272二次函数的图象与性质(7)

1、27.2二次函数的图象与性质(7)教学目标：1 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质. 2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.重点：二次函数的图象与性质难点：二次函数的图象与性质 本节知识点 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式. 教学过程般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出26. 2. 9 所示，现测得水面宽 1. 6m，涵洞顶点O 到水面的距离为 2. 4m,在图中直角坐标系内， 涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 分析 如图，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 O 的 y 轴

2、的垂线为 x 轴，建立了直角坐 标系这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函2数关系式是y ax (a 0)此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式. 解 由题意，得点B 的坐标为(0. 8, -2 . 4),又因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代入y ax2(a 0)，得22.4 a 0.8所以a415因此，函数关系式是yx2.4例 2根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点A ( 0, -1 )、B ( 1, 0)、C (-1 ,2);(2) 已知抛物线的顶点为(1, -3),且与 y 轴交于点(0, 1);

3、(3) 已知抛物线与 x 轴交于点 M (-3, 0)、(5, 0),且与 y 轴交于点(0, -3);(4) 已知抛物线的顶点为(3, -2),且与 x 轴两交点间的距离为 4.分析(1 )根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为函数关系式例如：我们在确定一次函数y kx b(k 0)的关系式时，通常需要两个独立的条件:k确定反比例函数y (k 0)的关系式时，通常只需要x一个条件：如果要确定二次函数y ax2bx c(a 0)的关系式，又需要几个条件呢?实践与探索例 1.某涵洞是抛物线形，它的截面如图y ax2bx c的形式；(2)根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y a

4、(x 1)23，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值； (3)根据抛物线与x轴的两个交点的坐标， 可设函数关系式 为y a(x 3)( x5)，再根据抛物线与 y 轴的交点可求出 a 的值；(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3, -2)，可设函数关系式为y a(x 3)22，同时可知抛物线的对称轴为 x=3， 再由与 x 轴两交点间的距离为 4,可得抛物线与 x 轴的两个交点为(1，0)和(5，0)，任 选一个代入y a(x 3)22，即可求出 a 的值.解 (1)设二次函数关系式为y ax2bx c，由已知，这个函数的图象过(0, -1)，可 以得到 c= -1.又由于其图象过点(1，0)、(

5、-1，2)两点，可以得到a b 1a b 3解这个方程组，得a=2， b= -1.所以，所求二次函数的关系式是y 2x22x 1.(2)因为抛物线的顶点为(1,-3 )，所以设二此函数的关系式为y a(x 1)23，又由于抛物线与 y 轴交于点(0，1)，可以得到1a(0 1)23解得a 4.所以，所求二次函数的关系式是y 4(x 1)23 4x28x 1.(3) 因为抛物线与 x 轴交于点 M (-3，0 )、(5，0 )，所以设二此函数的关系式为y a(x 3)(x 5).又由于抛物线与 y 轴交于点(0，3)，可以得到3a(0 3)(0 5).解得a1.51122所以，所求二次函数的关系

6、式是y (x 3)(x 5)x2x 3.555(4 )根据前面的分析，本题已转化为与(2)相同的题型，请同学们自己完成.回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式：(1)一般式：y ax2bx c(a 0)，给出三点坐标可利用此式来求.(2) 顶点式：y a(x h)2k(a 0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求.(3)交点式：y a(xxi)(x X2)(a 0)，给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点(Xi,0)、(X2,0)时可利用此式来求.当堂课内练

7、习1 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1) 已知二次函数的图象经过点(0, 2)、(1,1 )、( 3, 5);(2) 已知抛物线的顶点为(-1 , 2),且过点(2, 1);(3) 已知抛物线与 x 轴交于点 M (-1, 0)、(2, 0),且经过点(1 , 2).2.二次函数图象的对称轴是x= -1，与 y 轴交点的纵坐标是,且经过点(2, 10),求此二次函数的关系式.本课课外作业A 组1已知二次函数yx2bxc的图象经过点 A (-1,12)、B(2, -3),(1) 求该二次函数的关系式；(2)用配方法把(1 )所得的函数关系式化成y a(xh)2k的形式，并求出该

8、抛物线 的顶点坐标和对称轴.2.已知二次函数的图象与一次函数y 4x 8的图象有两个公共点 P (2, m)、Q(n, -8),如果抛物线的对称轴是 x= -1，求该二次函数的关系式.3某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部 C离地面高度为 4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门， 货物顶部距地面 2.8m , 装货宽度为 2. 4m .请判断这辆汽车能否顺利通过大门.4.已知二次函数yax2bx c，当 x=3 时，函数取得最大值10,且它的图象 在 x 轴上截得的弦长为 4,试求二次函数的关系式.B 组25.已知二次函数y x bx c的图象经过(1,

9、0)与(2, 5)两点.(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y x2bx c解析式的题目，使所求得的二次函数与(1)的相同.6.抛物线y x22mx n过点(2, 4),且其顶点在直线y 2x 1上，求此二次函数的 关系式.课堂小结:教学反思：? 一般地，由 y=ax2 的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k 的图象：y=a(x-h)2+k(a丰0)的图象可以看成 y=ax2 的图象先沿 x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当 h0 时，向右平移；当 h0 时向上平移；当 k0 时，开口向上；当 av0 时，开口向下；(2) 对称轴是

10、直线 x=k ;(3) 顶点坐标是(h , k)o我们知道：代数式 b2-4ac 对于方程的根起着关键的作用.当 b2b vb24ac2a0 时,方程 ax2bx c 0 a 0 有两个相等的实数根:bxi,2.2a0 时，方程 ax2bx c 0 a 0 没有实数根我们把代数式 b24ac 叫做方程 ax2bx c 0 a 0 的 根的判别式 用来表示即b24ac.一元二次方程根的情况与 b2-4ac 的关系0 时，方程 ax2bx c 0a 0 有两个不相等的实数根4ac当 b2当 b2xi,24ac4ac二次函数y=ax2+bx+c的图象和 x 轴交点的 横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？二次函数y=ax2+bx+c 的图 象和 X 轴交点一兀一次方程ax2+bx+c=0 的根一兀一次方程ax2+bx+c=0 艮的判别式 =b2-4ac有两个交点有两个不相 等的实数根b2-4ac 0只有一个交点有两个相等 的实数根b2-4ac =