(Dktk + D-iti + D。)=A(Dktk hf D) + B比较t的同次幕系数得：(久 EA)D 上=0(/!E-A)DfcH = -kDk(E-A)D2=-3D3(XEA)D = 2D?由岛代，当久为A的k晅特征根时，第一个方程组有无数组解，适当选取使第二组 的系数矩阵与增广矩阵的秩相等保证有解，II冇无数组解再适当选取D-i使第三纽系数矩 阵与增广矩阵的秩相等保证第三个方程组仃解，且有无数组解，依次类推，可依次选出 Dk,-,D.

10、,/.方程组()确有X* =(Dktk + Dk_1tk1+-.- + D1)eAt 形式的特解.例3求方程组dx-dtdy-dtdz-dt 厂 I=3x + y+2z + 3e=4y-2ze3t=y + z + 2e3t-#-E国韻技论衰在线http: /www paper edu cn-#-E国韻技论衰在线http: /www paper edu cn解方程组的特征方程为3 一人1det(A2E) = 04A22 = (22)(3A)2 = 01_2久=3是A的二重特征根.由定理3,令X*= y ,J设特解为 X* =(D,t2 +D2t + D3)e3t(D1,D2,D.为待定向量),3

11、、记-1 =E,将特解代入原方程组：(2D+ D2) e3t + 3(Df + D2t + D3)e3t = A(Df + D2t + D5)e3t + B3* 两边约掉e,比较t的同次幕系数可得：(A3E)D1 =0(A3E)D、= 2D；(A-3E)D5 =D-E Dl=(djl,dx2?dl3)T(i = l,2,3),012、0)01_ 2du0、1_ 7.丿0)012dj2d J01-2d”=2du1_2卫23 y、2di3 丿012、(d21 一:01-2d$2=d2+101-2/d 23一：2丿z由第一组解d12 = dB = 0,代入第二组，得5 = 2d23,d22 = 2d

12、23121-2=2,1-2/0可求紂笫二组系数炉阵的秩：rank 00(0 1 2、Pl 2 2d J欲使笫二个方程组有解，应满足rank 0 1 -2=rank0 1 -2 0I。1 70 1 -2 0 /显然满足有解的条件,d“可任意选取.将d22 = 2dw代入第三组，可得d23 = -3,d22 = -6,dn = -6,+ 2d33 = d21 3,d32 2d33 = 5.0 1 2、第三红l系数矩阵的秩：rank 0 1 -2 =2,1 7-7-ED国韻技论衰在线http: /www paper edu cn012d2i-3、增广矩阵的秩：rank 0 1 -2-5=2,两者相等

13、,.显然满足有解条件,.d”可任意选取.令d?i = 0,/. d32 = 4d33 =令心31 = 0,(X、( 6t?y6t4“ 1_3t+ _ 2)/.方程组冇特解定理2.12.3中，依次给出了几为系数矩阵A的菲特征根及巫特征根时的特解，故在解 题屮可利用解的叠加原理将定理结介起來灵活运用.例4求方程组Idx一IdtIdy一Ldt-#-ED国韻技论衰在线http: /www paper edu cn-#-ED国韻技论衰在线http: /www paper edu cn解方程组的特征方程为一 29det(A 一人 E) = (2 +1)(2-3) = 02 1 A.右=一1,= -3均为单

14、根将非齐次项F(t)分为两部分之和：F(t) = f1(t) + f2(t),0其中何0，对非齐次项为匚的方程组dx-dtdy-dt厂， 、2 + 2y +y + 2X11fx-#-ED国韻技论衰在线http: /www paper edu cn-#-ED国韻技论衰在线http: /www paper edu cn设其特解为X/h、1 (其中S，b,为待定常数)2丿将特解带入方程组得质蔦;蔦=方程组特解为dx=x + 2y对非齐次项为匚的方程组ft，记为(2),=2x + y+2e，Idt设其特解为(ai+d d+d/t,a? ,d.g为待定常数)-9-ED国韻技论衰在线http: /www

15、paper edu cn-#-ED国韻技论衰在线http: /www paper edu cn将特解代入方程组(2)得:fdj _(a】 +d1t) = al +( + 2(82 +d21)d2 -(a2 +d2t) = 2(a】4-(1) + (a2 +d2t) + 2 比较t的同次幕系数得：d a】=a】+ 2a 2一 d = d + 2d2 d2 -a2 = 2a】+a2 +2d2 = 2d】+ d2解得：d-Ld.方程组特解为卅)、te41+(+啣3 2(+)的特解解型原方程组的特解为仝=AX+Bm(t)e 川2.2常系数线性非齐次方程组山(人吨为实常数矩阵，人是常数，(Bm(t)ax

16、l其分量是t的次数至多且至少有一个为ni次的多项式)= Botm+ 片为常数向彊(i = 0,m),可得如卜定理：定理4当2是(*)屮A的特征方程的k晅根时，方程组(*)有形如X = (Dm+ktm+k + D*严I +-D0)ext 的特解(其中Dm+w-.D。为待定向暈，k为久是的的重数(k = 0,l,-,n). 证明将X* = (Dm.ktm+k +-D0)e 代入(*)得：(m + k)Dm+kta+k-1 + (m + k - 1)D* 严一 + . + DJ+2 Dm+ktm+k + Dm 我严心 + + D =+ - + Do + Botm + - + Bm (I)分两种情况：

17、(l)兄不是A的特征根时,则k = 0, (I)可化为:mDg严+ (m -+D J+久卜工+ Dw严+ D =A(Dmtm + Dz 严 + + Do+(Botm + E严 + + E J比较t的同次幕系数可得：(2E-A)Dm=B0(l)(AE-A)D =B-niDm(2)(/lE-A)D0=Bm-D1(m + l)几不是A的特征根,.由高代知识可知方程组 有唯一解Dj将解Dg代入方程组(2) , 乂可求得唯一解Dg,依次类推，可依次求出DjDo,可见方程组“)确有形如X* = (Dm.ktm+k +Dm+k.1tm+k-1 +.D0)eAt的特解.(2)久是A的k重特征根时(k = 1,

18、2,n),对方程组(I)比较t的同次显系数可得：(/lE-A)Dni+k=O (1)E - A)Da+k4 = -(m + k)Dm+k (2) (/lE-A)Dm=B0-(ni + l)Da+1 (/iE-A)D0=Bm-D1.久为A的k匝特征根.方程组(1)有无数组解.适当选取解Dm+k，便方 程组的系数矩阵的秩与増广拒阵的秩相等保证令解，II仔无数组解, 再适当选取解Dm+k.i保证(3)有解，依次类推，可依次求得Dm，,Do，.方程组(*)确有形如X* = (Dkt* +Dm+k_i严I +D。)/的特解.综合,(2),可知方程组(*)确有形如.X=(DmJ央+。北广1 +.D)e的特

19、解.例5求方程组彳矿 x-2y+(2t +d + 5y+/的特解.-11-ED国韻技论衰在线http: /www paper edu cn-#-ED国韻技论衰在线http: /www paper edu cn解方程组的特征方程为-#-ED国韻技论衰在线http: /www paper edu cn-#-ED国韻技论衰在线http: /www paper edu cndet(A - 2E)=-25-2=(A 3)=0-#-E国韻技论衰在线http: /wvw paper edu cn/. 2 = 3为A的二重特征根.k = 2. 乂 vm = l,由定理2.4,可设特解为 X* =X*= (Ds

20、t+Df+Dt + D)et ly丿(其中Dj(i = 0,l,2,3)为待定向量)= Bt + B2(其中 Ei =彳-#-E国韻技论衰在线http: /wvw paper edu cn将特解代入原方程组得：(3D3T +2DN + D) + 3(D3t +Df +DJ + Do) =A (D3t3+D2t2 +D1t + D0)+B1t + B:比较t的同次幕系数可得：(A-E)D3 =0(A-E)D2 =3D3(A-E)Dj =2D2-Bi(A-E)D0 =Di -B,设 Dj = (ddj,% 为待定常数(i = 0,1,23； j = 1,2)-#-E国韻技论衰在线http: /wv

21、w paper edu cn-#-E国韻技论衰在线http: /wvw paper edu cn由(1)解得 d31 = -d32,代入(2)得：d21+d22=-d32,欲使(2)仃解，需满足(-2 rank2(-2=1 = rank2-223d J灯32 ；-#-E国韻技论衰在线http: /wvw paper edu cn-#-E国韻技论衰在线http: /wvw paper edu cn显然满足有解条件.3 1 _由(3)解d2j + d22 =，d“ + d? = d?,欲使(3)仃解，需满足-#-E国韻技论衰在线http: /wvw paper edu cn-#-E国韻技论衰在线h

22、ttp: /wvw paper edu cn(-2rankI 2-2、2 )(-2=1 = rank7_222心一2)-#-3国科技论衰在线http: /wxvw paper edu cn-133国科技论衰在线http: /wxvw paper edu cnw：)d2i +d22=-, /.显然满足有解题条件-由解得d(n +d2 =(1 - GJ 欲使(4)有解，需满足doi + do2=dp ，(-2 -2f-2 -2 dn -HJ=1 = rankU 2丿22d12 y di 1 = d12.由得：dp = 1,由dsi = -1.由得:g =?,.由：d21 =0.令d=0,由：d12

23、 =1.再令 d01 = 0,由：d02 =.2-t3t3 +t2 +t + 2 2 3常系数线性非齐次方程组字=AX + Am(t)cosA + Blu(t)sin/?tetrt (o)的特解 dt解型(人现为实常数矩阵，Q是常数，(Ajt)两，(Bm(t)nxl其分量是t的次数至 多且至少有一个为m次的实多项式)定理5当a + i0是(。)中A的klE特征根时(k = 0,l,D),方程组(。)冇形如X* = Pm+k(t)cos/A +(2命(311介皆的特解(P*(t)Ll，(Qm(t)Ll其分杲是t的次数至多且至少有一个为m+k次的实务项式) 爭实上，冋顾2.1-2.2 |的讨论过程

24、，易见久是复数时有关结论仍然成芷 证明现将F(t)表为指数形式：F(t) = Am(t)-iBm c(E0)t + Am(t) + lEm(t) $0方程组冇特解XJ=ly1 e3t.22 2令F (t) = Am (t)迫m (t) e(a+i0)t p( _ + 迫m g(a-i0)t2 2记方程组=AX+F/t)为(1),记方Sffl= AX+E(t)为(2), dtdt利用定理2.4的结果，可知方程组(1)冇形如X；=屮严* +d*甘心+ D)e3Q (其中。貝,D。为待定向xm-rk m+kl的特解.丽=巧(。-#3国科技论衰在线http: /wxvw paper edu cn若X,

25、为方程组的特解，则X必为方程组（2）的特解.方程组有形如=（瓦;评+瓦二严如+ ）e（0，的特解.由非齐线性方程组解的叠加原理知:方程组（1）与方程组的特解之和必为方程组（。）的特解.方程组（。）有形如：x* = x/+x2*=e （D 士严k + Dr+m 严“ + + D）cosA + i（Dm+上严k + D卄严心 + + Do）sin/?t+ （皈严 * + Dtm+kl + + D；）cosZ?t-i（Dtm+k + Dtm+kl + + D；）sin/Adx一dtdy一dt=*屮 + 瓦Qt* + +（d + ）cosA + isinAKDm* -瓦Qt貝 +. +（D -阮） =

26、e P时 k （t）cosA + Qm+k （t）sin/?t 显然（Pm+k（t）nxl，（Qm*（t）两其分昴是t的次数至多且至少冇一个为m + k次的实多 项式例6求方程纽解方程组的特征方程为det(A-AE)= 2A:.A = i不是特征根.山定理2.5可设特解为acost + bsint、ccost + dsiiitX/（a,b,c,d为待定常数）将特解代入原方程组術：一 asiiit + bcost = 2(acost + bsint) 一 3(ccost + dsiiit) + cost一 csint + dcost = (acost + bsint) 一 2(ccost + d

27、sint) + 2sint 比较两端cost, sint系数得:2a -3c + l = b2b 3d = a a - 2c = d b - 2d + 2 = -c解得：a = -l,b = -,c = -,d = 2.77-153国科技论衰在线http: /wxvw paper edu cn-173国科技论衰在线http: /wxvw paper edu cn(_、X7 . A-cost+sintcost + 2sint2方程组有特解注常系数线性非齐次方程组空=AX+ Am(t)coste/lt和竺=AX+ Bm(t)sin/?te dtdt(Am(t)nxP (Bm(t)nxl K分最是t

28、的次数至釦l至少仃一个为m次的实参项式)也冇形如 X* = Pg+k(t)cos0t + QkCOsin/Jtje 的特解(Jt中 k 为 a + i0 是 A 的特征方程的IE数 (k = O,l,.,n), (Pm+k(t)QX1,(Qm+k(t)nxl其分量是t的次数至多且至少有一个为m + k次 的实多项式).出实上，将方程组(o) + F(t)里的Bm(t) , Am(t)分别看作零向最，由定理5可分别 得如上结论.dxt=x + y+ tsmte + e例7求方程组的特解.计=-x + y + (t + l)costet + 3el解可将方程组分解为dx一dtdv一dtdxdtdy

29、dt r 11 * r 11 -k=x + y + tsiiite1(1)和=-X + y + (t + l)coste= x + y+e(2)两个方程组,= -x + y + 3e，(1)的特解为ly丿i zcost + (-t-8(-t)cost+ sint55ee ( I ),由例1知(2)的特解为:(n),-#3国科技论衰在线http: /wxvw paper edu cniy丿故原方程组特解为+ 3丄 cost + (-t58|(-t )cost + sint 一 155丿以上给出了儿种不同类型罪齐次项的方程组的铁解的求法，今后遇到非齐次项为多个 -#E国韻技论衰在线http: /w

30、xvw paper edu cn如上形式的非齐次项Z和的形式，可利用解的叠加原理先分别求出以这些项为非齐次项的方程组的特解，将这些特解求和即为原方程组的特解一=x-y + 4z+t，dt=3x + 2y-z + cost + e 的特解.dtdz. t= 2x + y-z + suit + 2e dt解可将非齐次项F(t)分無为三项Z和：F(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t),p2 0、将特解代入方程组(1)得:2ad + b = ajt2 +bJ + C -(a2t2 +b2t + c2) + 4(a3t2 +b3t + c3)+t2 2a2t + b2 = 3(a1t2

31、+b1t + c1)4-2(a2t2 +b2t + c2)-(a3t2 +b3t + c3)2a3t+ b3 = 2(ajt2 +b1t + c1) + (a2t2 +b2t + c2)-(a3t2 +b3t + c3)比较t的同次幕系数可得：*a a 三 + 4a 3 = 1b! -b2 +4b3 -2a! = 05 -c2 +4c3 一b = 03aj + 2a2 -a3 = 0 I)j 2a 3=0-#E国韻技论衰在线http: /www paper edu cn解得:11a =a“ =1 6 61123b, = sb、=181831127C=c2 =1081081=-6b1823c3

32、=108方程组的特解为#E国韻技论衰在线http: /www paper edu cn#E国韻技论衰在线http: /www paper edu cn1131x(1)-Ip6 18 108 lj 23 127一广+1 +6 18 1081 .7 ,231 + t +6 18 108丿対方程组一=AX +(t)(2),vZ= i不足A的特征根,dt由定理 2.5, 设(2)的特解为(e,g,(i = l,2)均为待定常数)将特解代入方程组(2)得：ej cost + e 2sint、=fcost + f2sint/g1cost + g2sint一eiSint + ecost_fSint + F?

33、costkg1sint + g2costcost + e2sintfjcost + f2sint + 4(gjcost + g2sint)3(eCOSt + e2sint) + 2(f】cost + f2siiit) 一(gCOSt + g.sint) + costi 2(ejCost + e2siiit)4- (fjCost + f2siiit)- (gost + g2sint) + sint )比较sint, cost的系数及常数项可得:-ei=e2-f2+4g2 e2 =e1-f1+4g1_f =3e2 +2f2 -g2解得：1=-丄103 gi =1 10f2 = 3勺 +2f】g +

34、19 _ 10 _ 17 To3方程组的特解为21E国韻技论衰在线http: /wxvw paper edu cn19cost-smt5 10117cost + suit1010cost+ sint105対方程组 =Ax + f3(t)(3), 2 = 1是单根. dt由定理24设(3)的特解为aj + a.bLt+ b2 e(al,bi,c1(i = M)为待定常数)将特解代入得:a】 + at + a2 = aj+ a2 -b-b. +4c1t + 4c2v b +叩 + 5 =3at + 3a +2bt + 2b - cj-c? +1C +Ct + c? = 2a,t + 2a2 +叩

35、+ 切 一Ct-c? +2比较t的系数和常数项得:佃=a】一 b + 4Caj + a2 = a2 -b2 +4c2Jb =3a】 +2b -cb +b2 = 3a2 + 2b2 -c2 +15 = 2a1 +b -C 4c- = -3a2 +c2 =-l2令勺=0, b2=-?a2=-l.方程组(3)的特解为-#E国韻技论衰在线http: /wxvw paper edu cn-23E国韻技论衰在线http: /wxvw paper edu cn382te33-t3-#E国韻技论衰在线http: /wxvw paper edu cnh解的曲加原理，原方程组特解为12113119 .2t1+co

36、stsint + （t 一 l）e6 1810851031 门23厶 127117. z 82X6181081010331,72333.2tt* +t +cost + -smt te61810810533.结束语以上我们给岀了求常系数线性非齐次方程组特解的一种求法-待定系数法,对于满足条 件的方程可直接利用上述方法求解对某些非齐次项为以上几种类型相加的形式，可利用解 的叠加原理求其特解待泄系数法既可避免作多次积分，又可避免记许多繁琐的公式，可利 用上述定理直接设出特解代入方程组，通过比较系数即可求出特解但通过解题过程注意到, 对J：方程组屮方程的个数过多、久重数过高或是非齐次项屮多项式次数过高

37、，用待定系数法 解题就不那么容易了故在解题中盂根据情况灵活的选择解题方法，提高解题效率。参考文献1 王高雄,周Z铭等需微分方程(第版)M-北京：高等教育出版社.1983.2 汤光宋需微分方程：題研究M-武汉：华中理匚人学出版出1994.【3钱伟长.微分方程的理论及K解法M.北京：国防.业出版社.1992.4 阮炯.常微分方程一方法引导M.上海：U H大学出版比】991.5 北京大学数学系高等代数M.北京:高尊教育岀版11.1988.上海师范人学数学系為等数学(一)【M.北京：舄等教自出版比1978.同济大学数学教研宅.高等数散E)MJt京：高等教疗出版社19968 都常清，焦宝聪，値炳照常微分

38、方程Mj.JtM： fl都师范大学出版社.1993.9 辛克坚.阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法讨论几贵州：遵义师范学院学 报.2004(12).78.10 卫曲潘等帘微分方程M.济南：山东教疗出版社.198811 胡林常微分方程门学指导M北京：水利电力出版社.1986.12 徳W瓦尔特著邹应译常微分方程导论M北京高等教育出版社1988.13 钱祥征常锻分方程解题方法M.氏沙：湖南科学技术出版社.1984.14 薛春鵝 刘徳明几类常系数线性非齐次亍程组的特解的求法P1辽宁,辽宁教育 学院学报.2001(9).1-3.金福临，阮炯.黄振勋应用常微分方程M上海：复只大学出版社.1991.-#E

39、国韻技论衰在线http: /www paper edu cnthe way to lead to the particular integrals ofthe non-linearinhomogeneous system of equationswith constant coefficientsby the method of undeterminedcoefficientsStui JingColledge of Mathematics and Physics,Qmgdao Umversity of Science & Technology ShanDongQmgDao (266000)A

40、bstractTlus diesis explores the way to lead to the particular integrals of the non-linear uihomogeneous system of equations witli constant coefficientsby the method of luidetemuned coefficients. This articlefirst touches upon the particular integrals of the non-lmear mliomogeneous system of equations with