二重积分的坐标变换

1、首页上页返回下页结束二重积分的变量代换二重积分的变量代换极坐标变换极坐标变换一般变量代换一般变量代换广义极坐标变换广义极坐标变换首页上页返回下页结束AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21),(iiiiirorr Ddxdyyxf),(一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分 rdrdd Drdrdrrf )sin,cos(极坐标下的面积元素极坐标下的面积元素drrddrd首页上页返回下页结束.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下注意：将直角坐标系的二重积分化

2、为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”： sincos . 1ryrx坐标变换：坐标变换： rdrddxdyd 微元变换：微元变换： . 2 rxyDD区域变换：区域变换： . 3极坐标变换的适用情形极坐标变换的适用情形: 积分区域为圆域或圆域的一部分积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如或被积函数形如)(22yxf 首页上页返回下页结束.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式: -型区域型区域 (1) 区域特征如图区域特征如图, ).()(

3、21 r1. 原点在区域的外面原点在区域的外面首页上页返回下页结束(2) 区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r首页上页返回下页结束AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd 区域特征如图区域特征如图, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(2. 原点在区域的边界上原点在区域的边界上首页上页返回下页结束 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd 区域特征如图区域

4、特征如图).(0 rDoA)(r,2 03. 原点在区域的内部原点在区域的内部首页上页返回下页结束若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积d)(21202Dd思考思考: 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(2)22)2(首页上页返回下页结束区域特征如图区域特征如图,21rrr ).()(21rr .)sin,cos()()(2121 rrrrdrrfrdr Drdrdrrf )sin,cos(o二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的

5、公式: r-型区域型区域 A)(1r )(2r 1r2r1r2rD首页上页返回下页结束例例1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd首页上页返回下页结束解解dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae ayx 首页上页返回下页结束例例3 3 求

6、求广广义义积积分分 02dxex.解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2 RyRxdyedxe002220)(2 Rxdxe首页上页返回下页结束 Rrrdred0022)1(42Re );1(422Re 由上题结论由上题结论,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,2 02 dxex即即 4)(202

7、 dxex首页上页返回下页结束例例 4 4 计算计算dxdyyxD)(22 ，其，其 D为由圆为由圆yyx222 ，yyx422 及直线及直线yx3 0 ，03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy首页上页返回下页结束例例 5 5 计算二重积分计算二重积分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为其中积分区域为41| ),(22 yxyxD.解解由对称性，可只考虑第一象限部分由对称性，可只考虑第一象限部分， 注意：

8、注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D首页上页返回下页结束例例 6 6 求曲线求曲线 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D首页上页返回下页结束由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aA, 所求面积所求面积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos206

9、4aardrd).33(2 a首页上页返回下页结束 二、二重积分的换元法二、二重积分的换元法 .sin,cosryrx间的关系为间的关系为坐标与极坐标之坐标与极坐标之平面上同一个点，直角平面上同一个点，直角的一种变换，的一种变换，坐标平面坐标平面到直角到直角标平面标平面上式可看成是从直角坐上式可看成是从直角坐xoyro 换是一对一的换是一对一的，且这种变，且这种变平面上的一点平面上的一点成成，通过上式变换，变，通过上式变换，变面上的一点面上的一点平平即对于即对于),(),(yxMxoyrMro 首页上页返回下页结束.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1

10、(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有是一对一的，则有变换变换上雅可比式上雅可比式在在；上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在且满足且满足，平面上的平面上的变为变为平面上的闭区域平面上的闭区域将将连续，变换连续，变换上上平面上的闭区域平面上的闭区域在在设设定理定理证明见本课件末证明见本课件末,不做要求不做要求.首页上页返回下页结束例例7 7解解所围成的闭区域所围成的闭区域线线轴和直轴和直轴、轴、由由其中其中计算计算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyv

11、xyu 令令.2,2uvyuvx 则则,DD Dxyo2 yxD uvovu vu 2 v. 22;0;0 vyxvuyvux即即首页上页返回下页结束),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 ee首页上页返回下页结束例例8 8解解所围成的闭区域所围成的闭区域椭圆椭圆为为其中其中计算计算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20, 0, 0, 0 rba其中其中 ,sin,cosbryarx作广义极坐标变换作广义极坐标变换,20,10),( rrDD在在这这变变换换下下首

12、页上页返回下页结束.),(),(abrryxJ 故换元公式仍成立，故换元公式仍成立，处为零，处为零，内仅当内仅当在在0 rDJ drdabrrdxdybyaxDD 2222211.32ab 首页上页返回下页结束1. 二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）三、小结三、小结 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 首页上页返回下页结束的形式的形式同时也兼顾被积函数同时也兼顾被积函数的形状，的形状，于

13、积分区域于积分区域作什么变换主要取决作什么变换主要取决),(2yxfD基本要求基本要求: :变换后定限简便，求积容易变换后定限简便，求积容易.),(),(1),(),(. 3yxvuvuyxJ 首页上页返回下页结束 交交换换积积分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa思考题思考题首页上页返回下页结束,cos022: arDoxy思考题解答思考题解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 首页上页返回下页结束 计算计算 deyxyyxD2)( ，其中，其中 D：1 yx，0 x和和0 y所围成所围成.思

14、考题思考题首页上页返回下页结束令令 yvyxu, vyvux雅可比行列式雅可比行列式1),(),( vuyxJ,变变换换后后区区域域为为思考题解答思考题解答oxy1 yxDouvvu D 首页上页返回下页结束 deyxyyxD2)( DdudvJvuf| ),(dveuvduuu2010 dueuu2102 ).1(41 eD ：1 yx1 u0 x0 vu0 y0 v首页上页返回下页结束一、一、 填空题填空题: :1 1、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xyx222 , ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分, ,为为_._.2 2、 将将 Ddxdyyxf),(,

15、 ,D为为xy 10, ,10 x, ,表表示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为_._.3 3、 将将 xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二次积分为次积分为_._.4 4、 将将 2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积分为为_._.练练 习习 题题首页上页返回下页结束5 5、 将将 xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积化为极坐标形式的二次积分为分为_,_,其值为其值为_._.二、二、 计算下列二重积分计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )1ln(22, ,其中其中D是由圆周是由圆周

16、122 yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. . 2 2、 Ddyx )(22其中其中D是由直线是由直线xy , , )0(3, aayayaxy所围成的区域所围成的区域. . 3 3、 DdyxR 222, ,其中其中D是由圆周是由圆周 Rxyx 22所围成的区域所围成的区域. . 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .首页上页返回下页结束三、试将对极坐标的二次积分三、试将对极坐标的二次积分 cos2044)sin,cos(ardrrrfdI交换积分次序交换积分次序. .四、设平面薄片所占的闭区域四、设平面薄片所占的闭区域D

17、是由螺线是由螺线 2 r上一段上一段 弧弧( (20 ) )与直线与直线2 所围成所围成, ,它的面密度为它的面密度为22),(yxyx , ,求这薄片的质量求这薄片的质量. .五、五、 计算以计算以xoy面上的圆周面上的圆周axyx 22围成的闭区域为围成的闭区域为底，而以曲面底，而以曲面22yxz 为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积. .首页上页返回下页结束一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(； 2 2、 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、 sec2034)(rdrrfd；4 4、 sectansec40)sin,cos(r

18、drrrfd；5 5、 2cossin0401rdrrd, ,12 . .二、二、1 1、)12ln2(4 ； 2 2、414a；练习题答案练习题答案首页上页返回下页结束 3 3、)34(33 R； 4 4、 25. .三、三、 4420)sin,cos(drrfrdrIa araraadrrfrdr2arccos2arccos22)sin,cos(. .四、四、405 . .五、五、4323a . .首页上页返回下页结束一、一、 作适当的变换作适当的变换, ,计算下列二重积分计算下列二重积分: :1 1、 Ddxdyyx22, ,其中其中D是由两条双曲线是由两条双曲线1 xy和和2 xy,

19、,直线直线xy 和和xy4 所围成的在第象限所围成的在第象限的闭区域的闭区域. .2 2、 Ddxdyyx)(22, ,其中其中D是椭圆区域是椭圆区域: : 1422 yx. .二、二、 设设D是由曲线是由曲线333,4,yxxyxy , ,34yx 所围所围成的第象限部分的闭区域成的第象限部分的闭区域, ,求其面积求其面积. .三、试证三、试证: : Ddxdycbyaxf)( 11222)(12ducbaufu, ,其中其中D为为 0, 12222 bayx且且. .练练 习习 题题首页上页返回下页结束一、一、1 1、2ln37； 2 2、 325. .二、二、81. .练习题答案练习题答案首页上页返回下页结束baxxfd)() )(txtttfd)()(定积分换元法*附附: 二重积分换元法二重积分换元法 ),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一阶导数连续;雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3)