2013高三数学一轮复习课时提能演练7.2空间几何体的表面积与体积理新课标

1、用心爱心专心-1 -课时提能演练（四十三）（45 分钟 100 分）、选择题（每小题 6 分，共 36 分）1.（2012 江门模拟）长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1 : 2 : 3,对角线长为 2.14,则这个长方体的体积是（）（A）6（B）12（C）24（D）482.（2012 郑州模拟）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为边长是菱形，俯视图是一个正方形，该几何体的体积是（）俯视图3.如图，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的正视图 俯视侧视图(A) 3(B)(C)16()图形，俯视图是一个半径为(用心爱心专心-2 -(A)15n(B)

2、18n(C)21n(D)24n4.在矩形 ABCD 中, AB= 4, BC= 3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B AC D,则四面用心爱心专心-3 -体 ABCD 勺外接球的体积为()125125125125(A)pn(B)-9 n(C) n(D) n5.由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的正视图、侧视图、俯视图相同如图所示，其中视图中四边形ABCD 是边长为 1 的正方形，则该几何体的表面积为()(A) 3(B)23(C)3 3(D)436.(预测题)某几何体的三视图如图所示，当a + b 取最大值时，这个几何体的体积为()俯视图、填空题(每小题 6 分，共 1

3、8 分)7. (2012 合肥模拟)三棱锥 A BCD 的各个面都是正三角形， 棱长为 2,点 P 在棱 AB 上移动,点 Q 在棱 CD 上移动，则沿三棱锥外表面从P 到 Q 的最短距离等于 _.8. (2012 珠海模拟)正方体的棱长为 3 cm,在每一个面的正中央有一个正方形的孔通过对面，孔的边长为 1 cm,孔的各棱分别平行于正方体的各棱，则该几何体的体积是 _9. (易错题)如图，有三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱、一个是过圆柱上下底面圆心切下的圆柱的四分之一部分，这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为侧视图1(%(B)(C)(D)用心爱心专心-4 -

4、三、解答题(每小题 15 分，共 30 分)10.如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm).俯视图(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积11.如图，已知平行四边形 ABCD 中, BC= 2, BD 丄 CD,四边形 ADEF 为正方形，平面 ADEGL平面 ABCD G, H 分别是 DF, BE 的中点.记 CD= x, V(x)表示四棱锥 F-ABCD 勺体积.(1)求 V(x)的表达式；(2)求 V(x)的最大值.【探究创新】用心爱心专心-5 -(16 分)如图，在长方体 ABCD- ABCD 中，AD= AA= 1, AB1,点 E 在棱

5、 AB 上移动，小蚂蚁 从点 A沿长方体的表面爬到点 C,所爬的最短路程为 2 寸 2.(1)求 AB 的长度.(2)求该长方体外接球的表面积答案解析1. 【解析】 选 D.设长方体的棱长为 a,2a,3a，则 a2+ (2a)2+ (3a)2= (2 14)2,即 14a2= 4X14,. a2= 4,. a = 2,.长方体的体积为 ax2ax3a = 6a3= 48.【变式备选】(2012 海口模拟)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()(A)25n(B)50n(C)125n(D)都不对【解析】 选 B.由题意知外接球的直径2

6、R=32+ 42+ 52= 5 2,.S表=4nR=4n X ()2= 50n.2. 【解析】选 B.该几何体由两个具有公共底面的正四棱锥组成，且底面正方形的边长为1 ,用心爱心专心-6 -每个棱锥的高为-，故 V= 2x(1X12X#) = -3-.【变式备选】一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()用心爱心专心【解析】 选 D.由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm 高为 3 cm 的圆柱上部去掉一个半径为 1 cm 的半球，所以其体积为223273V= nr h3nr=3n 3n =3n(cm ).3.【解析】 选 C.由题意可知，该组合体的下面为圆柱体，上面为圆锥体，

7、由相应几何体的面积计算公式得， 该组合体的表面积为：S=nr2+ 2nrh +nrl=n( 3)2+ 2n X J3X2i 3径为 AC 长度的一半，则 V球=3n X(5)3= 挥上【误区警示】解答本题常见的错误是无法判定三棱锥的形状及其中的数量关系5.【解题指南】由三视图得到几何体的直观图是解题的关键【解析】 选 B.由题意得该几何体中正四棱锥的侧棱长为1,底面正方形的对角线长为故底面正方形的边长为1,所以几何体的表面积为 8X(-jx 12) = 2 3.6.【解题指南】 构造出关于 a, b 的关系式，利用基本不等式求最值【解析】选 D.由题意知，该几何体的直观图如图所示，且AC= .

8、6, BD= 1, BC= b,设 CD= x, AD= y,2 2 2 2则 x + y = 6, x + 1 = b ,2y2+1 = a2,消去 x2, y2得 a2+ b2= 8 ,6(A)5n3cm(B)32(c)3n3cm(D)侧视图7t4 2cni-H俯视图3cm3cm4.【解析】选AC上, 且其半2,AB= a.用心爱心专心-8 -1 1所以 a+ bw4,当且仅当 a= b = 2 时等号成立，此时 x = 3, y= 3,所以 V= 3x1x x3=2.【误区警示】 解答本题常见的错误是忽视a+b 取最大值这一条件.7.【解题指南】将三棱锥的侧面展开，转化为平面图形处理【解

9、析】如图所示，将三棱锥 A BCD 沿侧棱 AB 剪开，将各个侧面展开成为一个平面，由于三棱锥 A BCD 的各个面都是正三角形，所以展开的平面图中 ABDC 是一个菱形，边长为 2，当点 P 在棱 AB 上移动，上移动时，沿三棱锥外表面从P 到 Q 的最短距离应该是菱形AB 和 DC 之间的距离，等于23x2=3.答案：,38.【解析】V= V正方体一 7X13= 33- 7X13= 20(cm3)答案：20 cm39.【解析】因为三个几何体的正视图和俯视图为相同的正方形，正方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形，且侧棱与底面直角边长相等的直三棱柱，原1 14 圆柱是底面半径与高相等的 4

10、圆柱，设正方形的边长为 a，则长方体体积为 a3，直三棱柱体1313积为歹3,四分之一圆柱的体积为彳冗 a3,所以它们的体积之比为 4 : 2 :n.答案：4 ： 2 :n10. 【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示 这个几何体可看成是正方体 AG 及直三棱柱 BiCQ- A1DP 的组合体.由 PA= PD =迈，AD = AD= 2,可得 PA 丄 PD.故所求几何体的表面积S=5X22+2X2X2+2X1x(2)2所以原长方体为棱长相等的PQ用心爱心专心-9 -=22 + 4 2 (cm ),1所求几何体的体积 V= 23+ X( 2)2X 23=10(cm ).11.【解题指南】

11、利用体积公式得到 V(x)的表达式，然后根据基本不等式或函数的知识求最 大值.【解析】(1)I平面 ADEH 平面 ABCD 交线为 AD 且 FA 丄 AD, / FA 丄平面 ABCD./ BD 丄 CD BC= 2, CD= x, FA= 2, BD=4-x2(0 x2)S 匚ABCD=CD BD= x 4-x2, V(x) =3SC3ABCD-FA= 3X：4 x(0 x2)方法一：要使 V(x)取得最大值，只需 x 4 x2= x2(4 X2)(0X2)取得最大值，22x2+ 4 x22- x(4 x) () = 4,24 V(x)w3X2=3.当且仅当 x2= 4 x2,即卩 x=.?2 时等号成立.4故 V(x)的最大值为亍方法二： V(x) = 3x 4 x2=2- x4+ 4x2= (x2 2)2+ 4.