抛物线及其标准方程 (2)

1、喷泉喷泉F 如图，点如图，点 是定点，是定点， 是不经过点是不经过点 的定直线。的定直线。 是是 上上任意一点，过点任意一点，过点 作作 ，线段，线段FH的垂直平分线的垂直平分线m交交MH于点于点M，拖动点，拖动点H，观察点，观察点M的轨迹，你能发现点的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？满足的几何条件吗？ MHLLLHFH提出问题：提出问题： LMFH几何画板观察几何画板观察C问题探究：问题探究：当当|MF|=|MH| ，点，点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？探究？探究？ 可以发现可以发现, ,点点M随着随着H H运动的过程中运动的过程中, ,始终有始终有| |MF|=|=|MH|,|,即点即

2、点M与点与点F和定直线和定直线l的距离相等的距离相等. .点点M生成的轨迹是曲线生成的轨迹是曲线C的形状的形状.( (如图如图) )MFlH我们把这样的一条曲线叫做我们把这样的一条曲线叫做抛物线抛物线. .CMFlH 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛抛物线物线.点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点,直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线d 为为 M 到到 l 的距离的距离准线准线焦焦点点d一、抛物线的定义一、抛物线的定义:解法一：以解法一：以 为为 轴，过点轴，过点 垂直于垂直于 的直线为的

3、直线为 轴建轴建立直角坐标系（如下图所示）立直角坐标系（如下图所示）,则定点则定点 设动点设动点点点 ，由抛物线定义得：，由抛物线定义得：LyFLx( , )F p o( , )M x yxypx22)(化简得化简得：222(0)pxpyp.M(X,y).xyOFl解法二：以定点解法二：以定点 为原点，过点为原点，过点 垂直于垂直于 的直线为的直线为 轴建轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点立直角坐标系（如下图所示），则定点 ， 的方程的方程为为FFLx(0,0)FLxp 设动点 ，由抛物线定义得 ( , )M x y22yx xp化简得化简得： 222(0)pxpypl解法三：以过解法三：

4、以过F且垂直于且垂直于 l 的直的直线为线为x轴轴, ,垂足为垂足为K. .以以F, ,K的中点的中点O O为坐标原点建立直角坐标系为坐标原点建立直角坐标系xoy.22()|22ppxyx 两边平方两边平方, ,整理得整理得xKyoM(x,y)F依题意得依题意得22(0)ypx p 这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程. . 把方程把方程 y2 = 2 2px (p0)叫做抛物线的叫做抛物线的标准方标准方程程.其中其中 p 为正常数为正常数,表示焦点在表示焦点在 x 轴正半轴上轴正半轴上.且且 p的几何意义是的几何意义是: :焦点坐标是焦点坐标是(,0)2p2px 准线方程为准线方程为:

5、:想一想想一想: : 坐标系的建立还坐标系的建立还有没有其它方案有没有其它方案也也会使抛物线方程的形式简单会使抛物线方程的形式简单 ？yxo方案方案(1)(1)yxo方案方案(2)(2)yxo方案方案(3)(3)yxo方案方案(4)(4)焦点到准线的距离焦点到准线的距离准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px)2p0( ，2py)2p0(，2py P的意义的意义:抛物抛物线的焦点到准线的焦点到准线的距离线的距离方程的特点方程的特点:(1)左边左边是二次是二次式式,(2)右边右边是一次是一次式式;决定了决定了焦点焦点的位置的位置. 二次函数二次函数 的图像为什么的图像为什么是抛物线？是抛物线？ 2(0)yaxa221(0)yaxaxya110)44aa焦点（ ，准线