四川省遂宁二中2012届高三数学辅导资料（6） 反函数和二次函数

1、（6）反函数和二次函数知识梳理（一）反函数1.反函数定义：若函数y=f（x）（xA）的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到x=（y）.如果对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数.这样的函数x=（y）（yC）叫做函数y=f（x）（xA）的反函数，记作x=f1（y）.在函数x=f1（y）中，y表示自变量，x表示函数.习惯上，我们一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x=f1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f1（x）.2.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数

2、才有反函数。3.求反函数的步骤：（1）解关于x的方程y=f（x），得到x=f1（y）.（2）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到y=f1（x）.（3）求出并说明反函数的定义域即函数y=f（x）的值域.4.反函数性质的应用（1）函数y=f（x）的定义域是它的反函数y=f1（x）的值域；函数y=f（x）的值域是它的反函数y=f1（x）的定义域；（2）互为反函数的两个函数y=f（x）与y=f1（x）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称.反之，如果单调函数y=f（x）与y=g（x）图象关于直线y=x对称，则函数y=f（x）与y=g（x）互为反函数。（3）若函数y=f（x）与y=f1（x）互

3、为反函数，且在y=f（x）的图象上，则在y=f1（x）的图象上。（4）若函数y=f（x）是单调函数，则它的反函数y=f1（x）的单调性和原函数y=f（x）的单调性相同。（5）非单元集的偶函数一定不存在反函数，奇函数不一定存在反函数，若存在，则反函数也是奇函数。4.二次函数的基本性质一般式顶点式两根式解析式图象对称轴顶点单调性最值点击双基1.函数y=log2（x+1）+1（x0）的反函数为（ ）A.y=2x11（x1）B.y=2x1+1（x1）C.y=2x+11（x0）D.y=2x+1+1（x0）2.函数f（x）=（x）的反函数（ ）A.在，+）上为增函数B.在，+）上为减函数C.在（，0上为增

4、函数D.在（，0上为减函数3.二次函数y=x22（a+b）x+c2+2ab的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为ABC的三边长，则ABC为A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形4.若函数f（x）=，则f1（）=_.5.若函数y=x2+（a+2）x+3，xa，b的图象关于直线x=1对称，则b=_.6.设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4x2）的单调递增区间为A.0，+） B.（，0 C.0，2）D.（2，0典例剖析【例1】 求函数f（x）=的反函数.【例2】 已知函数f（x）是函数y=1（xR）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=的图象关于直线y=x1成轴对称图

5、形，记F（x）=f（x）+g（x）.（1）求F（x）的解析式及定义域.（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直?若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由.【例3】 设x、y是关于m的方程m22am+a+6=0的两个实根，则（x1）2+（y1）2的最小值是A.12B.18 C.8 D. 【例4】已知函数的最大值为，求的值 【例5】已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围闯关训练1.函数y=+1（x1）的反函数是（ ）A.y=x22x+2（x1）B.y=x22x+2（x1）C.y=x22x（x1）D.y=x22x（x1）2.记函数y=1+3x

6、的反函数为y=g（x），则g（10）等于（ ）A.2 B.2 C.3 D.13. 已知函数的值域是，则的取值范围是（ ）A.B. C.D.4.要使y=x2+4x（xa）有反函数，则a的最小值是（ ）A. 4 B. 2 C.2 D.45.（2010全国卷，理2）函数的反函数是（ ）A. B. C. D. 6.(2008陕西理7)已知函数，是的反函数，若,则的值为（ ）A. 2 B. 1 C. 4 D.107. 若函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）A. 或 B. C. 或 D.或8.若点（2，）既在函数y2axb的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=_，b=_.9.若对任意实数x，sin

7、2x+2kcosx-2k-2<0恒成立，则实数k的取值范围_.10.若不等式对一切总成立，则的最小值为_.11.已知函数y=f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=3x1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（8）=_.12.已知函数f（x）=mx2+（m3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围.13.已知函数（a0，且a1）.（1）求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）判定f1（x）的奇偶性；（3）解不等式f1（x）1.14.已知函数f（x）=（）2（x1）.（1）求f（x）的反函数f1（x）；（2）判定f1（x）在其定义域内的单调性；（3）若不

8、等式（1）f1（x）a（a）对x，恒成立，求实数a的取值范围.（6）反函数和二次函数知识梳理（一）反函数1.反函数定义：若函数y=f（x）（xA）的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到x=（y）.如果对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数.这样的函数x=（y）（yC）叫做函数y=f（x）（xA）的反函数，记作x=f1（y）.在函数x=f1（y）中，y表示自变量，x表示函数.习惯上，我们一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x=f1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f1（x

9、）.2.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数。3.求反函数的步骤：（1）解关于x的方程y=f（x），得到x=f1（y）.（2）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到y=f1（x）.（3）求出并说明反函数的定义域即函数y=f（x）的值域.4.反函数性质的应用（1）函数y=f（x）的定义域是它的反函数y=f1（x）的值域；函数y=f（x）的值域是它的反函数y=f1（x）的定义域；（2）互为反函数的两个函数y=f（x）与y=f1（x）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称.反之，如果单调函数y=f（x）与y=g（x）图象关于直线y=x对称，则函数y=f（x）与y=

10、g（x）互为反函数。（3）若函数y=f（x）与y=f1（x）互为反函数，且在y=f（x）的图象上，则在y=f1（x）的图象上。（4）若函数y=f（x）是单调函数，则它的反函数y=f1（x）的单调性和原函数y=f（x）的单调性相同。（5）非单元集的偶函数一定不存在反函数，奇函数不一定存在反函数，若存在，则反函数也是奇函数。4.二次函数的基本性质一般式顶点式两根式解析式图象对称轴顶点单调性最值点击双基1.函数y=log2（x+1）+1（x0）的反函数为（ ）A.y=2x11（x1）B.y=2x1+1（x1）C.y=2x+11（x0）D.y=2x+1+1（x0）解析：函数y=log2（x+1）+1（

11、x0）的值域为y|y1，由y=log2（x+1）+1，解得x=2y11.函数y=log2（x+1）+1（x0）的反函数为y=2x11（x1）.答案：A2.函数f（x）=（x）的反函数（ ）A.在，+）上为增函数B.在，+）上为减函数C.在（，0上为增函数D.在（，0上为减函数解析：函数f（x）=（x）的值域为y|y0，而原函数在，+）上是减函数，所以它的反函数在（，0上也是减函数.答案：D3.二次函数y=x22（a+b）x+c2+2ab的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为ABC的三边长，则ABC为A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形解析：y=x（a+b）2+c2+2ab

12、（a+b）2=x（a+b）2+c2a2b2.顶点为（a+b，c2a2b2）.由题意知c2a2b2=0.ABC为直角三角形.答案：B4.若函数f（x）=，则f1（）=_.解法一：由f（x）=，得f1（x）=.f1（）=1.解法二：由=，解得x=1.f1（）=1.答案：1评述：显然解法二更简便.5.（2003年春季上海）若函数y=x2+（a+2）x+3，xa，b的图象关于直线x=1对称，则b=_.解法一：二次函数y=x2+（a+2）x+3的图象关于直线x=1对称，说明二次函数的对称轴为1，即=1.a=4.而f（x）是定义在a，b上的，即a、b关于x=1也是对称的，=1.b=6.解法二：二次函数y=

13、x2+（a+2）x+3的对称轴为x=1，f（x）可表示为f（x）=（x1）2+c，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得a+2=2.a=4，b的计算同解法一.解法三：二次函数的对称轴为x=1，有f（x）=f（2x），比较对应项系数，a=4，b的计算同解法一.答案：66.设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4x2）的单调递增区间为A.0，+） B.（，0 C.0，2）D.（2，0解析：f（4x2）=log2（4x2）.x（2，0时，4x2单调递增；x0，2）时，4x2单调递减.答案：C典例剖析【例1】 求函数f（x）=的反函数.解：当x1时，y=x212，且有x=，此时反函数为y=（

14、x2）.当x1时，y=x+12，且有x=y+1，此时反函数为y=x+1（x2）.f（x）的反函数f1（x）= 评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例2】 已知函数f（x）是函数y=1（xR）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=的图象关于直线y=x1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g（x）.（1）求F（x）的解析式及定义域.（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直?若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由y=1（xR），得10x=，x=lg.f（x）=lg（1x1）.

15、设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，则P关于直线y=x1的对称点P的坐标为（1+y，x1）.由题设知点P（1+y，x1）在函数y=的图象上，x1=.y=，即g（x）=（x2）.F（x）=f（x）+g（x）=lg+，其定义域为x|1x1.（2）f（x）=lg=lg（1+）（1x1）是减函数，g（x）=（1x1）也是减函数，F（x）在（1，1）上是减函数.故不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直.评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了.深化拓展若F（x）当xa，b时是单调函数，则F（x）图象上任两点A、B连线的斜率都不为

16、零.【例3】 设x、y是关于m的方程m22am+a+6=0的两个实根，则（x1）2+（y1）2的最小值是A.12B.18 C.8 D. 剖析：由=（2a）24（a+6）0，得a2或a3.于是有（x1）2+（y1）2=x2+y22（x+y）+2=（x+y）22xy2（x+y）+2=（2a）22（a+6）4a+2=4a26a10=4（a）2.由此可知，当a=3时，（x1）2+（y1）2取得最小值8.答案：C【例4】已知函数的最大值为，求的值 分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题解：令，对称轴为，（1）当，即时，得或（舍去）（2）当，即时，函数在单调递增，由，得（3）当，即时，函数在单调递减，由

17、，得（舍去）综上可得：的值为或【例5】已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为则或，得解法二：由题知或，得解法三：当函数与非负轴没有交点时，则或，得或函数与非负轴至少有一个交点时的取值范围为闯关训练夯实基础1.（2004年全国）函数y=+1（x1）的反函数是（ ）A.y=x22x+2（x1）B.y=x22x+2（x1）C.y=x22x（x1）D.y=x22x（x1）解析：y=+1（x1）y1，反解xx=（y1）2+1x=y22y+2（y1），x、y互换y=x22x+2（x1）.答案：B2.（文）（2004年全国，文3）记函数y=1+3x的反

18、函数为y=g（x），则g（10）等于（ ）A.2 B.2 C.3 D.1解析：g（10）的值即为10=1+3x中x的值3x=32，x=2.答案：B3. 已知函数的值域是，则的取值范围是（ ）A.B. C.D.解析：，结合图象可知，选D。答案：D4.要使y=x2+4x（xa）有反函数，则a的最小值是（ ）A. 4 B. 2 C.2 D.4解析：要使y=x2+4x（xa）有反函数，则y=x2+4x在a，+）上是单调函数.a2.答案：B5.（2010全国卷，理2）函数的反函数是（ ）A. B. C. D. 答案：D6.(2008陕西理7)已知函数，是的反函数，若,则的值为（ ）A. 2 B. 1 C

19、. 4 D.10解析：由，得，因此，答案：A7. 若函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）A. 或 B. C. 或 D.或答案：B8.若点（2，）既在函数y2axb的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=_，b=_.解析：点（2，）在函数y2axb的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，点（，2）在函数y2axb的图象上.把点（2，）与（，2）分别代入函数y2axb可得.答案： 9.若对任意实数x，sin2x+2kcosx-2k-2<0恒成立，则实数k的取值范围_.k>1-10.若不等式对一切总成立，则的最小值为_.解析：，在上是增函数，最大值为，故答案：11.（200

20、4年全国，15）已知函数y=f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=3x1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（8）=_.解析：当x0时，x0，f（x）=3x1.又f（x）是奇函数，f（x）=f（x），即f（x）=3x1.f（x）=13x.f（x）= f1（x）=f1（8）=g（8）=log3（1+8）=log332=2.答案：2培养能力12.已知函数f（x）=mx2+（m3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围.解：若m=0，则f（x）=3x+1，显然满足要求.若m0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则m0；都在原点右侧，则解得0m1.综上可得m（，1.13.

21、已知函数f（x）=2（）（a0，且a1）.（1）求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）判定f1（x）的奇偶性；（3）解不等式f1（x）1.解：（1）化简，得f（x）=.设y=，则ax=.x=loga.所求反函数为y=f1（x）=loga（1x1）.（2）f1（x）=loga=loga（）1=loga=f1（x），f1（x）是奇函数.（3）loga1.当a1时，原不等式a0. x1. 当0a1时，原不等式解得1x.综上，当a1时，所求不等式的解集为（，1）；当0a1时，所求不等式的解集为（1，）.探究创新14.已知函数f（x）=（）2（x1）.（1）求f（x）的反函数f1（x）；（2）

22、判定f1（x）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1）f1（x）a（a）对x，恒成立，求实数a的取值范围.解：（1）由y=（）2，得x=.又y=（1）2，且x1，0y1.f1（x）=（0x1）.（2）设0x1x21，则0，10，10.f1（x1）f1（x2）=0，即f1（x1）f1（x2）.f1（x）在（0，1）上是增函数.（3）由题设有（1）a（a）.1+a2a，即（1+a）+1a20对x，恒成立.显然a1.令t=，x，t，.则g（t）=（1+a）t+1a20对t，恒成立.由于g（t）=（1+a）t+1a2是关于t的一次函数，g（）0且g（）0，即解得1a.评述：本题（3）巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解.思悟小结1.反函数的定义域和值域分别是原