2.1第二节数项级数的敛散性判别法shuxiangjishulianshanxingpanbiefappt课件

1、第二节第二节 数项级数的敛散性判别法数项级数的敛散性判别法一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :，中各中各若若01 nnnuu则称此级数为正项级数.对对正正项项级级数数，有有2.2.正项级数收敛的充分必要条件正项级数收敛的充分必要条件: :正项级数收敛的基本定理正项级数收敛的基本定理.部部分分和和数数列列有有界界正正项项级级数数收收敛敛 nsss21注：注：正项级数收敛的本质正项级数收敛的本质 un 0足够快。足够快。. 11nnnnnnvuvu 级级数数，且且为为、正项3.比较审敛法比较审敛法则则 收收敛敛1nnv 发发散散1nnu;1收收敛敛 nnu.1发发散散

2、 nnv重要参照级数重要参照级数: :等比级数等比级数, p-, p-级数。级数。极限形式极限形式: :. lim 11lvuvunnnnnnn 同同上上，且且和和则则 收收敛敛nv;收收敛敛 nu)1(时时，当当 l 收收敛敛nu;收收敛敛 nv)2(时时，当当 0 l收收敛敛 nu.收收敛敛 nv)3(时时，当当 0 l注注: :须有参照级数须有参照级数. 比较审敛法的不方便比较审敛法的不方便 发发散散时时当当收收敛敛时时当当级级数数,1,1ppp结论: .,1;,10发发散散时时当当收收敛敛时时当当qqaqnn解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 发散发散.)

3、2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,nn收收敛敛而而 131故原级数收敛故原级数收敛.则则1 时时, ,收收敛敛; ; 设设 1nnu是是正正项项级级数数, , nnnulim)( 为为数数或或 , , 则则1 时时, ,收收敛敛; ; 1 时时, ,发发散散. . 由项的比值或根值的极限值确定级数的收敛性由项的比值或根值的极限值确定级数的收敛性. . 比值审敛法、根值审敛法的优点比值审敛法、根值审敛法的优点: :1 时时, ,发散发散. . ( ( 1 时时失失效效) ) （1 时失效）时失效） 注意注意:当当1 时时比比值值（根根值值）审审敛敛法法失失效效。 ,11 n

4、pnp 级级数数对对例例nnnuu1 lim 总有总有nnnu lim . 1 解解!1)!1(11nnuunn 11 n0.收收敛敛1 !1010)!1(11nnuunnnn 101 n.发发散散(2) 110!nnn; 解解(3) 11nnn; nnnulim0 nn1lim.收敛收敛解解.)12(21 )4(1 nnn解解)22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效.根值审敛法也一定失效根值审敛法也一定失效.改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn nnnn2) 12(1 lim 2 或或4/1 .收收敛敛二、交错级数及其

5、审敛法二、交错级数及其审敛法正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. .nnSSr称为级数余项 nn1) 1(41312111,.)2 , 1( ;111).(1nunnuinn01limlim).(nuiinnn收敛且S1假如nSSnn1)1(41312111 那么11|nrn例如三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定定义义: :若若 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu绝绝对对收收敛敛; ; 若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu条条件件收收敛敛. . 解解,1sin22nnn ,112收敛收敛而而 nn,sin12

6、 nnn收敛收敛故原级数绝对收敛故原级数绝对收敛.解解,p时时 1 绝绝对对收收敛敛；, 10时时 p条条件件收收敛敛；, 0时时 p发发散散。绝绝对对收收敛敛还还是是条条件件收收敛敛。 *定理绝对收敛与条件收敛的本质）定理绝对收敛与条件收敛的本质）(1) (1) 绝对收敛的级数，可以任意改变项的顺序绝对收敛的级数，可以任意改变项的顺序，其收敛性与和均不变；，其收敛性与和均不变；(2) (2) 条件收敛的级数，总可以适当改变项的顺条件收敛的级数，总可以适当改变项的顺序，使其按任意预定的方式收敛或发散。序，使其按任意预定的方式收敛或发散。注：注： 用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级数一定发散。数一定发散。三、小结三、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4. 充要条件充要条件5. 比较法比较法6. 比值法