《换元积分法二》ppt课件

1、第二节第二节 换元积分法二换元积分法二问题问题?12 dxx困难困难二、第二类换元法二、第二类换元法带根号带根号怎样积？怎样积？这需求下面引见的第二换元法。这需求下面引见的第二换元法。 dtttfdxxfttfttx)( )()( )( )(, 0)( )( 2 具具有有原原函函数数，则则有有又又单单调调，可可导导，且且设设定定理理的一个原函数的一个原函数为为设设)( )()( ttft )( )()( ttft 即即所以所以 dtttf)( )( Ct )(证证0)( )( ttx 单调，可导，且单调，可导，且且有且有存在，可导，存在，可导，的反函数的反函数)( )( 1xttx dxdtd

2、tdx 1 )( 1t 令令 )(xF)(1x 则则 )( xF)( t dxdt )( t )( 1t )( )(ttf )( 1t )(tf )(xf的原函数的原函数是是即即)()(:xfxF dxxf)(CxF )( )(1x C )(t C dtttfdxxf)( )()( 证毕证毕例例1 1 求求解解dxxx 234令令txsin2 tdtdxcos2 )2,2(, tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdtttsincos)cos1(3222 )(cos)cos(cos3242tdtt Ctt )cos51cos31(3253

3、 3 522141432 .3252xxC .4514345 23 2Cxx 例例2 2 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt |tansec|lnCaxaax |ln22)2,2(, t22ln|lnxxaCa122|lnCaxx 例例3 3 求求解解).0(122 adxax被积函数的定义域：被积函数的定义域：1ax 时时)2, 0(, ttdttadxtansec dxax221 tatan1 tdtsectdttatansec Ctt |tansec|lnCaaxax |ln2222ln

4、|lnxxaCa122|lnCaxx 令令taxsec ax 或或ax 2ax 时时xu 那么那么au ux dudx dxax221)()(122duau 221=duua 22=ln|uuaC 由由1 22=ln|xxaC 代代入入将将xu 222=ln|aCxxa 22=ln|2lnxxaCa 221=ln|xxaC 令令221dxxa 22ln|xxaC 由由12得：得：阐明阐明(1)(1) 以上几例所运用的代换称为三角代换以上几例所运用的代换称为三角代换.作三角代换的目的是去掉根号作三角代换的目的是去掉根号.普通规律如下：普通规律如下：当被积函数中含有当被积函数中含有22)1(xa

5、可令可令taxsin 22)2(xa 可令可令taxtan 22)3(ax 可令可令taxsec 积分中为了去掉根号能否一定采用积分中为了去掉根号能否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定情况来定.阐明阐明(2)(2)例例4 4 求求dxxx 251用三角代换很繁琐用三角代换很繁琐21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解例例5 5 求求解解.11dxex xet 1令令12 texdtttdx122 dxex 11dt

6、t 122Ctt |11|ln212Ctt 11lnCeexx |1111|ln 1ln 2 tx即即Cxex )11ln(2阐明阐明(3)(3)倒代换倒代换tx1 例例6 6 求求dxxx )2(17令令tx1 dttdx21 dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417Cxx |ln21|2|ln1417解解时时，可可采采用用正正整整数数当当分分母母含含有有因因子子)( kxk例例7 7 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 dttdx21 dtttt 2241111142| |1tdttt dxxx 112442| |1tdt

7、tt 2221()21td tt 2tu 令令0 x(1) 时时321tdtt duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 31311.1311322Cxxxx 322111.|3|xxCxxdxxx 112442| |1tdttt 2221()21td tt 2tu 令令0 x (2) 时时321tdtt 121uduu 11121uduu 111(1)21uduu 31113uuC 3221113xxCxx3221113|xxCxx 322111|3|xxCxx322111|3|xxCxx由由(1)(2)得：得：dxxx 1124根本积分公式表根本积分公式表( (

8、二二) ) Cxxdx|cos|lntan)14( Cxxdx|sin|lncot)15( Cxxxdx|tansec|lnsec)16( Cxxxdx|cotcsc|lncsc)17(Caxadxxa arctan11)18(22Cxaxaadxxa |ln211)20(22Caxdxxa arcsin1)21(22Caxxdxax |ln1)22(2222Caxaxadxax |ln211)19(22dxxx 32182例例 dxx 2)1(12 )1(2)1(122 xdx Cx 21arctan21dxx 94192例例 dxx 223)2(1 223)2(1x Cxx |3)2(2|ln2122)2( xd21 Cxx |942|ln212dxxx 21110例例 dxx 2)21(451 22)21()25(1x Cx 5)21(2arcsin)21( xd Cx 5