概率论与数理统计1-4事件的独立性ppt课件

1、征征=数数字字特特11定义：定义：DX= 2)( XEXE 1. 设设C是常数是常数,那么那么D(C)=0; 2. 假设假设k是常数是常数,那么那么D(kX)=k2 D(X);3. 假设假设X1与与X2 独立，那么独立，那么D(X1+X2)= D(X1)+D(X2); 复习：方差复习：方差2计算：计算： 的的期期望望方方差差是是函函数数2)()(XEXXg 方法方法2: 22)()()(XEXEXD 方法方法1：由定义：由定义3性质：性质：普通地：普通地： D(X1+X2)= D(X1)+D(X2) + 2 EX-E(X) Y-E(Y)。征征=数数字字特特212)(2ab 2(3)泊松分布泊松

2、分布:(1)(0-1)分布分布:D(X)=p (1-p )(2) 二项分布二项分布:D(X)=np(1-p)D(X)=(4)正态分布正态分布:(5)均匀分布均匀分布:D(X)=D(X)=(6) 指数分布指数分布21)( XDnpXE )(2)(baXE )(XE )(XE 1)( XEpXE )(4常见分布的方差：常见分布的方差：(5) (5) 切比雪夫不等式切比雪夫不等式设设r.vX具有均值具有均值E(X)= ,方差方差D(X)= 2，那么对，那么对 0 ,有不有不等式等式 22 XP .XP221 征征=数数字字特特3证明证明:根据数学期望与方差的性质根据数学期望与方差的性质:,)()(X

3、DXEXY 令令证明证明E(Y)=0,D(Y)=1 )()()(XDXEXEYE )()(XDXEXE 0)()()( XDXEXEP99T10： 设设E(X),D(X)均存在均存在,且且D(X) 0 )()()(XDXEXDYD )()(XDXEXD 1)()( XDXD通常把由通常把由 r.v X 构造构造r.v Y的过程叫做对的过程叫做对r.v X 规范化。规范化。留意留意:更重要的是要知道如何将一个随机变量规范化更重要的是要知道如何将一个随机变量规范化.3 协方差和相关系数协方差和相关系数 Covariance andcorrelation coefficient征征=数数字字特特5

4、对于一个二维随机向量对于一个二维随机向量X，Y，期望和方差只反，期望和方差只反映了它们各自的平均取值与相对于其均值的偏离程度，没映了它们各自的平均取值与相对于其均值的偏离程度，没有反映出有反映出X与与Y之间的相互关系。之间的相互关系。D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)留意到公式留意到公式假设假设X、Y相互独相互独立立,D(X+Y)=D(X)+D(Y)。EX-E(X)Y-E(Y)=0，可以发现可以发现 EX-E(X)Y-E(Y) 这个数在一定程度上反这个数在一定程度上反映了映了X与与Y之间的关系，称为之间的关系，称为X与与Y的协方差。的协方差。一、协方差一、协方差 1

5、 1、定义、定义: :设设(X,Y)(X,Y)是一随机向量，称是一随机向量，称EX-E(X)Y-E(Y)EX-E(X)Y-E(Y) Cov(X,Y)= EX-E(X)Y-E(Y)为为X与与Y的协方差的协方差,记作记作CovX，Y或或 XY，即，即假设假设X X、Y Y相互独相互独立立阐明阐明对于对于r. vX,Y，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 协方差是刻划协方差是刻划r.vX与与Y间取值的相互关系的数间取值的相互关系的数 字特征字特征.显然显然:意义意义:Cov(X,Y)=0,Cov(X,Y)=0, 1)用定义式用定义式 Cov(X,Y)= EX-E(X)Y-E(Y)2

6、 2、计算方法、计算方法2)用简单公式用简单公式 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,X)=D(X)810811810811081181081181000YX-1 0 1 -10811818181818181810例例1 设设r.vX和和Y的结合分布的结合分布律为律为求求Cov(X,Y)解：解：用公式用公式 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可求出可求出(X,Y)关于关于X，Y的边缘分布律的边缘分布律 X -1 0 3/8 2/83/81kp Y -1 0 3/8 2/83/81kp083182083)1()( XE0)( YE同同理理11,)(i iijji

7、pyxXYE Cov(X,Y)=0-0=0阐明：虽然阐明：虽然Cov(X,Y)=0，但，但00, 0 YXP161)82(002 YPXP000, 0 YPXPYXP即即X与与Y不独立。不独立。征征=数数字字特特83 3、性质、性质) Cov(X,Y)=Cov(Y,X);() Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(对称性对称性) ) ) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y), a,b ) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y), a,b是恣意常数；是恣意常数； ) ) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov

8、(X2,Y)注：注： 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间的关系，相互间的关系，但它还受但它还受X与与Y本身的系数影响本身的系数影响. 例如：例如：Cov(10X, 10Y)=100Cov(X,Y)为了抑制这一缺陷，将协方差规范化，即在计算协方差时，为了抑制这一缺陷，将协方差规范化，即在计算协方差时，先对先对X与与Y进展规范化进展规范化.即即:实践上，实践上，10X与与10Y之间的关系和之间的关系和X与与Y之间的关系应一致。之间的关系应一致。,)()(XDXEXX ,)()(YDYEYY ,0)( XE,0)( YE)()()()(),( YXEYEXEY

9、XEYXCov规范化的协方差称为规范化的协方差称为X，Y的相关系数的相关系数 )Y(D)Y(EY)X(D)X(EXE.)Y(D)X(D)Y,X(Cov 征征=数数字字特特9二、相关系数二、相关系数 (correlation (correlation coefficient)coefficient)设设(X,Y)是一随机向量，当是一随机向量，当D(X)0, D(Y)0,那么称数那么称数值值)()(),(YDXDYXCOV为为X,Y的线性相关系数，简称相关系数的线性相关系数，简称相关系数. 注：注：1 1、定义、定义: : XY 记记作作 相关系数也就是规范化的随机变量相关系数也就是规范化的随机变

10、量X*，Y*的协方差。的协方差。 XY 是没有单位的量，只与两个是没有单位的量，只与两个r.v有关，能更好地反有关，能更好地反映映X与与Y之间的关系。之间的关系。2 2、性质：、性质：1),0(,1)2; 11 bXaYPbbaXYXY使使） 相关系数刻划了相关系数刻划了X和和Y间间“线性相关的程度线性相关的程度.征征=数数字字特特10将将e视为关于视为关于a,b的二元函数，求驻点：的二元函数，求驻点： 0)(2)(2)(20)(2)(222XaEXYEXbEbeYEXbEaae)(),(0XDYXCovb 解得解得)(),()()(0XDYXCovXEYEa )(200XbaYEe 性质性质

11、1成立。成立。对应的误差平方为对应的误差平方为0)()1(2 YDXY 性质性质2证明略。证明略。要使要使Y与与X的某个线性函数的某个线性函数a+bX最为接近最为接近,就是要找就是要找a,b使得误差使得误差平方平方e值最小值最小.证：证：e=EY-(a+bX)2=E(Y2)+b2E(X2)+a2 -2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)对恣意的对恣意的a,b,令令描写了描写了Y与与a+bX的偏离程度的偏离程度*征征=数数字字特特11假设假设 = 0， Y与与X无线性关系无线性关系; Y与与X 存在线性关系存在线性关系;,1 假设假设假设假设0| |1, | |的值越接近于的值越接近于1,

12、 Y与与X的线性相关程度越高的线性相关程度越高; | |的值越接近于的值越接近于0, Y与与X的线性相关程度越弱的线性相关程度越弱. =0=0时，称时，称X X和和Y Y不相关。不相关。由由*式知，式知， XY 的含义的含义阐明：阐明：1对于随机变量对于随机变量X,Y，下面现实是等价的，下面现实是等价的2) X与与Y相互独立相互独立X与与Y不相关不相关X与与Y不相关不相关,只阐明只阐明X与与Y之间没有线性关系，但可以有之间没有线性关系，但可以有非线性关系；非线性关系；但是，对于二维正态分布，独立与不相关等价。但是，对于二维正态分布，独立与不相关等价。即：假设二维即：假设二维r.v);,;,()

13、,(222121 NYX XY且且E(XY)=E(X)E(Y); 即即X与与Y不相关不相关0 XY 3 3、重要结论、重要结论Cov(X,Y)=0; X与与Y不相关；不相关；那么那么X与与Y相互独立相互独立 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 而而X与与Y独立是指独立是指X,Y之间既无线性关系，之间既无线性关系，也无非线性关系，故也无非线性关系，故“独立必然不相关，但反之不然。独立必然不相关，但反之不然。例例2 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为 1,01,1),(2222yxyxyxf 证明证明:先求边缘概率密度函先求边缘概率密度函数数 dyyxfxfX),()(

14、,122x 11,122 yy fY(y)同理同理所以所以 f(x,y)fX(x)fY(y)故故X与与Y不独立不独立验证验证X与与Y不相关不相关,且不相互独立。且不相互独立。-1dxxxfXEX)()( 122),()(yxdxdyyxxyfXYECov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=00 XY 11 xdyxx 2211101111122 xxydyxdx012211 dxxx即即X与与Y不相关不相关征征=数数字字特特14三、几个常用的数字特征三、几个常用的数字特征1 1、矩、矩 (moment) : (moment) : 矩矩原原点点阶阶混混合合的的和和存存在在，则则称称之之为为

15、若若)()(lkYXYXElk 那么称之为那么称之为X与与Y的的k+l 阶混合中心矩。阶混合中心矩。 存存在在，若若lkYEYXEXE)()( 定义：设定义：设X与与Y是随机变量，是随机变量，显然，显然，E(X)为一阶原点矩，为一阶原点矩，D(X)是二阶中心矩；是二阶中心矩； Cov(X,Y)是二阶混合中心矩。是二阶混合中心矩。,2,1,2,1 lk的的存存在在，则则称称之之为为若若XXEk)()( 阶阶矩矩阶阶原原点点矩矩kk 的的存存在在，则则称称之之为为若若XXEXEk)( 阶中心矩阶中心矩k征征=数数字字特特152 2、协方差矩阵、协方差矩阵 了解了解二维二维r.v(X,Y)有四个二阶中心矩即有四个二阶中心矩即D(X) 、cov(X,Y) 、cov(Y,X) 、D(Y),将它们排成矩阵将它们排成矩阵 称为称为X,Y的协方差矩阵的协方差矩阵. )(),cov(),cov()(YDXYYXXD n维维r.v (X1,X2,.Xn) ),cov(.),cov(),cov(.),cov(.),cov(),cov(),cov(.),cov()(212221